Physical Page Allocation
6.6 Avoiding Fragmentation
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E importante dizer que neste texto n˜ao tratamos daquele que pode parecer o problema conceitualmente mais simples de mecˆanica quˆan- tica, que ´e estudar a quantiza¸c˜ao do movimento unidimensional de uma part´ıcula de massa m sujeita a uma energia potencial V (x).
Neste problema, o espa¸co de estados a ser considerado ´e o com- pletamento do espa¸co das fun¸c˜oes ψ : R → C de quadrado integr´avel, L2(R, C), que ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao infinita. Os vetores
de estado s˜ao as chamadas fun¸c˜oes de onda e as vari´aveis dinˆamicas usuais (posi¸c˜ao, momentum, energia...) s˜ao adequadamente repre- sentadas por operadores auto-adjuntos sobre estas fun¸c˜oes de onda.
Para tais problemas conceitualmente “simples” ´e necess´ario trocar o dom´ınio da ´Algebra (Multi)Linear pelo da An´alise Funcional. Neste sentido, vemos mais um m´erito da Teoria Quˆantica da Informa¸c˜ao: permitir que os casos matematicamente mais simples da Mecˆanica Quˆantica ganhem interesse pr´oprio. Ao longo de todo o texto tratare- mos de espa¸cos de estado de dimens˜ao finita, e caber´a ao leitor julgar se os problemas encontrados ser˜ao interessantes ou n˜ao.
Cap´ıtulo 2
Teleporta¸c˜ao e
Emaranhamento
Uma das grandes surpresas da Mecˆanica Quˆantica ´e o processo de teleporta¸c˜ao de estados quˆanticos [19]. Mais precisamente, pelo es- tabelecimento pr´evio de correla¸c˜oes quˆanticas entre duas partes (que podem estar distantes), o estado quˆantico de uma nova part´ıcula pode ser transferido de um lugar para outro.
Se n˜ao fosse suficientemente curioso, este processo tamb´em pode ser visto como um ingrediente importante na computa¸c˜ao quˆantica. As correla¸c˜oes quˆanticas a que nos referimos s˜ao o chamado emara- nhamento, que ´e consumido na execu¸c˜ao desta tarefa. Desta forma ´e que ele passou a ser visto como um recurso a ser entendido e uti- lizado. Aproveitaremos o cap´ıtulo para introduzir alguns conceitos da chamada teoria do emaranhamento.
2.1
Teleporta¸c˜ao n˜ao ´e s´o fic¸c˜ao cient´ıfica
O seriado Star Trek (Jornada nas Estrelas) popularizou a id´eia de viajar no espa¸co atrav´es de sinais eletromagn´eticos, onde um tripu- lante da nave (o Dr. Spock, por exemplo) posicionava-se em uma esta¸c˜ao, artisticamente v´ıamos suas mol´eculas “desaparecerem”, e pouco tempo depois Spock era reconstitu´ıdo no destino desejado,
eventualmente com algum mal estar devido a interferˆencias no meio do caminho.
Claro que tal n´ıvel de precis˜ao, inclu´ıda ainda a possibilidade de escolher o destino final de maneira essencialmente arbitr´aria, ainda ´e um sonho distante. Mas o passo fundamental daquilo que poderia parecer mera fic¸c˜ao cient´ıfica j´a foi alcan¸cado. Trata-se do processo de teleporta¸c˜ao de estados quˆanticos. Vamos descrevˆe-lo aqui.
Para que o efeito tenha a surpresa necess´aria, queremos telepor- tar algo entre duas partes remotas, de A para B. Na Teoria da Informa¸c˜ao (inclu´ıda a´ı Comunica¸c˜ao e Criptografia), ´e comum con- siderarmos personagens ativos nesta hist´oria. Assim, Ana trabalha em um laborat´orio em A (digamos, em Aracaju), enquanto Bernardo trabalha em um laborat´orio na parte B, digamos, em Bras´ılia. O ob- jetivo ´e enviar um qubit de Ana para Bernardo. Qubit aqui significa a informa¸c˜ao referente a um qubit, ou seja, seu estado.
Claro que a solu¸c˜ao simples seria enviar o portador deste qubit diretamente. Mas a´ı n˜ao haveria surpresa nenhuma.
Do mesmo modo, se Ana tem uma receita para produzir este qubit, ela poderia enviar esta receita para Bernardo, que poderia construir qubits em Bras´ılia seguindo a mesma receita. Mas, nova- mente, n˜ao h´a qualquer aplica¸c˜ao direta da Mecˆanica Quˆantica ao processo de transmiss˜ao de informa¸c˜ao. Ao inv´es de enviar a receita de como preparar o qubit, Ana poderia enviar a receita de um bolo, talvez com vantagens pr´aticas.
No processo que ser´a descrito, Ana recebe apenas uma realiza¸c˜ao do qubit (e n˜ao uma fonte capaz de gerar v´arios deles) a ser tele- portado. Mais ainda, Ana n˜ao precisa saber nada sobre este qubit (apenas que se trata realmente de um qubit, ou seja, ela possui um sistema com espa¸co de estados bidimensional sobre C). Portanto, nossa situa¸c˜ao se inicia com Ana possuindo um qubit no estado |ϕi que ela deseja enviar para Bernardo.
Pelo que discutimos no cap´ıtulo 1, se Ana fizer qualquer teste com duas alternativas distintas em seu qubit, ela deixar´a de ter o estado |ϕi e a ´unica certeza que ela ganhar´a ´e que |ϕi n˜ao correspondia `a alternativa que ela n˜ao obteve. Assim, fazer um teste no qubit a ser transmitido n˜ao ´e uma boa id´eia.
Vamos agora construir a m´aquina de teleporta¸c˜ao propriamente dita. Deixando a fic¸c˜ao de lado, vamos construir aquilo que cos-
[SEC. 2.1: TELEPORTAC¸ ˜AO N˜AO ´E S ´O FICC¸ ˜AO CIENT´IFICA 35
tuma ser chamado um canal quˆantico, ou seja, um sistema f´ısico ca- paz de transmitir informa¸c˜ao quˆantica (no mesmo sentido que se usa a palavra canal para um meio pelo qual se transmite informa¸c˜ao cl´assica). Nosso canal quˆantico ser´a constitu´ıdo de duas partes: um par de Bell |Ψ−i e um canal cl´assico capaz de transmitir dois bits de
informa¸c˜ao. Detalhemos melhor esta afirma¸c˜ao.
Dizer que o canal inclui um par de Bell |Ψ−i ´e dizer que Ana e
Bernardo compartilham um sistema de dois qubits no estado |Ψ−i
(ou seja, al´em do qubit no estado |ϕi, Ana tem outro qubit, que ´e a sua parte do par de Bell compartilhado com Bernardo). Como vi- mos no cap´ıtulo anterior, este estado possui correla¸c˜oes “mais fortes” que as cl´assicas, e destas correla¸c˜oes ´e que surge a possibilidade de realizar esta tarefa n˜ao-cl´assica. ´E importante que fique claro quais os sistemas quˆanticos envolvidos no processo: Ana recebeu um qubit no estado |ϕi e al´em disso ela compartilha com Bernardo um par de Bell. Ou seja, h´a trˆes qubits em quest˜ao: dois com Ana e um com Bernardo. Ao final do processo, a correla¸c˜ao quˆantica presente no par de Bell ser´a destru´ıda, enquanto o qubit de Bernardo termi- nar´a o processo no estado |ϕi. A importˆancia do canal cl´assico de comunica¸c˜ao ser´a enfatizada posteriormente.
Vamos convencionar que consideraremos o qubit recebido por Ana em |ϕi como o primeiro fator do produto tensorial, o outro qubit de Ana como o segundo fator e o de Bernardo como o terceiro. Assim, o estado inicial do sistema ´e
|Γi = |ϕi ⊗ |Ψ−i . (2.1)
Exerc´ıcio 43. Suponha |ϕi = α |0i + β |1i e denote por B a base de Bell (1.5) para dois qubits.
1. Escreva a decomposi¸c˜ao de |Γi com respeito `a base Z ⊗ B. 2. Escreva a decomposi¸c˜ao de |Γi com respeito `a base B ⊗ Z.
O passo essencial vem agora: Ana realiza um teste que discrimina entre os quatro estados de Bell com seus dois qubits (aquele do estado |ϕi e a sua parte do par de Bell compartilhado com Bernardo). Exerc´ıcio 44. Escreva o estado do sistema de trˆes qubits condi- cionado a cada uma das poss´ıveis alternativas para a medi¸c˜ao feita
por Ana. (Sugest˜ao: use o exerc´ıcio 43.2.) Qual a probabilidade de obter cada resultado?
No exerc´ıcio 44 vocˆe deve ter descoberto que, se Ana obtiver a alternativa correspondente a |Ψ−i, o estado do sistema passa a ser
|Ψ−i ⊗ |ϕi e, portanto, a “m´agica” j´a est´a feita: Bernardo ter´a em
m˜aos o estado |ϕi totalmente descorrelacionado dos qubits de Ana. Dois detalhes s˜ao importantes, por´em: at´e aqui, o sucesso ´e condi- cionado ao resultado correto da medi¸c˜ao de Bell, o que vocˆe deve ter conclu´ıdo (no mesmo exerc´ıcio 44) que acontece um quarto das vezes; outro que Bernardo precisa ser avisado do resultado e a´ı j´a deve come¸car a ficar claro o papel do canal de comunica¸c˜ao cl´assico. O primeiro detalhe ser´a superado. J´a o segundo tem relevˆancia pr´opria e ser´a discutido oportunamente.
Exerc´ıcio 45. Usando a nota¸c˜ao do exerc´ıcio 15, verifique que a resposta do exerc´ıcio 43.2 pode ser escrita
|Γi =X
ij
|Ψiji ⊗ ZjXi|ϕi , (2.2)
onde i, j tomam os valores 0 ou 1 e Z, X s˜ao transforma¸c˜oes lineares cujas matrizes com respeito `a base Z foram definidas em 1.4.
Agora, precisamos apenas adicionar uma informa¸c˜ao (apresentada na sec¸c˜ao 1.5 e que ser´a discutida no cap. 3) sobre evolu¸c˜ao tempo- ral de estados quˆanticos: operadores como X e Z que aparecem na equa¸c˜ao (2.2) podem ser aplicados a vetores de estados. Ou seja, em um laborat´orio, ´e poss´ıvel impor tal evolu¸c˜ao temporal a um qubit. Exerc´ıcio 46. Mostre que X2= Z2 = I e que ¡ZjXi¢−1
= XiZj,
onde i, j valem 0 ou 1.
Dessa forma, ap´os fazer a medi¸c˜ao de Bell em seu par de qubits, Ana precisa enviar para Bernardo o par de bits ij que caracteriza unicamente qual das quatro alternativas foi obtida. De posse destes, Bernardo deve aplicar XiZj no seu qubit, e o resultado obtido ser´a
[SEC. 2.1: TELEPORTAC¸ ˜AO N˜AO ´E S ´O FICC¸ ˜AO CIENT´IFICA 37