Automates

4.5.1 Présentation de la règle

Dans certaines conditions, il est possible de simplifier un automate dont l’un des états est un automate. Le sous état est alors retiré et tous ses états sont ajoutés à l’automate supérieur, les transitions qui arrivent au sous-état sont transformées pour arriver à l’état initial de l’automate retiré. Les transitions de type toSub qui arrivent à un sous état de l’automate retiré sont transformées en transition de type local et gardent leur état d’arrivée. Cette transformation ne peut donc pas s’appliquer si une transition arrive à un état historique. Cette transformation ne s’applique que pour les états dont toutes les transitions partant de l’état supprimé sont des transitions de type final (c’est-à-dire que la transition ne peut être effectuée que si l’_astd de départ est dans un état final). En effet, si une transition sortante n’est pas de type final, l’_astd est réécrit suivant la règle illustrée à la figure 4.1. Dans le nouvel automate, ces transitions partent de tous les états finaux de l’automate supprimé. Un traitement symétrique à celui appliqué aux transitions de typetoSubest appliqué aux transitions de type fromSub.

Un exemple de cette transformation est illustré à la figure 4.9. La seule transition sortante est la transitiont₄, et elle est de type final (représenté par le point noir à son origine). La règle peut donc être appliquée. Dans l’_astdrésultant de la réécriture, la transition t₄, qui partait de l’étatS₂, part de l’état final de S₂. De la même manière la transitiont₁ qui arrivait àS₂ arrive à l’état initial deS₂. La transitionst₂ qui était de typetoSubest transformée en transition locale et arrive à l’étatS_2.3où elle arrivait dans l’_astd de départ. Symétriquement la transitiont₅ est transformée en transition de type local et part de l’état S2.3 dans les deux _astd.

4.5.2 Formalisation

Notations

Avant de définir cette règle, il est nécessaire de définir de nouvelles notations. En effet, il faut pouvoir transformer en transition locale toutes les transitions de type

Example S2.2 S2.3 S2.4 S2.1 S2 t3_1 t3_2 t3_3 t2 S1 t1 S4 t5 S3 t4 Example S2.2 S2.3 S2.4 S2.1 t3_1 t3_2 t3_3 t2 S1 t1 S4 t5 _S3 t4

figure 4.9 – Un exemple de réécriture d’un automate

transitions issues de δ dans lequel toutes les transitions de type toSub qui arrivaient d’un sous état de n₁ sont transformées en transitions de type local en gardant leur état d’arrivée. Cet ensemble est défini de la manière suivante :

n1δ =^∆{hhloc, n_1[, n₂i, σ, φ,final?i,| hhfsub, n₁, n_1[, n₂i, σ, φ,final?i ∈δ}

Symétriquement, l’ensemble δ_n2 est l’ensemble des transitions qui arrivaient à un sous état den₂ et qui sont transformées en transitions locales. Cet ensemble est défini de la manière suivante :

δn2 ∆

={hhloc, n₁, n_2[i, σ, φ,final?i,| hhtsub, n₁, n₂, n_2[i, σ, φ,final?i ∈δ}

Nous souhaitons également retirer de l’ensemble des transitions toutes les transi-tions qui arrivent à un ensemble d’états donné ou au sous-état d’un ensemble d’états

donnés. Soit E un ensemble d’états et δ un ensemble de transitions, on note _E−δ l’ensemble défini de la manière suivante :

E−δ =^∆{hhloc, n₁, n₂i, σ, φ,final?i ∈δ|n₁ ∈/E}∪ {hhfsub, n₁, n_1[, n₂i, σ, φ,final?i ∈δ |n₁ ∈/ E}∪ {hhtsub, n₁, n₂, n_2[i, σ, φ,final?i ∈δ |n₁ ∈/ E}

Symétriquement, l’ensemble δ−E est l’ensemble δ duquel on a retiré toutes les transitions qui arrivent à un état de E ou un sous état d’un état de E. Il est défini de la manière suivante : δ−E ∆ ={hhloc, n₁, n₂i, σ, φ,final?i ∈δ |n₂ ∈/ E}∪ {hhfsub, n₁, n_1[, n₂i, σ, φ,final?i ∈δ|n₂ ∈/ E}∪ {hhtsub, n1, n2, n2_[i, σ, φ,final?i ∈δ|n2 ∈/ E}

Enfin, afin de vérifier si toutes les transitions partant d’un état sont finales, il faut pouvoir sélectionner les transitions finales. L’ensemble δ|(final?=true) est donc défini de la manière suivante :

δ_{|(final?=true)} ={hη, σ, φ,final?i ∈δ|final? =true}

Formalisation de la règle

Soit un automate A₁ = haut,name₁,Σ₁, N₁, ν₁, δ₁,SF₁,DF₁, n₀₁i dont l’un des sous-_astd n₁ ∈ N₁ est un automate (ν(n₁) = haut, n₁,Σ₂, N₂, ν₂, δ₂,SF₂,DF₂, n₀₂i). Cette _astd ne peut être supprimé que si toutes les transitions qui en partent sont des transitions finales, ce qui se traduit par la condition suivante :

Si cette condition est vérifiée, on commence par retirer toutes les transitions qui arrivent et partent de l’état à supprimer (étape 4.3 ci-dessous). Toutes les transitions de type fromSub qui partent d’un sous état de l’état n₁ sont transformées en tran-sition locale, de même toutes les trantran-sitions de type toSub qui arrivent un sous état de l’état n₁ sont transformées en transition locale (étape 4.4). Les transitions qui arrivaient à l’état n₁ sont remplacées par des transitions qui arrivent à l’état initial den1 (étape 4.5). De même, les transitions qui partaient de l’étatn1 sont remplacées par des transitions qui partent des états finaux de n₁. Si l’état final est un état final non profond (Shallow Final), la transition est une transition non finale (étape 4.6), si l’état final est un état final profond (Deep Final), la transition est une transition finale (étape 4.7). Enfin, toutes les transitions de n₁ sont ajoutées à l’ensemble des transitions (étape 4.8). δ⁰ ={n1}−δ₁−{n1} (4.3) [ n1δ₁^[δ_1n1 (4.4) [ (δ₁{n1})₍−n₀₂) (4.5) [ ni∈SF (₍−ni)({n1}^δ1))[final? :=false] (4.6) [ nj∈DF (_(−nj)(_{n1}δ₁))[final? :=true] (4.7) [ δ2 (4.8)

Si l’état n₁ est l’état initial de A₁, le nouvel état initial est l’état initial de n₁, sinon il reste inchangé. De même, si n1 est un état final de type deep final, les états de type deep final de ν(n₁) sont ajoutées aux états de type deep final de A₁ et les états de type shallow final de ν₁(n₁) sont ajoutés aux états de type shallow final de A₁. Si n₁ est un état final de typeshallow final, tous les états de ν₁(n₁) sont ajoutées aux états de typeshallow final deN₁. Ces règles permettent de calculern⁰₀₁ le nouvel état initial deA₁ etSF⁰ etDF⁰ les nouveaux ensembles d’état finaux. Ces calculs sont résumés dans les tableaux 4.1.

Initial n₁ =n₀₁ n₁ 6=n₀₁ n⁰₀ 1 n₀₂ n₀₁ Final n₁ ∈SF₁ n₁ ∈DF₁ n₁ ∈/ SF₁∪DF₁ SF⁰ (SF₁\{n₁})∪N₂ SF₁∪SF₂ SF₁ DF⁰ DF₁ (DF₁\{n₁})∪DF₂ DF₁

tableau 4.1 – Définition des états initiaux et finaux

haut,name₁,Σ₁∪Σ₂,(N₁\{n₁})∪N₂,({n₁}−ν₁)∪ν₂, δ⁰,SF⁰,DF⁰, n⁰₀₁i

4.5.3 Esquisse de la preuve

Soit A₁ un automate et A₁₁ un automate dont le nom est n₁ qui est un des états de A₁ vérifiant les conditions permettant d’appliquer la règle. Soit A₂ l’automate résultant de l’application de la règle. On cherche à prouver la bisimulation de A₁ par A₂. Pour cela il faut exhiber une relation R entre les états de A₁ et les états de A₂. Pour tout états deA₁₁ et tout état historiqueh, on aR(hn₁, h, si, s). Pour les autres états, la relation R est la relation identité.

A₁ simule A₂

Il faut parcourir l’ensemble des possibilités d’exécuter une transition dans A₂ et vérifier que cette transition peut être exécutées dans A₁. Il y a six règles d’inférences pour exécuter une transition dans un automate :

— Transition de type local : Les transitions de A₂ qui n’arrivent pas et ne

partent pas deA₁₁ sont les mêmes que les transitions deA₁. Elles peuvent donc être exécutées dansA₁ dans les mêmes états. On ajoute ensuite quatre types de transitions locales :

— Les transitions issues de la transformation d’une transition de

type fromSub ou toSub : Dans le cas des transitions de type fromSub, la transition exécutée dansA₂ part de l’état correspondant au sous état de

la transitionfromSub. Le raisonnement est symétrique pour les transitions de typetoSub.

— Les transitions issues de la transformation d’une transition

arri-vant à A₁₁ : Les transitions qui arrivaient àA₁₁ arrivent dansA₂ à l’état qui était initial dans A₁₁. Or, dans la sémantique des _astd, lorsqu’une transition arrive à un état hiérarchique, elle arrive à l’état initial.

— Les transitions issues de la transformation d’une transition

par-tant de A₁₁ : Les transitions qui partaient de A₁₁ étaient des transitions de type final (d’après la condition d’application de la règle). Dans A₂ ces transitions partent des états finaux, et peuvent donc bien être exécutées dans des états équivalents à ceux de A₁.

— Les transitions de l’automate A11 : Les transitions locales de

l’auto-mateA₁₁ peuvent être exécutées dans A₁

— Transition de type toSub (trois règles) : Les seules transitions de type

toSub qui ont été ajoutées dans les transitions deA₂ sont les transitions de type

toSub de l’automate A₁₁. Ces transitions peuvent donc être exécutées dans A₁.

— Transition de type fromSub : De même que pour les transitions de type

toSub, les seules transitions de type fromSub ajoutées sont les transitions de l’automate A₁₁. Ces transitions peuvent donc être exécutées dans A₁.

— Transition dans un sous-_astd: Les sous-_astddeA₂ sont soit des sous-_astd

de A₁ soit des sous-_astd de A₁₁. Toutes les transitions que peut exécuter un sous-_astd deA₂ peuvent donc être exécutées par un sous-_astd de A₁.

Si l’état initial de A₂ est l’état initial de A₁₁ cela signifie quen₁ était l’état initial deA₁. Donc l’état correspondant est initial dansA₁. Sinon, l’état initial est inchangé. Si un état est final dansA₂, il peut venir des états deA₁₁ ou d’un autre état deA₁. Si c’est un état de A₁, c’est qu’il état final dans A₁. Si c’est un état de A₁₁ cela signifie que l’étatn₁ était final. Si l’état est dans les états de type final profond, cela signifie que l’étatn1 était de type final profond, donc l’état correspondant dans A1 est final. Si l’état est dans les états de type final non profond, et qu’il était dans l’ensemble des états finaux non profond de A₁₁, l’état A₁ est dans un état final. Si c’est un état

quelconque de A₁₁, cela signifie que n₁ était un état final non profond de A₁ et donc l’état correspondant est final dans A₁.

A₂ simule A₁

On parcourt de même l’ensemble des possibilités d’exécuter une transition dans A₁. Il y en a également six :

— Transition de type local : Les seules transitions de A₁ qui sont modifiées

sont les transitions qui partent ou arrivent à l’état n₁. Les autres transitions sont conservées à l’identique dans A₂. Elles peuvent être donc être exécutées dans les mêmes états. Deux types de transitions locales sont modifiées :

— Les transitions arrivant à A₁₁ : Dans la sémantique des _astd, après

une telle transition, l’_astd est dans l’état initial de A11. Dans A2, ces transitions ont été transformées pour arriver à l’état correspondant à l’état initial de A₁₁.

— Les transitions partant deA₁₁ : D’après les conditions d’application de

la règles, ces transitions sont des transitions d’état final. Elles ne peuvent être exécutées que siA₁₁ est dans un état final. Or, dansA₂, ces transitions ont été transformées pour partir des états finaux de A₁₁.

— Transition de type toSub (trois règles) : Si ces transitions n’arrivent pas

à un sous état de A₁₁, elles sont conservées dans A₂. D’après les conditions d’applications de la règle, si elles arrivent à un sous-état de A₁₁, ce sous état n’est pas un état historique. De plus la transition a été modifiée pour arriver à l’état de A₂ correspondant à l’état de A₁₁.

— Transition de type fromSub : Si les transitions ne partent pas d’un état

de A₁₁, elles sont conservées dans A₂. Si elles partent d’un sous état de A₂, elles sont transformées en transition de type local et partent de l’état de A₂ correspondant à l’état de A₁₁ dont elle partaient dans A₁.

— Transition dans un sous-_astd: Les transitions qui pouvaient être exécutées

dans un sous-_astdautre queA₁₁ ne sont pas modifiées dansA₂. Les transitions qui pouvaient être exécutées dans A₁₁ sont soit des transitions de A₁₁ et elles sont ajoutées aux transition deA , soit ce sont des transitions qui peuvent être

exécutées dans un sous-_astd deA₁₁ et les sous-_astd deA₁₁ sont ajoutés dans A₂.

Si l’état initial deA₁ n’est pasn₁, la preuve pour l’état initial est triviale. Si l’état initial est n₁, l’état initial de A₂ est l’état initial de A₁₁, et la relation est préservée. Pour les états finaux ne A₁ autres que n₁, la preuve est également triviale. Si n₁ est un état final non profond, tous les états de A₁₁ sont ajoutées au états finaux de A₂. Sin₁ est un état final profond, seuls les états finaux sont ajoutés aux états finaux de A₂, en respectant le fait que ces états soient finaux profonds et finaux non profonds.