3. - ASPECTO METODÓLOGICO

A dualidade de todas as coisas ´e uma no¸c˜ao importante na maioria das culturas. Os n´umeros naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, come¸cando com o n´umero dois, e da´ı por diante. Uma abstra¸c˜ao seguinte foi identificar o n´umero 1 (Bertrand Russel em “A s´erie dos n´umeros naturais”, Introdu¸c˜ao `a filosofia matem´atica.

O avan¸co seguinte na abstra¸c˜ao foi o uso de numerais para representar os n´umeros. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes n´umeros. Por exemplo, os babilˆonicos desenvolveram um sistema de atribui¸c˜ao de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os eg´ıpcios antigos possu´ıam um sistema de numerais com hier´oglifos distintos para 1, 10, e todas as potˆencias de 10 at´e um milh˜ao. Uma grava¸c˜ao em pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representa¸c˜ao similar para o n´umero 4622, como em Georges Ifrah, na HISTORIA UNIVERSAL DOS ALGARISMOS.

Um avan¸co muito posterior na abstra¸c˜ao foi o desenvolvimento da ideia do zero como um n´umero com seu pr´oprio numeral, como em C´elia Maria Carolino Pires, “N´umeros Naturais e Opera¸c˜oes”. Um d´ıgito zero tem sido utilizado como nota¸c˜ao

de posi¸c˜ao desde cerca de 700 a.C. pelos babilˆonicos, por´em ele nunca era utilizado como elemento final. O conceito da forma como ele ´e utilizado atualmente se originou com o matem´atico indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um n´umero por todos os computus (calculadoras da idade m´edia) come¸cando com Dionysius Exiguus (470 d.C-544 d.C) em 525, quem escreveu um tratado de matem´atica elementar, por´em no geral nenhum numeral romano foi utilizado para escrevˆe-lo. Ao inv´es disto, a palavra latina para ”nenhum”, “nullae”, foi empregada pelos romanos.

O primeiro estudo esquem´atico dos n´umeros como abstra¸c˜ao (ou seja, como entidades abstratas) ´e comumente atribu´ıdo aos fil´osofos gregos Pit´agoras(570 a.C-495 a.C) e posteriormente por Arquimedes(287 a.C-212 a.C). Entretanto, estudos independen- tes tamb´em ocorreram por volta do mesmo per´ıodo na ´India, China, e Mesoam´erica (regi˜ao atual da Am´erica Central).

No s´eculo XIX, uma defini¸c˜ao do conjunto te´orico dos n´umeros naturais foi de- senvolvida. Com esta defini¸c˜ao, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao conjunto vazio) como um n´umero natural. Esta conven¸c˜ao ´e seguida pelos teori- zadores de conjuntos, logicistas, e cientistas da computa¸c˜ao. Outros matem´aticos, principalmente os teorizadores dos n´umeros, comumente preferem seguir a tradi¸c˜ao antiga e excluir o zero dos n´umeros naturais, Da´ı a nota¸c˜_{ao N}∗ para indicar a exclus˜ao do zero.

3.1. N´umeros Naturais 51

abstrato de n´umero surgiu muito depois. N´umeros naturais s˜ao abstra¸c˜oes criadas pelos humanos para contar objetos. O conjunto dos \index{n´umeros naturais}, denotado por N ´e dado por {1, 2, 3, ...}.

A palavra grega “axioma” ´e usada na matem´atica com o significado que deve ser, por princ´ıpio, aceita como uma verdade. ou seja, ´e uma premissa ou um pos- tulado. As raizes da matem´atica s˜ao os axiomas. Todas as teorias s˜ao baseadas nos seus axiomas.

Uma constru¸c˜ao consistente do Conjunto dos N´umeros Naturais foi desenvolvida no s´eculo XIX por Giuseppe Peano. Essa constru¸c˜ao, comumente chamada de Axiomas de Peano, ´e uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de constru¸c˜ao de conjuntos num´ericos.

Giuseppe Peano (1858-1932) foi um matem´atico Italiano que contribuiu bastante sobre a nota¸c˜ao que hoje ´e usada. A axiomatiza¸c˜ao padr˜ao dos n´umeros naturais ´e chamada de , em sua homenagem. Como parte desse esfor¸co, ele fez contribui¸c˜oes fundamentais para o tratamento rigoroso e sistem´atico do m´etodo de prova da . Ele passou a maior parte da sua carreira ensinando matem´atica na Universidade de Turim, na It´alia.

Figura 15 – Peano - Os princ´ıpios da aritm´etica, apresentados por um novo m´etodo.

Fonte: pt.wikipedia.org.

3.1.1

Os Axiomas de Peano

Descrito informalmente: 1. Zero ´e um n´umero.

2. Se a ´e um n´umero, ent˜ao o sucessor de a ´e um n´umero chamado de s(a). 3. Zero n˜ao ´e sucessor de nenhum n´umero.

4. N˜ao existem dois n´umeros com o mesmo sucessor.

5. Se uma propriedade pertence a zero, e tamb´em ao sucessor de todo n´umero, ent˜ao todos os n´umeros tem essa propriedade (Axioma da Indu¸c˜ao). Agora, considerando-se tamb´em o 0 e os n´umeros naturais {1, 2, 3, ...}, os axiomas de Peano e as opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao, toda a ´algebra pode ser desenvolvida. Uma observa¸c˜ao interessante ´e que tendo-se a e seu sucessor b descrito como uma fun¸c˜ao s, tala que s(a) = b, pode-se definir as opera¸c˜oes da aritm´etica com os n´umeros naturais Janos (2009):

1. a + b = b + a (comutatividade da adi¸c˜ao, para um n´umero finito de parcelas) 2. a.b = b.a (comutatividade da multiplica¸c˜ao)

3. a + (b + c) = (a + b) + c (associatidade da adi¸cao) 4. a.(b.c) = (a.b).c (associatividade da multiplica¸c˜ao)

5. a.(b + c) = a.b + a.c (distributividade da multiplica¸c˜ao, em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao) Aqui, a multiplica¸c˜ao ´e definida como a.b = axb = b + b + ... + b, onde b ´e somado tantas vezes quanto for o valor de ”a”. Exemplo: 4x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12, ou seja, uma multiplica¸c˜ao significa somar 4 vezes o valor 3. Tamb´em pode-se ver uma soma s como uma fun¸c˜ao que para cada dois naturais [a, b] → a + b. O mesmo para a multiplica¸c˜ao que associa dois operandos (a, b) → a.b = axb.

As leis da aritm´etica para os n´umeros naturais parecem ´obvias porque estamos acostumados com elas. Mas, precisamos ter em mente que existem outras aritm´eticas em que estas leis podem n˜ao ser v´alidas. Por exemplo, na aritm´etica das matrizes, a propriedade (2) n˜ao ´a v´alida, pois a multiplica¸c˜ao de matrizes n˜ao ´e comutativa.

3.1.2

A opera¸c˜ao de subtra¸c˜ao e os n´umeros negativos

Das propriedade de (1) a (5) podemos definir a rela¸c˜ao de desigualdade. Esta ´e uma rela¸c˜_{ao de ordem sobre N. A rela¸c˜ao entre dois n´umeros naturais, b > a} (”b”maior que ”a”) significa que, a partir de ”a”, pode obter ”b”, adicionando-se um quantidade ”c”ao conte´udo ”a”, isto ´e, b = a + c. Isto ´e que nos leva a opera¸c˜ao de subtra¸c˜ao, c = (b − a). Ent˜ao, a diferen¸ca (b − a) de dois n´umeros naturais ´e o n´umero natural c. Entretanto, no dom´ınio dos naturais, isto s´o e v´alido, se b > a. A rela¸c˜ao de desigualdade b > a ou que a < b, ou mesmo que a ≤ b, pressup˜oe, intuitivamente, uma rela¸c˜ao de ordem sobre o conjunto dos n´_{umeros naturais N.} Num cap´ıtulo posterior ´e mostrado o que ´e, formalmente, uma rela¸c˜ao de ordem

3.1. N´umeros Naturais 53

sobre um conjunto, ou uma rela¸c˜_{ao de ordem parcial sobre N.}

Ocorreu um enorme avan¸co quando esta restri¸c˜ao foi resolvida pela introdu¸c˜ao do ”0”e do ”1”, fazendo-se aparecer que:

• a + 0 = a (”0”´e um elemento distinguido e neutro para a adi¸c˜ao)

• a − a = 0 (isto pode ser provado, como est´a JACY MONTEIRO (1969), p.75. • a.0 = 0 (por defini¸c˜ao de multiplica¸c˜ao)

e a introdu¸c˜ao dos n´umeros negativos -1, -2, -3, ..., em conjunto com a defini¸c˜ao (b −a) = −(a −b). S´o assim, puderam ser representadas algebricamente, os atrasos, os delocamentos em sentido contr´ario, os d´ebitos financeiros, as temperaturas negativas (frias). Historiadores acreditam que o ”0”apareceu por volta de 300 a.C, para significar, por exemplo, o ”n˜ao sobrou nenhum ...”e o uso do ”0”para diferenciar, por exemplo 87 de 807, surgiu muito tempo depois Janos(2009). E o outro elemento importante de N ´e ”1”.

3.1.3

Princ´ıpio da Indu¸c˜_{ao Finita sobre N}

Indu¸c˜ao ´e muito comum em matem´atica (quando se envolve os n´umeros naturais), para uso em defini¸c˜oes e provas matem´aticas, mas tamb´em t´ıpica, para ser aplicada em v´arias partes da ciˆencia da computa¸c˜ao.

Defini¸c˜oes indutivas s˜ao especialmente adequadas para uso com conjuntos in- finitos. Al´em disso, conjuntos definidos por indu¸c˜ao, ganham, implicitamente, uma estrutura que pode servir como base para a defini¸c˜ao indutiva de fun¸c˜oes sobre esses conjuntos. Provas indutivas s˜ao especialmente adequadas para proprie- dades de conjuntos com elementos, de comprimento ilimitado.

Consideremos as seguintes duas formula¸c˜oes equivalentes do princ´ıpio da indu¸c˜ao finita sobre N:

1. P ocorre para n = 0.

2. Se P ocorre para um n ∈ N, ent˜ao P tamb´em ocorre para n + 1. Ou de outra forma:

1. P ocorre para n = 0.

2. Se n ∈ N, n 6= 0 e P ocorre para todo m ∈ N, tal que m < n, ent˜ao P tamb´em ocorre para n.

Mais sobre a constru¸c˜ao formal dos n´_{umeros naturais N e a prova de v´arios teoremas} sobre N, o leitor por estudar emMonteiro (1969), Cap´ıtulo II, 2, se¸c˜ao 2.1, p.10.