Automates finis pond´er´es

Les automates finis, comme les expressions rationnelles, permettent de mod´eliser des langages ration-nels. Afin de mod´eliser des langages plus complexes, dans le sens plus haut dans la hi´erarchie de Chomsky, il existe d’autres formes de grammaires, repr´esent´ees par d’autres types d’automates ou de machines. Il existe ´egalement une extension des automates finis o`u les transitions sont associ´ees `a un poids. Un mot du langage est alors une s´equence de symboles et de poids.

Nous introduisons ici les automates pond´er´es qui d´ecrivent une classe de langage strictement sup´erieure aux langages rationnels [60, 84].

La d´efinition formelle d’un automate pond´er´e propos´ee par Kuich et Salomaa [60] est bas´ee sur la notion de semi-anneau.

1Les ǫ-AFN sont une forme d’AFN poss´edant des transitions dites spontan´ees : facultatives et ne consommant pas de symbole. Nous n’utilisons pas directement ces automates.

3.2. Automates finis 21 D´efinition 14 (Automate pond´er´e) Un automate pond´er´e est un quintuplet (Q, Σ, E, I, T ), similaire `

a un automate fini o`u E, l’ensemble des transitions, est un sous-ensemble de Q × Σ × Q × K tel que :

• (K, ⊕, ⊗) est un semi-anneau ;

• pour tout triplet (q, σ, q′) ∈ Q × Σ × Q, il existe un et un seul ´el´ement k ∈ K tel que (q, σ, q′, k) ∈ E. D´efinition 15 (Fonction de poids) La fonction de poids est l’application w qui associe `a toute paire (q, σ) ∈ Q × Σ un ´el´ement k ∈ K.

D´efinition 16 (Poids d’un chemin) Soit un chemin π = e1e2. . . en, le poids du chemin w(π) dans

l’automate pond´er´e A = (Q, Σ, E, I, T ) dans le semi-anneau (K, ⊕, ⊗), et le ⊗-produit des poids de toutes les transitions. On note :

w(π) = w(orig(e1), symb(e1)) ⊗ w(orig(e2), symb(e2)) ⊗ . . . ⊗ w(orig(en), symb(en)).

D´efinition 17 (Poids d’un mot) Le poids d’un mot m pour un automate pond´er´e A dans le

semi-anneau (K, ⊕, ⊗) est la ⊕-somme de tous les poids des chemins correspondant `a m dans l’automate. On

note :

w(m) = ^M

π∈Π(m)

w(π).

Notons que si l’automate est d´eterministe, alors il n’existera qu’un seul chemin pour un mot donn´e, alors la premi`ere op´eration du semi-anneau ne sera jamais utilis´ee et le poids d’un mot m sera exactement le poids de son unique chemin.

L’acceptation d’un mot par un automate pond´er´e se fait par deux crit`eres :

• Le mot est-il dans le langage d´efini par l’automate fini simple (i.e. un chemin de I vers T ) ? • Le poids du mot a-t-il une valeur donn´ee ?

Concernant la valeur admissible d’un mot, on d´efinit souvent un sous-ensemble J ∈ K, valeurs du poids pour lesquelles un mot est admissible. Ainsi, un mot m est accept´e dans un automate pond´er´e A dans le semi-anneau (K, ⊕, ⊗) si et seulement si :

• m ∈ L(A) ; • w(m) ∈ J.

Exemple 9 (Un automate pond´er´e comptant une s´equence) Soit le semi-anneau (N, min, +) et

l’automate A = (Q, Σ, E, I, T ) avec : • Q = {q0, q1, q2} ; • Σ = {0, 1} ; • E = {(q0, 1, q1, 0), (q0, 0, q2, 0), (q1, 1, q1, 0), (q1, 0, q2, 0), (q2, 0, q2, 0), (q2, 1, q0, 1)} ; • I = {q0} ; • T = {q0}.

q0 q1 1[0] 1[0] q2 0[0] 0[0] 0[0] 1[1]

Figure 3.5 – Automate comptant les occurrences du motif 01

Cet automate est pr´esent´e figure 3.5. Tel quel, il accepte tous les mots de Σ∗suffix´es par 01 et compte le nombre de fois o`u le motif 01 apparaˆıt dans un mot. Si on pose J = ({2, 3, 4}, min, +) ⊂ (N, min, +), alors l’automate pond´er´e figure 3.5 accepte tous les mots de Σ∗ suffix´es par 01 et tel que ce motif apparaisse entre 2 et 4 fois inclus.

Pour en savoir plus sur les automates pond´er´es, nous invitons le lecteur `a se tourner vers l’ouvrage Handbook of weighted Automata de Droste et al. [45] ou `a lire le chapitre consacr´e aux K-automates du livre ´El´ements de th´eorie des automates de Jacques Sakarovitch [84]. Mohri et al. [68] pr´esentent une application des automates pond´er´es dans le cadre de la reconnaissance vocale. Jiang et al. [55] quant `a eux utilisent les automates pond´er´es pour la compression d’images. Ils utilisent un semi-anneau et un

automate pour associer chaque s´equence reconnaissable `a un nombre unique.

3.3 Conclusion

Nous avons pr´esent´e dans ce chapitre une petite partie de la th´eorie des langages et des automates. Afin d’introduire les langages rationnels et leurs repr´esentations sous forme d’automates finis ou d’expressions rationnelles, nous avons introduit les grammaires formelles pr´esent´ees originellement par Chomsky. Dans le prochain chapitre, nous vous pr´esenterons les origines et les utilisations des automates en programmation par contraintes de la litt´erature.

Chapitre 4

Automates en programmation par

contraintes

Sommaire

4.1 Origines . . . 24 4.1.1 Contrainte stretch . . . 24 4.1.2 Contrainte pattern . . . 24 4.2 Contrainte automate . . . 25 4.2.1 D´efinition . . . 25 4.2.2 Algorithmes de filtrage . . . 25 4.3 Extension des contraintes automates . . . 26 4.3.1 Automates pond´er´es . . . 26 4.3.2 Relaxation de regular . . . 27 4.3.3 Grammaires hors contexte . . . 27 4.4 Travaux connexes . . . 28 4.4.1 Contraintes among et sequence . . . 28 4.4.2 Contrainte slide . . . 29 4.4.3 Lin´earisation de la contrainte . . . 29 4.5 Applications . . . 29 4.5.1 Reformulation automatique de contraintes globales . . . 29 4.5.2 Propagation de contraintes en extension . . . 30 4.5.3 Mod´elisation des r`egles de s´equencement . . . 30 4.6 Conclusion . . . 30

D

^ansformels. Dans ce chapitre, nous d´ecrirons le lien qui existe entre ces deux disciplines. Nous pr´esente-^{les chapitres pr´ec´edents, nous avons introduit la programmation par contraintes et les langages} rons l’origine de l’utilisation des automates en programmation par contraintes jusqu’aux derniers travaux sur le sujet. Les contraintes connexes aux contraintes automates seront ´egalement pr´esent´ees.

4.1 Origines

L’origine de l’utilisation des automates en programmation par contraintes est multiple. Une des pre-mi`eres apparitions de l’utilisation d’automates dans un syst`eme de contraintes est propos´ee par Schulz et al. [85]. Dans le cadre de la reconnaissance de phrases dans des corpus de grande taille, ils proposent d’utiliser la structure compacte des automates pour repr´esenter des structures grammaticales complexes. Ils utilisent ensuite la propagation de contraintes pour s’assurer de certaines propri´et´es morphologiques. Si la combinaison des automates et des contraintes est pr´esente dans cet article, il n’apparaˆıt pas

encore de contrainte automate `a proprement parler. Le cheminement vers un algorithme de filtrage pour

une contrainte portant sur une s´equence de variables, se devant de respecter un motif donn´e, s’est fait au travers d’applications de planification de personnel. Ces derni`eres ont conduit Pesant `a d´evelopper la contrainte stretch [71], puis la contrainte pattern [23].

Dans le document Automates et programmation par contraintes pour la planification de personnel (Page 33-37)