et méthodes de résolution
1.2.3 Les ateliers
Une classification des problèmes d’ordonnancement dans un atelier peut s’opérer selon le nombre de machines et leur ordre d’utilisation pour fabriquer un produit.
1.2.3.1 Les ateliers à une machine
Le problème d’atelier à une machine consiste à ordonnancer, sur une seule machine, des tâches constituées d’une seule opération. Pour la minimisation du temps d’exécution totale, l’ordonnancement des tâches toutes disponibles à l’instant 0, toute séquence est une solution optimale. En revanche, d’autres critères et la considération de nouvelles contraintes rendent le problème difficile à résoudre.
1.2.3.2 Les ateliers à machines parallèles
Dans ces ateliers, les machines sont regroupées en parallèle. Ces derniers peuvent effectuer la même opération. Ce type d’atelier peut être divisé en trois sous-catégories selon la vitesse d’exécution des machines :
— les ateliers à machines identiques : toute tâche peut s’exécuter sur n’importe quelle machine avec une même durée opératoire,
— les ateliers à machines uniformes : chaque machine possède sa propre vitesse, indépendamment de la durée de la tâche à exécuter,
— les ateliers à machines indépendantes : la vitesse de chaque machine dépend de l’opération à effectuer.
1.2.3.3 Les ateliers de type flow shop
Les ateliers de type flow shop ou à cheminement unique sont les ateliers constitués d’une ligne de production avec plusieurs machines en série. Dans ce type d’ateliers toutes les tâches
sont traitées par les machines dans le même ordre. Dans les ateliers de type flow shop hybride, des machine peuvent exister en plusieurs exemplaires identiques fonctionnant en parallèle.
La résolution du problème d’ordonnancement de type flow shop à deux machines est polynomiale par l’algorithme de Johnson (1954) suivant :
— Diviser l’ensemble des tâches en deux sous-ensembles disjoints, Sub1 et Sub2; Avec
Sub1 = {Ji, pi1≤ pi2} et Sub2 = {Ji, pi1> pi2}.
— Ordonnancer les tâches appartenant à Sub1 dans un ordre croissant des pi1 et celles de
Sub2 dans une ordre décroissant des pi2.
— Séquencer les tâches de Sub1 puis de Sub2.
1.2.3.4 Les ateliers de type job shop
Appelés également ateliers à cheminement multiple, ce sont des ateliers où les opérations constituant une tâche sont réalisées selon un ordre déterminé, variant selon le mode opératoire de la tâche à exécuter. Le job shop flexible est une extension du modèle job shop classique ; dans lequel une opération peut être traitée sur plusieurs machines alternatives.
La résolution du problème d’ordonnancement de type job shop à deux machines est polynomiale par l’algorithme de Jackson (1956).
L’algorithme commence par une partition des N tâches à ordonnancer sur deux machine
(M1, M2) en quatre sous-ensembles Set1, Set2, Set12, Set21. Setkk0 est l’ensemble des tâches
traitées d’abord sur la machine Mk ensuite sur la machine Mk0 et Setk est l’ensemble des
tâches traitées uniquement sur la machine Mk avec k 6= k0 ∈ {1, 2}.
— Séquencer les tâches appartenant à Set12 et Set21 selon la règle de Johnson. L’ordre
des tâches appartenant à Set1 et Set2 n’a aucun effet sur la date de fin du traitement
sur la machine M1 et M2 respectivement, donc tout ordre est accepté.
— Séquencer les sous ensembles des tâches selon l’ordre suivant :
— On machine M1 : Séquencer Set12 - Set1 - Set21.
— On machine M2 : Séquencer Set21 - Set2 - Set12.
1.2.3.5 Les ateliers de type open shop
Ce type d’atelier est moins contraint que celui de type flow shop ou de type job shop. Ainsi, l’ordre des opérations n’est pas fixé a priori ; le problème d’ordonnancement consiste,
d’une part, à déterminer le cheminement de chaque produit et, d’autre part, à ordonnancer les produits en tenant compte les gammes obtenues, ces deux problèmes pouvant être résolus simultanément.
1.2.4 La complexité
La théorie de la complexité (Cook (1971), Karp (1972), Garey & Johnson (1979)) permet d’analyser les coûts de résolution des problèmes d’optimisation combinatoire, notamment en terme de temps de calcul.
Un problème de décision est un énoncé auquel la réponse peut être uniquement oui ou non. Chaque problème d’optimisation possède un problème de décision correspondant.
Un problème de décision P1 est dit réductible à un autre problème de décision P2 (on
note P1 α P2) s’il existe une fonction polynomiale f qui transforme chaque énoncé de P1 en
un autre énoncé de P2 de telle manière que la réponse pour P1 est oui si, et seulement, si la
réponse pour P2 est oui.
Un problème de décision est dit NP s’il existe un algorithme polynomial qui permet de le résoudre. Autrement, la classe des problèmes NP est la classe des problèmes de décision pouvant être résolus par un algorithme polynomial. Parmi la classe des problèmes NP, on distingue d la classe des problèmes polynômiaux (la classe P ) et la classe des problèmes
NP-Complet.
Un algorithme est dit polynomial (de classe P) si sa complexité temporelle est bornée par un O(p(x)) où p est un polynôme et x est la longueur d’une instance du problème. Un problème de décision est dit polynomial s’il existe un algorithme polynomial qui permet de le résoudre. Il est dit pseudo-polynomial si sa complexité est bornée par un polynôme en fonction de la taille de la plus grande instance du problème.
Un problème NP est dit NP-Complet si tout problème NP est réductible polynomialement en ce problème. De surcroît, un problème Q est NP-Complet s’il est de la classe NP et qu’il existe un problème R connu pour être NP-Complet tel que R α Q.
La classe NP-Complet est aussi la classe des problèmes qui ne sont pas solvables par un algorithme polynomial, sous l’hypothèse P = N P . Cependant, si un problème de NP-Complet est résolu en un temps polynomial, on obtiendrait automatiquement des algorithmes polynômiaux pour tous les problèmes NP-Complet.
pseudo-polynomial. Dans le cas contraire, il est dit NP-Complet au sens fort.
Un problème d’optimisation est dit NP-Difficile si le problème de décision qui lui correspond est NP-Complet. Un problème d’optimisation est effectivement plus difficile que le problème de décision correspondant.