Les aspects humains dans la constitution d’un réseau documentaire

2.1 Une méthodologie de la mise en place d’un portail

2.1.2 Les aspects humains dans la constitution d’un réseau documentaire

Figura 3.1: Gráfico de ψ(x) obtido a partir da resolu¸cão numérica da equa¸cão de Schrödinger utilizando o potencial 2x2_{, o valor da energia pr´}_opria do estado fundamental (obtido utilizando a ex- pressão teórica (3.6)), e, as condi¸cões de fronteira ψ(−5) = 0 e ψ0(−5) = 0.01. O estado não se en- O caso simples do po¸co infinito pode ser re-

solvido da forma descrita acima, no entanto, na situa¸cão ligeiramente mais complexa do po¸co finito ou oscilador harmónico quântico tal pro- cedimento deixa de ser praticável somente de- vido ao facto que ψ diverge para um x suficientemente grande. Isto é problemático pois esse valor de x, na maioria dos casos, encontra-se no interior do dom´ınio em estudo, como pode ser verificado na Figura 3.1. Quando se es- tuda esse sistema analiticamente, pode dizer-se que a constante associada ao termo responsável por essa divergência é nula, resolvendo assim o problema. Numericamente não se tem essa op¸cão. Para evitar esse problema, o dom´ınio em estudo (delimitado à esquerda e à direita por xmin e xmax); é dividido em duas par- tes, e a equa¸cão é resolvida para cada uma

ψ(xmedio) à esquerda e à direita, e o outro é a diferen¸ca entre ψ0(xmedio) à esquerda e à direita, onde xmedio= |xmin− xmax|/2. A equa¸cão esquerda será resolvida utilizando as condi¸cões de fronteira ψ(xmin) = 0, e, ψ0(xmin) = a, onde a é um valor arbitrário. A equa¸cão direita será resolvida com as condi¸cões de fronteira ψ(xmax) = 0 e ψ0(xmax) = ±a. A presen¸ca do sinal de mais ou menos deve-se ao facto de que o estado próprio ψ(x) pode ser uma fun¸cão par ou ´ımpar. Isto é apenas ver- dade se o potencial for simétrico em rela¸cão ao eixo definido por x = xmedio, ou seja, se o potencial for uma fun¸cão par dentro do dom´ınio especificado; caso contrário ψ0_(x

min) 6= ±ψ0(xmax). ´

E poss´ıvel simplificar um pouco mais o esquema. Caso ψ(x) seja par, o valor de ψ(xmedio) terá o mesmo valor esquerda e à direita, assim como, se ψ(x) for ´ımpar, ψ0(xmedio) terá o mesmo valor à esquerda e à direita, desta forma é apenas necessário utilizar um dos parâmetros de shooting. Se for assumido que o n´ıvel fundamental é sempre par e todos os n´ıveis subsequentes são alternadamente pares e ´ımpares, é sempre conhecida a paridade do próximo estado próprio, e, qual parâmetro de shooting deve ser testado.

Para alternar entre a procura estados pares e ´ımpares, estabelece-se a condi¸c˜ao de fronteira ψ0(xmin) = cψ0(xmax). Inicialmente, procura-se um estado par, ent˜ao c = −1 e,

∆ψl = |ψ0(xmedio)esq− ψ0(xmedio)dir|, (3.3)

e o parâmetro de shooting. Após encontrar esse estado, o sinal de c deverá ser trocado e o parâmetro de shooting é agora,

∆ψ = |ψ(xmedio)esq− ψ(xmedio)dir|, (3.4) e assim sucessivamente, onde ψ(xmedio)esq, ψ(xmedio)dir, ψ0(xmedio)esqe ψ0(xmedio)dirsão os valores de ψ e ψ0 à esquerda e à direita de xmedio, respetivamente.

E necessário estabelecer qual é o limite a partir do qual se admite que se está perto de encontrar um estado. O limite é que ∆ψl seja menor ou igual que 0.3 do máximo de ψ0, ou, ∆ψ ser menor ou igual que 0.3 do máximo de ψ, respetivamente para estados pares e ´ımpares.

Da mesma forma, o limite que determina se o estado obtido é estado próprio do sistema é como o descrito acima, mas as fun¸cões deverão ser menores ou iguais que 10−4 do máximo da fun¸cão à qual se comparam.

Além disso, é necessário ter em aten¸cão que a maioria das vezes, a norma dos estados calculados não será unitária. É necessário calcular a sua norma usando a expressão,

|ψ| = Z xmax

xmin

ψ(x)ψ∗(x)dx, (3.5)

onde ψ∗(x) ´e o complexo conjugado de ψ(x); e, dividir o estado pela sua norma ψnormalizado = ψ/|ψ|.

O algoritmo ´e ent˜ao:

1. Estabelecer c = −1 e ∆ψl como o parâmetro de shooting. Escolher uma energia inicial arbitrária com a qual se dará inicio às computa¸cões.

2. Resolver a equa¸cão de Schrödinger utilizando condi¸cões de fronteira designadas acima.

3. Se o estado encontrado for estado próprio (o parâmetro de shooting for suficientemente pequeno), então:

(a) Guardar o valor da energia numa lista designada para o efeito.

(b) Normalizar a fun¸cão de onda e guardá-la numa variável designada para o efeito. (c) Trocar o sinal de c e estabelecer qual das fun¸cões ∆ψl ou ∆ψ será o novo parâmetro

de shooting.

(d) Se já tiverem sido obtidos tantos estados próprios quanto se pretendia, parar as computa¸cões.

(e) Se ainda n˜ao se tiver obtido tantos estados pr´oprios quanto se pretende, dar um passo de 30% da diferen¸ca entre as duas energias anteriores (ou 30% da energia anterior, caso ainda se tenha obtido apenas uma) e regressar ao passo 2.

4. Se n˜ao se estiver perto de encontrar um estado pr´oprio incrementar por um passo proporci- onal a√E e voltar ao passo 2.

5. Se se estiver perto de encontrar um estado próprio, utilizar a expressão (3.2) para determinar a energia a usar na itera¸cão seguinte e regressar ao passo 2.

Ser˜ao de seguida analisados alguns exemplos de forma a testar a efic´acia deste algoritmo.

Po¸co infinito

Utilizando este algoritmo para calcular as energias pr´oprias de uma part´ıcula num po¸co onde o potencial ´_{e nulo entre −5 < x < 5, com ~ = 1 e a massa m = 1, obtiveram-se as energias} 0.04934801, 0.19739213, 0.44413229, e, 0.7895685 para os quatro n´ıveis de energia mais baixa.

A express˜ao obtida analiticamente para estas energias ´e E = 1 2m

nπ~ a

[4], onde a é a largura do po¸co, e, n pertence ao conjunto dos números naturais. De acordo com esta expressão os primeiros quatro n´ıveis são 0.04934802, 0.19739208, 0.44413219, e, 0.78956835. Verifica-se que o erro absoluto é da ordem de 10−8 para os primeiros três, mas da ordem de 10−7 para o quarto. Conclui-se que, apesar do baixo erro relativo ( 1) este tem tendência a subir com o aumento da energia. Ao calcular os n´ıveis de energias mais elevadas verificou-se que o quinquagésimo n´ıvel apresenta um erro relativo de 10−5. Apesar do erro continuar muito menor que a unidade, aumentou em três ordens de grandeza.

Oscilador harm´onico quˆantico

O oscilador harmónico quântico coloca o problema de ter um dom´ınio infinito, o que não pode ser simulado com um método numérico simples. A forma mais simples de lidar com o problema ´

e considerar o dom´ınio entre dois valores fixos de x. Desta forma a situa¸cão f´ısica com que se está a trabalhar é um po¸co infinito, no fundo do qual, o potencial varia como o de um oscilador harmónico. A aproxima¸cão é suficientemente boa desde que a fun¸cão de onda tenha valores muito próximos de zero ( 1) nas imedia¸cões das paredes do po¸co, ou seja, desde que ψ0 1 nas extremidades do dom´ınio em estudo. Caso contrário, a part´ıcula come¸ca a comportar-se como uma part´ıcula num po¸co infinito, e não como uma num oscilador harmónico quântico. Nesse caso, ter-se-ia que alargar o dom´ınio em estudo.

Considere-se um potencial V = 0.5k2x2, com k = 2. Se este for colocado num po¸co entre −5 < x < 5, os quatro valores de energia mais baixa que foram obtidos pelo algoritmo s˜ao 0.99999939, 2.99999998, 5.00000096, e, 7.00000002 (novamente com a constante de Planck tra¸cada e a massa unit´arias).

De acordo com a mecânica quântica, tal potencial origina n´ıveis com energias dadas pela expressão [4]

E = ~k(n + 0.5), (3.6)

com n ∈ N0. A quatro menores energias são 1.0, 3.0, 5.0, e, 7.0. Verifica-se assim que o erro absoluto mantém-se entre 10−7 e 10−8 para estes primeiros n´ıveis. No entanto, ao calcular os n´ıveis de mais elevadas energias, verificou-se que o erro rapidamente sobe, atingindo a ordem 1 no décimo sexto n´ıvel (n = 16). Desta forma para calcular os n´ıveis de energia mais elevada com boa precisão ter-se-ia de exigir que os parâmetros de shooting atingissem um valor mais baixo

Figura 3.2: Os primeiros quatro estados próprios do oscilador harmónico sob o qual age a perturba¸cão U = 0.1x4, obtidos pelo algoritmo.

Oscilador harm´onico quˆantico perturbado

Utilizando o algoritmo com o potencial V = 0.5k2_x2_{+ 0.1x}4 _{com k = 2 para −5 < x < 5,} encontraram-se as energias 1.018000, 3.088101, 5.223598, e 7.419422.

Segundo a teoria das perturba¸c˜oes em segunda ordem a energia do n´ıvel perturbado n ´e [4]

En= En0+ hφn| ˆU |φni + X p6=n X i | hφi p| ˆU |φni |2 E0 n− Ep0 , (3.7)

onde Û é a perturba¸cão, |φni é o estado próprio do n´ıvel n não perturbado, e, En0 é a energia própria do n´ıvel n não perturbado.

De seguida é necessário escrever a perturba¸cão em fun¸cão dos operadores de cria¸cão e aniquila¸cão, usando a rela¸cão [4]

ˆ x = r ~ 2mk(ˆa + ˆa †_), _(3.8)

onde â é o operador de aniquila¸cão e â† o de cria¸c˜_{ao. Utilizando ~ = 1 e m = 1, obtém-se a} perturba¸cão:

ˆ U = 1

160(ˆa

4_{+ ˆ}_a†4_{+ ˆ}_a2_ˆ_a†2_{+ ˆ}_a3_ˆ_a†_{+ ˆ}_a2_ˆ_a†_ˆ_{a + ˆ}_a†2_ˆ_a2_{+ ˆ}_a†2_aˆ_ˆ_a†_{+ ˆ}_aˆ_a†_ˆ_a2_{+ ˆ}_aˆ_a†3_{+ ˆ}_aˆ_a†_ˆ_aˆ_a†_{+ ˆ}_aˆ_a†2_{a + ˆ}_ˆ _a†3_ˆ_a+

+ â†â3+ â†ââ†2+ â†â2â†+ â†ââ†â) (3.9) As energias dos n´ıveis perturbados são 1.087305, 3.219961, 5.454688, e, 7.642522. Verifica-se que a diferen¸ca entre o resultado do algoritmo e o resultado da teoria de perturba¸cões é da ordem de 10−2 para o n´ıvel fundamental, no entanto, rapidamente cresce para a ordem de 0.1. Para testar quais são os resultados mais apropriados, a equa¸cão de Schrödinger foi resolvida com ambos os conjuntos de valores de energia encontrados.

A equa¸cão foi resolvida em dois blocos (para x maior e menor que zero) de forma a que ψ(x) não divirja para um x menor que 5. Desta forma, caso a energia utilizada para a resolu¸cão da equa¸cão de Schrödinger não seja a energia própria do sistema, será discern´ıvel uma descontinuidade em x = 0 (quer de ψ(x) como de ψ0(x)).

Figura 3.3: Os primeiros quatro estados próprios do oscilador harmónico calculados utilizando as energias obtidas com a teoria das perturba¸cões. São notáveis as descontinuidades tanto de ψ(x) (nos n´ıveis 2 e 4) como de ψ0_{(x) (nos n´ıveis 1 e 3) em x = 0.}

Ao analisar as Figuras 3.2 e 3.3 verifica-se que o resultado obtido pelo algoritmo fornece resultados mais precisos que a teoria de perturba¸c˜oes em segunda ordem.

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