Dans cette section nous exposons quelques exemples, qui int´ervinnent dans different domaines telsque la chimie, biologie, ´ecologie, physique, et qui sont g´er´e par des
mod`eles math´ematiques sous formes de syst`emes de reaction-diffusion. I) Syst`eme de Gierer-Meinhardt
Consederons le syst`eme ∂S ∂t(x, t) − a∆S(x, t) = Λ − λ1S + S p Iq, (x, t) ∈ Ω × R∗ +, (7.63) ∂I ∂t(x, t) − b∆I(x, t) = −λ2I +S r Is, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.64) ∂S ∂n(x, t) = ∂I ∂n(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × R∗+, (7.65) S(x, 0) =S0(x), I(x, 0) = I0(x) x ∈ Ω, (7.66) (7.67) o`u p > 1, q, r, s ≥ 0, a, b > 0, λ1, λ2, Λ ≥ 0. Pour le cas p = r = 2, q = s = 4, le syst`eme intervient a la mod`elisation d’un mod`ele biologique introduit par A. Gie-rer and H. Meinhardt [20]. Koch et Meinhardt [37] en 1994 ont am´elior´e ce syt`eme en mod´elisant des mod`eles plus compl`exes.
II) Syst`eme de Field-Noyers
En chimie, il y a une reaction chimique qui s’appele reaction de Belousov-Zhabotinskii [58], qui consiste a plus de dix reactions chimiques ´elementaires simultan´ement, et qu’elles ne tend pas vers un ´equilibre chimique. En 1974 Field and Noyers [17] ont pr´esent´e un mod`ele math´ematique, et qui ont abouti au syst`eme de reaction-diffusion suivant : ∂u ∂t(x, t) − a∆u(x, t) = ε−1(qw − uw + u − u2), (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.68) ∂v ∂t(x, t) − b∆v(x, t) = u − v, (x, t) ∈ Ω × R∗ +, (7.69) ∂w ∂t(x, t) − d∆w(x, t) = δ−1(−qw − uw + cv), (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.70) ∂u ∂n(x, t) = ∂v ∂n(x, t) = ∂w ∂n(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × R∗+. (7.71) u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), w(x, 0) = w0(x), x ∈ Ω. (7.72)
Ici, u repr´esente la concentration du HBrO2, v est la concetration du Ce4+, et w est la concentration du Br−.
Les constentes ε, δ, q et c sont des param`etres chimiques, o`u ε, δ, et q sont cons´eder´e assez petits.
En 1986, ce mod`ele a ´ete plus simplifi´e par Keener et Tyson, en supposant que w est en quasi-´equilibre, i.e.,
w = cv u + q,
donc, sous cette hypoth`ese il ont pu pr´esent´e leur mod`ele sous la forme suivante : ∂u ∂t − εa∆u =ε−1[u(u − 1) − cv(u − qu + q)], (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.73) ∂v ∂t − εb∆v =u − v, (x, t) ∈ Ω × R∗ +, (7.74) ∂u ∂n(x, t) = ∂v ∂n(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × R∗+. (7.75) u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), x ∈ Ω. (7.76) (7.77) III) Syst`eme ”Chemical morphogenetic process (Brusselator)”
Toujours da le cadre des reaction chimiques, Prigogene et Lefever [50], ont propos´e un syst`eme sous la forme suivante [47] :
∂u ∂t − εd1∆u = − uv2+ bv, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.78) ∂v ∂t − εd2∆v =uv2− (b + 1)v + a, (x, t) ∈ Ω × R∗ +, (7.79) u(x, t) = b a, v(x, t) = a, (x, t) ∈ ∂Ω × R∗+. (7.80) u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), x ∈ Ω. (7.81) (7.82) O`u a, b, d1, et d2 sont des constantes strictement positives.
IV) Syst`eme de Combustion exothermique de gaz
La combustion exoth´ermique des gaz est g´er´e par le syst`eme de reaction-diffusion sui-vant : ∂u ∂t − d1∆u = − H(u, T ), (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.83) ∂T ∂t − d2∆T =qH(u, T ), (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.84) (7.85)
o`u u est la concentration du reactif, T repr´esente la temp´erature, d1, d2, et q sont des constantes strictement positifs [51].
V) Syst`eme de Lotka-Volterra : Mod`ele Pr´edateur-Proie
En 1926 Volterra a propos´e le premier mod`ele des syst`emes Pr´edateur-Proie sous la forme [47] : ∂N ∂t − d1∆N =N (a − bP ), (x, t) ∈ Ω × R∗ +, (7.86) ∂P ∂t − d2∆P =P (cN − d), (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.87) (7.88) o`u N repr´esente le nombre des proies et P est celui des pr´edateurs.
Dans le cas o`u il y a k ´esp`eces de proies et k ´esp`eces de pr´edateurs, on retrouve le syst`eme de Lotka-Volterra Pr´edateur-Proie g´en´eralis´e [47] :
∂Ni ∂t − ci∆Ni =Niai− k X j=1 bijPj, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.89) ∂Pi ∂t − di∆Pi =Pi k X j=1 rijNj − si), (x, t) ∈ Ω × R∗ +, (7.90) (7.91) o`u i = 1, . . . , k
VI) Syst`eme de Lotka-Volterra : Mod`ele symbiose
La symbiose en biologie est l’association entre deux organismes d’esp`eces diff´erentes, qui est profitable pour chacun d’eux. May (1981)[47] a pu mod`eliser ce ph´enomaine par le syst`eme suivant : ∂N ∂t − d1∆N =r1N + a1N P, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.92) ∂P ∂t − d2∆P =r2P + a2P N, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.93) (7.94) o`u d1, d2, r1, r2, a1 et a2 sont des constantes positives.
VII) Syst`eme d’´ecoulement des fluids
Nous considerons un syst`eme qui d´ecrit le comportement de trois ´esp`eces : ∂u
∂t − d1∆u =a(v − u), (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.95) ∂v
∂t − d2∆v = − uw + bu − v, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.96) ∂w
∂t − d3∆w =uv − cw, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.97) d1, d2, d3, a, b, et c sont des constantes strictement positives.
Ce mod`ele ´etudi´e par Lorenz (1963)[47], intervient dans des mod`eles d’´ecoulement des fluids.
VIII) Syst`eme de la dynamique du Calcium La dynamique du Calcium est g´er´e par le syst`eme suivant :
∂u1 ∂t − d1∆u1 =λ(γ0+ γ1u4)(1 − u1) − p1u 4 1 p4 2+ u4 1 , (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.98) ∂u2 ∂t − d2∆u2 = − k1u2+ k′1u3, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.99) ∂u3 ∂t − d3∆u3 = − k1′u3+ k2u1u3+ k1u2+ k′2u4, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.100) ∂u4 ∂t − d4∆u4 =k2u1u3+ k3′u5− k2′u4− k3u1u4, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.101) ∂u5 ∂t − d5∆u5 =k3u1u4− k3′u5, (x, t) ∈ Ω × R∗+, (7.102) d1, d2, d3, d4, d5, λ, γ0, γ1, k1, k′ 1, k2, k′ 2, k3, et k′
3 sont des constantes strictement posi-tives.
IX) Syst`eme de Hodgkin-Huxley
Le Syst`eme de Hodgkin-Huxley est un mod`ele math´ematique pour le ph´enom`ene phy-siologique de la transmission des signal [54], qui s’´ecrit sous la forme suivante :
c∂u ∂t − R−1uxx =g(u, v, w, z), (7.103) ∂v ∂t − d1uxx =g1(u)(h1(u) − v), (7.104) ∂w ∂t − d2wxx =g2(u)(h2(u) − w), (7.105) ∂z ∂t − d3zxx =g3(u)(h3(u) − z), (7.106) (7.107) o`u c et R sont des constantes strictement positives, les constantes di sont positives, et g est une fonction definit par
g(u, v, w, z) =k1v3w(c1− u) + k2z4(c2− u),
+ k3(c3− u), c1 > c3 > 0 > c2. (7.108) Les fonctions gi > 0, 1 > hi > 0, i = 1, 2, 3.
Dans ce mod`ele, les variables v, w et z repr´esentes des concentrations chimiques, par contre u est un potentiel ´el´ectrique.
X) Syst`eme d’oxydation du polypropyl`ene isotactique D´efinition 7.3.1. (polypropyl`ene)
R´esine thermoplastique obtenue par polym´erisation du propyl`ene offrant une bonne r´esistance aux acides et aux alcalis, utilis´ee pour la fabrication de pompes et/ou de leurs composants.
D´efinition 7.3.2. (polypropyl`ene isotactique)
Polypropyl`ene dont les groupements m´ethyl sont tous situ´es du mˆeme cˆot´e de la chaˆıne. L’oxydation spontan´ee du polypropyl`ene isotactique est une reaction chimique a grand int´er`et dans la pratique, ce mod`ele est g´er´e par le syst`eme de reaction-diffusion suivant : [35] ∂u1 ∂t − d1∆u1 = − k1u1u2+ k2u23, (x, t) ∈ Ω × R+, (7.109) ∂u2 ∂t − d2∆u2 = − k1u1u2− 2k6u22− k5u2u3+ k3u3+ k8u4, (x, t) ∈ Ω × R+, (7.110) ∂u3 ∂t − d3∆u3 =k1u1u2− k5u2u3− (k2+ k4)u3− 2k3u23, (x, t) ∈ Ω × R+, (7.111) ∂u4 ∂t − d4∆u4 =2k3u23− (k7+ k8)u4, (x, t) ∈ Ω × R+, (7.112) d1, d2, d3, d4, k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7 et k8 sont des constantes strictement positives.
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