transport réatif en 2D
The inuene of spatial variability on 2D reative transport
simulations
orresponding author : Centre de
Géos-ienes,EoledesMinesdeParis,35rueSaint
Honoré, 77305 Fontainebleau Cedex, Frane,
tel.:(33)164694936,fax:(33)164694713,
vinent.lagneauensmp.fr
Résumé
La desriptionde lavariabilité spatialedans les
simulations de transport réatif est généralement
négligée.Dansetteétude,nousobservonsl'impat
deette variabilitésur lesrésultatsde simulations
2D,surunegéométrieélémentaire,dansunas
hi-mique simple de rétroationnégative:
augmenta-tiondelaporositélorsdedissolutiondealite.Les
résultatsmettentenavantlerleprépondérantde
la portée et de la dispersivité inématique, suivis
parlavariane et la inétique.L'impat de la
va-riabilitéstohastique(entrediérentstirages
aléa-toire)n'est pas négligeablenon plus, puisqu'il est
demême ordrede grandeur queeluide laportée
etdeladispersivité.
Mots-lés :variabilité,transportréatif,
rétro-ation,portée,dispersivité,inétique
Abstrat
Thedesriptionofthespatialvariabilityin
rea-tivetransportsimulationisgenerallynegleted.In
this study, we emphasize the impat of this
va-riability in 2D simulation results, on an
elemen-tarygeometry,forasimplehemistrywithpositive
feedbak: theinreaseofporosityand subsequent
permeability during alitedissolution.the results
highlighttheleadingroleoftherangeandthe
kine-matidispersivity,followedbythevarianeandthe
kinetis.The impatofstohasti variability
(bet-weenseveral draws) isnotnegligibleeither,of the
sameorder ofmagnitude as therange and
disper-sivity.
Keywords:variability,reativetransport,
feed-bak,range,dispersivity,kinetis
Abridged English version
0.1 Introdution
Reativetransportisapowerfultoolforvarious
geos-ienes appliations. However, the expliit desription
ofthespatialvariabilityofitsvariables(porosity,
per-meability,mineralonentrations,...)iswidely
negle-ted,possiblyduetothestillextensiveomputationtime
of reative transport simulations. Thisstudy fousses
ontheimpatofthespatialvariability,andthe
hierar-hisationofthesimulationsparameters.
0.1.1 Tools usedin thestudy
Thespatial variability of permeabilityand porosity
hasbeensimulatedusinggeostatistitoolsonane,
re-gulargrid.SimulatingthroughFastFourierTransform
deompositionallows toeasilyobtaindierent
orrela-tionlengthsfromthesamesetofrandomvalues,
there-fore lteringtheeetofrandomnesswhenomparing
dierent geostatistial ranges. The o-regionalization
modelonsideredisintrinsi,whihmeansthatall
spa-tial strutures, i.e. diret and ross-orrelation
fun-tions, are proportional to one model, whih was set
spheri. The gaussian variables are then lognormally
transformedapplyingaorrelationlawderivedfromthe
Bretjinski'srelation.
Thereative transportsimulations relyonthe
Hy-teode[1℄:anitevolumehydrodynamimodule,on
anon-struturedvoronoï gridoupledto thehemial
speiationodeChess[2℄.
Upsaling tehniques were requiredto linkthe ne
regular grid geostatistial simulations with the oarse
reativetransportgrid.Thesetehniqueshavebeen
dis-ussedin[3℄.
Anumerialexperimentshemehasbeendevisedto
investigate the behaviour of the geostatisti
parame-ters(range,varianeandorrelation)andthe
physio-hemialparameters(dispersivity,kinetis).Allthe
si-mulations have been performed on the same random
drawtoremoveanystohastieet.
0.2 Denition of the system
The system onsidered has been kept as simple as
possible:asquarepermeameter,withonstantowand
onstantonentrationattheupperboundary,onstant
headandzero-gradientonentrationattheoutlet,and
impermeablesides.Thehemial reationisthe
disso-lution of alite CaCO3 by injeted hydrohlori aid
HCl:
CaCO3+ 2HCl⇀↽Ca2++CO2(aq)+H2O+ 2Cl− (1)
Thisreationleadstoaninreaseoftheporosity.
Clas-sially, Thefeedbak of hemistry on the
hydrodyna-misistakenintoaountbyanupdateofthe
permea-bilityusing aempirial porosity-permeabilityrelation.
Following the hoie on the onstraint for the initial
porosity-permeability orrelation, Bretjinski's law has
inahomogeneousmedium,underthehemial
equi-libriumqssumption,areationfrontprogressesat
uni-formveloity throughthemedium(Fig.1).Forslower
kinetis,thefrontisdilutedandeventuallyvanishesfor
quasiuniformdissolution. Thisbehaviourisontrolled
bythe ompetitionbetweenhemialkinetisand
hy-drodynamis, whih is represented by the number of
Damkhöler:
Da= k·L u·C.
Unsing this formulation, the shift is loated around
Da= 50.
0.2.2 Heterogeneous medium appliation,
denitionof the observables
Under heterogeneous onditions, the reation front
isdistorted,duetothehistoryofdissolution,with
fas-terdissolutionisthehigherpermeabilityareas(Fig.2).
Informationonthe front behaviour anbe quantied.
A rst global observable is the evolution the integral
of remaining alite (Fig. 3) : it aptures the
diver-gene from homogeneity. The seond observable, the
WhiteTopHat(WTH),isameasureofthefrontshape,
thewidthandlengthofpossiblengering.Anexample
ofevolution of theWTHduring asimulation(Fig. 4)
showsthegeneraltendanytoaninreaseofthengers
length,as thengeringdevelops,and aslight inrease
intheirwidthduetotheirslowerosion.
onditions inuene
0.3.1 Spatial parameters
The simulation results (Fig. 5) show the major
ef-fetof therangeonthe divergene fromhomogeneity.
The variane enhane this eet, while the
porosity-permeabilityorrelationhasalowereet.
Also,thefrontshape(Fig.6)ismoreaetedbythe
range : the ngering width is in diret relation with
therange.Thevarianeinreasesthengeringlength,
withouteetontheirwidth.
0.3.2 Dispersivity
Dispersivityhasaneetofthesameorderof
magni-tudeastherange(Fig.7):largedispersivitiessmooth
theheterogeneities.
0.3.3 Kinetis
As the kinetis gets slower (from the equilibrium
state), the dierene from homogeneity inreases
(Fig.8,Da= 93.75).However,whenthekinetisslows
undertheDashift,reationsourmoreuniformly,and
the system getsloserto the homogeneoussimulation
(Fig.8,Da= 18.75).
0.3.4 Stohastivariability
Thestohastieethasbeenassessedon10random
draws,fortwodispersivities(Fig.10):theeetislarge,
ofthesameorderofmagnitudeastheeetoftherange
andthedispersivity.
0.4 Conlusion
The reative transport simulations on an
elemen-tarygeometry,and simplepositive feedbakhemistry
using aninitial spatialvariability enableda
hierarhi-sation of the parameters. The maximum eet,
om-pared to a homogeneous simulation, is reahed for a
large range, low dispersivity and kinetis around the
hemial-hydrodynamialontrolshft.Eetsofthe
va-rianeofporosity-permeabilityorrelationareofseond
order, as the eetof aninitial variability on mineral
onentrations(notshowninthispaper).
Other simulations onanegativefeedbakhemistry
(porosity redution) showed very dierent results. In
thisase,thengeringisstabilizedbythepermeability
redutionatthepositionofthehigherreation rates.
Perspetives inludeageneralisation ofthe
variabi-lity diagnostis of this study and their use for more
realistiproblems.
1 Introdution
La modélisation du transport réatif en milieu
poreux est un outil puissant, de plus en plus
uti-lisédansdiérentsdomainesdesgéosienes,pour
lutions, stokage de déhets ou de gaz,
métallo-génèse, impat d'installations minières... En deux
déennies,degros eorts ontaugmenté
onsidéra-blement la puissane des odes disponibles et les
problèmesqu'ilspeuventtraiter(hydrodynamique
non-saturéeoubiphasique,ouplagethermique,
ré-dox,inétiquesomplexes,mirobiologie,...).
Para-doxalement,unaspetfondamentalensienedela
Terreaététrèslargementoultéparlesdiérentes
études:ladesriptionde lavariabilité intrinsèque
desmilieux géologiques, àtoutes leséhelles. Une
desraisons est vraisemblablement la puissanede
alulrequise pares odes, quilimite enore
sou-ventlessujetsd'étudeàseulementquelquesmilliers
demaillespourdestempsdealulsraisonables.
Dans ette étude, nous avons voulu quantier
l'impatdelapriseenompted'unevariabilité
spa-tialesurlesrésultatsdealulsouplésen2D.Pour
ette raison,nous avonsvolontairementhoisiune
himieetune géométrietrèssimples,aveun
trai-tementpropredelavariablitéspatialeinitiale. Un
plan d'expériene numérique a été mis en oeuvre
pourouvrirlesprinipauxparamètrespouvant
in-uenerlesrésultatsdealulandepermettreleur
hiérarhisation.
1.1 Les outils utilisés
Une variabilitéspatialeinitialeaétégénéréesur
les hamps de porosité et de perméabilité (la
va-riabilitédesonentrations enminéraux réatifs a
été traitée mais ne sera pasabordé e dans e
do-ument). Pourela, nousavonsutilisé des
simula-tionsgéostatistiquesàgrillenerégulièreobtenues
partransformation de Fourier disrète. Cette
te-niquepermetd'obténirdehampsgaussiensde
dif-ferenteslongeursdeorrélationàpartird'ununique
tiragealéatoire,equiéviteleseetsstohastiques
danslaomparaisondedierentesportées.Le
mo-delde orrégionalisationonsidéré est intrinsèque,
où toutes fontions, diretes et roisées, de
orré-lationspatialesontmultiplesd'unmodèledebase.
Les variables gaussiennes orrélées ainsi obtenues
sonttransforméesenlognormalenutilisantuneloi
deorrélationporosité-permeabilitéderivéedeelle
deBretjinski.
Letransportréatifaétéaluléàl'aideduode
oupléHytedéveloppéàl'EoledesMinesde
Pa-ris[1℄.Ilreposepoursapartiehydrodynamiquesur
unmodule éoulement, thermique et transport en
volumes nis, sur des maillages non-struturés en
éléments de voronoï. La partie himique est prise
enompte parleode hessde l'Eoledes Mines
deParis[2℄:spéiationenphaseaqueuse,éhange
d'ionset omplexation desurfae,préipitation et
libre/inétique.
Le reours à des tehniques de hangement
d'éhelle a été néessaire pour faire le lien entre
les simulations géostatistiques à grille ne et les
maillages grossiersdesmodélisationsouplées
hi-mie hydrodynamique. Ces tehniques ont été
pré-sentées et disutées dans [3℄ : elles ont été
éta-blies dansleasleplusgénéraldesmaillages
non-struturés utilisés par Hyte, et reposent
fonda-mentalementsurlesbonnespropriétésdumaillage
(triangleséquisurfaesdepartetd'autred'unefae
d'un élémentdemaillage)et dushémade
résolu-tion(alul restreintàlaomposante normaledes
ux auxfaesdesélémentsdemaillage).
1.2 Plan des expérienes
Deuxfamillesdeparamètresontété
partiulière-mentobservésauoursdesexpérienesnumériques.
Lapremièreserapporteauxsimulations
géostatis-tiques:portéea,varianeσetorrélation
porosité-perméabilité ρ. La seondeserapporteàla
repré-sentationphysiqueethimiquedusystème:
disper-sioninématiqueα,inétiquedesréations.
Le plan d'expérienes numériques a onsisté à
explorer l'impat de haun de es paramètres en
leurxantquelquesvaleursdisrètes:deuxportées,
deux varianes,deuxorrélations, deux
dispersivi-tés, inq onstantes inétiques (dont le as limite
des réationsàl'équilibre). Toutes essimulations
ontété eetuées sur le même tirage aléatoire, e
quiélimine leseetspurementstohastiques.
2 Système onsidéré
Le système hydrodynamique étudié est très
simple: il s'agit d'unperméamètrearré,dans
le-quellesonditionsauxlimitesamontsontvitessede
Dary et onentrationimposée,et àl'avalharge
imposée et gradient de onentration nul; les
li-mitessurlestéssontétanhes.Bienqueehoix
de onditions soit restritif d'un point de vue
ap-pliations pratiques,il présente l'avantagede
sim-plier laompréhensiondesrésultatsdealul :le
uide et le réatif entrent dans le système à ux
onstant, indépendamment des propriétés dans le
perméamètreet deleurévolution.
Le système himique retenu est elui de la
dis-solution de la aliteCaCO3 parde l'aide
hlor-hydrique HCl. Cette réation trouve des
applia-tionspratiquesparexempledansledéveloppement
depuits(géniepétrolier,géothermie).Plus
généra-lement, ellese rapprohe desproblèmes d'attaque
aidedelaalite:karstiation,impatd'un
sto-kage de CO2, ... Enn, du point de vue
pure-ment delarétroationde lahimiesur
l'hydrody-namique,ellereprésentel'eetd'uneaugmentation
delaporosité.
Laréationpeuts'érireparexemple:
CaCO3+ 2HCl⇀↽Ca2++CO2(aq)+H2O+ 2Cl−
(2)
La dissolution de la alite tamponne le pH en
onsommantdel'aide,et produitdesélémentsen
solution, alium, hlorure et CO2 dissous. Cette
réation s'aompagne ainsi d'une diminution du
volume minéral, don d'une augmentation du
vo-lumeporal.
De manière intuitive, la modiation du milieu
poreux implique des modiations en rétroation
surlespropriétés del'éoulementet dutransport.
Lesmodèlesàl'éhelleduVolumeÉlémentaire
Re-présentatifs ne sont pas apables de prendre en
ompte es modiations de manière intrinsèque.
Ilimportedondefournirdel'information
supplé-mentaire pourqu'ilsprennent en ompte ette
ré-troation.L'approhelaplussimpleonsisteàrelier
porosité(variableextensive,alulableparbilande
volume minéral)et perméabilité à l'aided'une
re-lationempirique.Commepourlaontraintesur la
orrélationinitiale,nousavonsretenularelationde
Bretjinski[8℄:
En milieuhomogène,ou de manièreéquivalente
dansuneolonne1D,ensousl'hypothèsede
l'équi-libreloal,ladissolutionprogressesuivantunfront
raide: aliteentièrement dissoute téamont et
aliteintateàl'aval(Fig.1).
Lorsque les réations sont ralenties, sous l'eet
d'uneinétiquederéation,le frontdevientmoins
raide,voiredisparaîtomplètementauprotd'une
dissolution quasiuniforme. Ce passage dépend de
laompétitionentrevitesse inétiqueet vitessede
transport,quipeutêtrerésuméeparlenombre
adi-mensionnel de Damkhöler : rapport du temps
a-ratéristiquedelainétiquehimiqueàdelui dela
onvetion.Sonériturepréisedépenddesauteurs
(parexemple [5℄, [6℄,[7℄,[4℄); nousavonsretenu la
dénitionsuivante:
Da= k·L u·C,
oùkest laonstante inétique [molal/s℄,Lla
lon-gueurdumilieuonsidéré[m℄,ulavitessedeDary
0
Fig.1Prolsdedissolutiondelaaliteenmilieu
homogène,suivantdiérentesvaleursdeDa.
Fig. 1 Calite dissolution proles in a
homoge-neousmedium,forseveralvaluesofDa.
[m/s℄etClaonentrationenHClàlalimite [mo-lal℄. Suivant ette dénition, la transition du
ré-gime inétique au régime hydrodynamique se fait
auxalentoursdeDa= 50(Fig.1).
2.2 Appliation au as hétérogène,
dénition des observables
En milieu hétérogène, la notion de fronts reste
valable,maisleurdistributiondansl'espaedépend
del'historiquedeladissolution:eneet,les
iru-lations de uidesse onentrentdans leszones de
plusforteperméabilité(Fig.2.Enoutre, dansune
zone initialement à forte perméabilité les apports
deréatifssontrenforés,equiaélèrela
dissolu-tion,etaugmenteplusenorelaperméabilité.Cette
rétroationpositiveonduitàlaréationetau
déve-loppementdeheminspréférentiels,quiaentuent
leseetsdelavariabilitéspatialeinitiale.
Les systèmes ainsi simulés sont omplexes, et
nous avons été amenés à dénir ertaines
obser-vablespourquantierlesrésultats.Lapremièrede
es observables est l'évolution au ours du temps
(oudemanièreéquivalente d'aideinjeté)de
l'in-tégralede laaliterestantesurlasurfae du
per-méamètre(Fig.3,enhaut).
On peut remarquer que dans les premiers
ins-tants, la ourbe suit le as homogène : en eet,
l'aideestinjetéàuxonstantet,silainétique
est susamment rapide, réagit (de manière quasi
quantitative) àl'intérieur duperméamètre,
entraî-nantladissolutiond'unequantitééquivalente(mais
déloalisée) de alite. Lorsqu'un point du front
dedissolutionpereleperméamètre,unepartiedu
uides'éhappesansréation,etlaourbes'éarte
delaourbehomogène,jusqu'aumomentoùtoute
laaliteestdissoute.
Fig.2Exempledefrontderéationdelaalite
dansunmilieuhétérogène(perméabilité ethamp
devitesse) : lefront àhaqueinstant est déformé
parl'historiquedeladissolution,leslignesde
ou-rantseonentrentdansleszonesdeplusforte
per-méabilité,partiulièrementaprèslaperée.
Fig. 2 Example of a alite reating front in a
heterogeneousmedium (permeability and veloity
eld):thefronturrentpositionistheresultofthe
historyofdissolution,thelines ofurrentfouson
thehigherpermeabilityareas,partiularlyafterthe
brakthrough.
utile surletemps de perée duperméamètre,mais
passurlaformedesfronts.Nousl'avonsdon
om-plété par une seonde observable : le White Top
Hat(WTH,Fig.3enbas).Celui-iestunemesure
de l'ouverture de la zone amont, mesuréepar des
élémentsstruturants delongueur roissante.Une
ourbe de WTH déallée vers les petits éléments
estaratéristiquededigitationsdefaibleslargeurs
(ourbebleue); lalargeuraratéristiquedes
digi-tationsestdonnéeparlepointderupturedepente
de la ourbe (ii aux alentours de 10). En outre,
lahauteuratteinteparlaourbeWTHdonne une
indiationsurlaprofondeurdeesdigitations.
Unexempled'évolutiondufrontdansune
simula-tionhétérogèneauoursdutempsestdonnéFig.4.
On peut observer sur la séquene de ourbes
WTH un aroissement dans le temps de la
pro-fondeur des digitations (déélage vers le haut du
palier), eet de la rétroationpositivedéjà
disu-tée, ainsi qu'unelégère augmentation auours du
temps de la largeur aratéristique de es
digita-tions(déalageversladroite),quiestliéeàlalente
érosiondeesheminspréférentiels.
3 Inuene de la variabilité
et des onditions
hydrodyna-miques
Nousavonsmenélepland'expérienes1.2surla
basedeesdeuxobservables.
3.1 Inuene des paramètres
spa-tiaux
Nous avons mené les aluls sur un ensemble
exhaustif de paires de valeurs pour la portée a,
la variane σ et la orrélation initiale
porosité-perméabilité ρ, dans le as équilibre thermodyna-mique,aveunedispersion inématiqueélevée(0.1
foislatailleduperméamètre).
Lesrésultatsdualulsousformeintégrale(Fig.
5)montrentl'inuene prépondérantedelaportée
asurl'éartàlasimulationhomogène.
En eet, les fortes portées permettent la
réa-tion de strutures plus développées, qui peuvent
mieuxonduireàdeshenalisations.Lavarianeσ
aune inuene moins importante :pourles fortes
varianes,l'eet dela portéeest augmenté.Enn,
la orrélation a un rle mineur : les fortes
orré-lations augmententaussil'éart auas homogène,
mais eteet n'estréellementvisible quepourles
fortesportéeset fortesvarianes.
0 50 100 150 200 250 300
Fig.3Lesdeuxobservablesonsidéréesdanset
étude: intégrale de laalite restante en fontion
dutemps(référenehomogèneenpointillés),White
TopHat.
Fig.3Theobservablesofthisstudy:remaining
aliteintegralasafuntionoftime(homogeneous
referenein dot-line),WhiteTopHat.
20 40 60 80 100
0200400600Surface WTH (n. mailles)
Longueur élément structurant [m]
time
Fig. 4Évolutiondelaformedufront(exprimée
enWTH)auoursdesaprogressiondanslemilieu.
Fig. 4 Front shape evolution (as WTH) during
itsprogressionthroughthemedium.
Fig.5Inuene delavarianeσpourdiérentes
portéesetoeientsdeorrélation:ourbes
inté-grales.
Fig. 5 Inuene of the variane σ for several
rangesandorrelationoeients:integral.
20 40 60 80 100
Fig.6Inuenedelavarianeσpourdiérentes
portéeset oeientsdeorrélation:WTH.
Fig. 6 Inuene of the variane σ for several
rangesandorrelationoeients: WTH.
Dupointdevuedelaforme desfronts,onpeut
remarquer aussi l'impat prinipal de la portée
(Fig.6).
La largeur des digitations est ainsi en relation
direte ave la portée (20 pour une portée 10, 60
pouruneportée30).Ilaétévériésurdes
simula-tionsgrandelargeur(20foislaportée)queeteet
n'étaitpasuneetdebord.
On remarqueraenorel'inuene dela variane
qui augmente la profondeur des digitations, sans
modiersensiblementleurlargeur.Laorrélationa
modiersensiblementleurlargeur.Laorrélationa