Autres modélisations des activités à profil variable

Dans un premier temps, nous nous intéressons aux extensions du RCPSP. Une des extensions les plus célèbres est le problème d’ordonnancement de projet multimode (MRCPSP). Dans ce problème, un choix de différents modes est disponible pour chaque activité et une activité doit être exécutée selon un de ces modes. Un mode correspond à une combinaison formée d’un temps d’exécution constant et d’une consommation de ressource qui permet d’apporter à l’activité au moins la quantité d’énergie requise. Même si de nombreux problèmes basés sur ce concept de mode existent [DRDH98, RK07,

RRK09,DDrH00] et que des méthodes de résolution efficaces ont été mises en place pour résoudre le MRCPSP [PV10], cette modélisation peut amener à une mauvaise allocation de la ressource.

Si nous reprenons l’exemple de la peinture d’un bateau, décrit à la sous-section 1.1.2, l’activité avait besoin de 3 unités d’énergie pour s’exécuter. Dans le contexte du MRCPSP, seulement 3 modes seraient décrits : (3, 1), (2, 2) et (1, 3). Or, dans le second cas, on donne une unité de trop à l’activité et la possibilité d’allouer 2 unités de ressource pendant une période de temps et 1 unité pendant la seconde n’est pas représentée ici.

La principale limitation du MRCPSP est donc que les activités sont contraintes à être rectangu- laires, i.e. avec une consommation de ressource constante.

de projet avec une ressource de type work-content [FT10] ou du problème d’ordonnancement de projet avec des profils de ressource flexibles (FRCPSP) [NK14]. Dans ces problèmes, plusieurs types de ressources sont considérées :

— principale (ou work-content dans [FT10]) : il s’agit de la ressource via laquelle la quantité d’énergie requise est donnée à l’activité. C’est elle qui sert à déterminer la durée de l’activité. — les ressources dépendantes : l’utilisation de ces ressources dépendent de l’utilisation de la res-

source principale.

— les ressources indépendantes : la consommation de ces ressources est indépendante des consom- mations des autres ressources mais ces utilisations doivent être synchrones.

Bien que plusieurs différences existent entre ces problèmes et le CECSP– l’utilisation de plusieurs ressources, ressource/temps discret pour [FT10]... – les principales sont les suivantes : la longueur minimale des blocs et les fonctions de rendement. La première correspond au temps minimal qu’il faut attendre entre deux ré-allocations de la ressource, que les auteurs de [FT10] appellent longueur minimale de bloc et qui est absente dans notre problème. La seconde fait référence à l’absence de fonctions de rendement dans [FT10].

Enfin, la dernière extension du RCPSP présentée est celle où les activités ont une intensité va- riable [Kis05]. Ici, chaque activité requiert une certaine quantité d’énergie durant toute son exécution. Pour apporter cette énergie à l’activité, il faut décider, dans chaque période de temps, l’intensité à laquelle est exécutée l’activité. L’énergie apportée à l’activité est alors proportionnelle à cette inten- sité. Dans ce cas, on peut introduire des fonctions de rendement mais ces fonctions seraient alors contraintes à être linéaires, i.e. b → a ∗ b. De plus, aucune borne inférieure sur la consommation d’une activité n’est considérée.

Dans le cadre du CuSP, d’autre variantes ainsi que des algorithmes de filtrages dédiés ont été proposés. Parmi ceux-ci, on retrouve le cas des activités complètement/partiellement élastiques de Baptiste et al. [BLPN99]. Dans le premier cas, les activités ont une demande en énergie constante mais la quantité de ressource consommée par une activité à chaque instant (discret) peut varier entre 0 et la capacité de la ressource. Dans le second cas, les mêmes conditions sont présentes mais les auteurs définissent des contraintes permettant de limiter les variations dans l’utilisation de la ressource. Aucun de ces deux problèmes ne considère de fonctions de rendement.

Dans [BP07], les auteurs définissent une activité comme une séquence de sous-activités trapézoï- dales ayant des durées et hauteurs (consommations) variables. Enfin, Vilím [Vil09b] considère des activités pour lesquelles la durée et la hauteur sont définies par des intervalles. Pour ces deux pro- blèmes, aucune demande en énergie n’est définie pour les activités. De plus, dans le second, l’énergie manquante peut être achetée moyennant un certain coût.

Enfin, le CECSP est aussi lié à d’autres problèmes à contraintes d’énergie avec ressources conti- nues [BEP+01, Wal11]. Dans [BEP+01], plusieurs modèles représentant le temps d’exécution d’une activité en fonction de la ressource qui lui est allouée sont présentés. En particulier, les auteurs consi- dèrent un problème où un ensemble de processeurs identiques et parallèles jouent le rôle de la ressource. De plus, des fonctions représentant le temps d’exécution d’une activité en fonction du nombre de pro- cesseurs qui lui est allouée sont définies. Ce nombre de processeurs peut varier continuellement au cours du temps et donc ces fonctions sont équivalentes aux fonctions de rendement définies dans le

cadre du CECSP. De plus, dans [BEP+_{01,Wal11], l’énergie est calculée en intégrant une fonction de}

rendement sur tout l’horizon de temps. Cependant, aucune contrainte de consommation maximum et minimum n’est considérée dans ces problèmes. Dans [Wal11], une partie des ressources est continue et une partie est discrète.

Le tableau 1.2récapitule les principales différences entre tous ces problèmes et le CECSP.

Problème rmin i rimax fonction de rend. (fi) activités non rect. énergie (Wi) res. cont. autre différence MRCPSP [DRDH98] √ √ √ √ FRCPSP [NK14] √ √ √ √ √ long. de bloc Work-content [FT10] √ √ √ √ long. de bloc Intensité variable [Kis05] √ √ √ Partiellement élastique [BLPN01] √ √ Complètement élastique [BLPN01] √ √ Activités trapézoïdales [BP07] √ #trapèzes fixe Représentation par intervalles [Vil09b] √ √ achat d’énergie Modèle processeurs [BEP+_01] √ √ √ √ Continu/discret [Wal11] √ √ √ √ res. discrètes et continues

Table 1.2 – Principales différences entre les extensions des problèmes cumulatifs et le CECSP. Le CECSP est donc un nouveau problème et les différences avec les problèmes existants ne nous permettent pas d’appliquer directement des techniques déjà définies pour d’autres problèmes. Cepen- dant, certaines techniques existantes peuvent être adaptées dans le cadre du CECSP. Ces techniques seront présentées plus tard dans le manuscrit.

La section suivante présente des propriétés du CECSP qui seront utilisées dans le cadre de sa résolution.