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Article 3 - ´ Evolution de la pression et d´eformation des milieux gran-

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 34-40)

frac-turation pneumatique

Nous pr´esentons ici une ´etude sur l’´evolution des d´eformations et de la pression interstitielle dans un milieu granulaire dans les mˆemes exp´eriences que dans la section pr´ec´edente. Les champs de d´eplacement du milieu granulaire sont obtenus `a partir d’images exp´erimentales par corr´elation d’image num´erique (DIC), et l’´evolution de la pression de fluide poreux est estim´ee num´eriquement en r´esolvant une ´equation de diffusion pour la surpression de la phase air. En outre, nous ´evaluons la solution de l’´equation de Laplace pour le champ de pression `a chaque instant pour v´erifier si, quand et o`u le champ de pression diffusante peut ˆetre approch´e par l’´equation de Laplace.

Typiquement, le processus de d´eformation pendant les exp´eriences peut ˆetre s´epar´e en 3 ´etapes; La mobilisation initiale des grains, la formation des canaux et la compaction autour, et l’´etape en instabilit´es de glissement dans un milieu compact´e. Parce que le syst`eme devient bloqu´e en raison des conditions aux limites, peu d’activit´e a lieu apr`es 5 s. En comparant la diff´erence entre la pression de pore diffusante et pression solution de Laplace, nous avons constat´e que les deux solutions sont pratiquement ´egales apr`es 0.8 - 1 s. La partie gauche de la figure 1.11 montre des instantan´es de l’amplitude de la vitesse granulaire pendant des fenˆetres temporelles de 10 ms pour une exp´erience avec une pression d’injection de 200 kPa. Les instantan´es sont centr´es sur t = 100, 200, 300, 400, 500 et 600 ms, montrant des d´eplacements typiques pendant les ´etapes initiales de mobilisation et de chenalisation. Le premier instantan´e, `a t = 100 ms se trouve dans la derni`ere partie de l’´etape de mobilisation initiale. Il n’y a toujours pas de canal form´e, juste une interface l´eg`erement incurv´ee air-solide avec une zone de grains mobilis´es devant elle, couvrant environ la moiti´e de la cellule. Le d´eplacement se fait principalement dans le sens de l’´ecoulement, et est plus rapide le long du centre de la cellule et plus proche de l’interface air-solide. Le reste des instantan´es, t = 200−600 ms, sont pris au cours de l’´etape d’instabilit´e et de compaction. Au cours de cette ´etape, les doigts s’ouvrent et forment un canal d’invasion croissant dans le temps. La zone initialement grande et ´etal´ee de grains mobilis´es devant l’interface air-solide se r´etr´ecit en taille et amplitude au fil du temps, en se concentrant autour des pointes des plus longs doigts. Les d´eplacements sont les plus importants pr`es et `a l’avant des doigts les plus longs, et les mouvements derri`ere l’extr´emit´e des doigts les plus longs sont tr`es mod´er´es. La partie droite de la figure 1.11 montre les valeurs absolues du gradient de pression |∇P|, `a la fois pour les champs de pression diffusante et de pression laplacienne, aux mˆemes instants que ceux d´ecrits ci-dessus. Au cours de la croissance du canal (avant mˆeme que la pression diffusante converge vers la solution de Laplace), la pression diffusante est similaire `a la pression de Laplace en ce qui concerne l’´ecrantage des gradients de pression derri`ere les pointes de doigt les plus longues, et sur la pr´esence des gradients de pression les plus ´elev´es devant les plus longs doigts. De plus, au cours de l’expansion rapide des canaux, l’amplitude des gradients de pression dans le champ de pression diffusante semble ˆetre jusqu’`a

1.5 - 2 fois sup´erieure `a ceux de la solution de Laplace dans la r´egion entourant les pointes de doigt les plus avanc´ees (entre 5 et 8 cm). Nous voyons que les r´egions les plus d´eplac´ees du milieu co¨ıncident bien avec les gradients de pression les plus

´elev´es, tandis que |∇P| et|~vg| tendent vers 0 derri`ere les plus longs doigts.

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Diffusing solution Laplace solution [kPa / cm]

Velocity magnitude,

Figure 1.11: Gauche : Magnitude de vitesse moyenne |~vg| durant des fenˆetres en temps de largeur ∆t = 10 ms, centr´ees sur t = 100, 200, 300, 400, 500 et 600 ms pour les instantan´es A-F respectivement. La pression d’injection est de Pin = 200 kPa. La zone de grains mobiles croˆıt initialement jusqu’`a l’´echelle de la cellule, puis ensuite se focalise sur le doigt le plus avanc´e lorsque le milieu se compacte. Les grains derri`ere le canal le plus avanc´e ne sont pas significativement d´eplac´es (Noter que nous avons retir´e les donn´ees dans le canal, cependant du bruit provenant du m´ecanisme d’´erosion dans le canal apparaˆıt en C - E). Droite : valeur absolue du gradient de pression pour les deux solutions de pression dans les instantan´es A-F. La diff´erence principale entre les champs diffusant et Laplacien est que la pression diffusante pr´esente des gradients plus forts autour de l’interface air-solide et des extr´emit´es de doigts, alors qu’elle pr´esente des gradients moins forts autour de l’interface de sortie. A partir de ’instantan´e F, les gradients commencent `a sembler similaires en magnitude autour des canaux. Dans les deux solutions, le gradient de pression est

´ecrant´e derri`ere les doigts les plus avanc´es, et les magnitudes les plus ´elev´ees sont pr´esentes autour des doigts les plus longs.

La direction de la force motrice (oppos´ee au gradient de pression) se trouve bien en corr´elation avec la direction du d´eplacement granulaire. Pour les d´eplacements au-dessus du seuil de bruit de 0.1 pixel, nous montrons, en ´evaluant le coefficient de corr´elation normalis´e pour les directions, que les grains se d´eplacent plus ou moins toujours dans la direction oppos´ee au gradient de pression. De plus, on trouve la zone de compaction `a partir des champs de d´eplacement total en tant que zone o`u les billes ont ´et´e d´eplac´ees de plus d’un dixi`eme de pixel (70 ➭m), c’est-`a-dire comme zone o`u les billes qui ´et´e d´eplac´ees par rapport `a la configuration initiale. La zone de compaction croˆıt dans la direction de l’entr´ee vers la sortie, et dans toutes nos exp´eriences, elle atteint la limite de sortie peu de temps apr`es le d´ebut de l’injection, typiquement apr`es t= 170 `a 250 ms.

L’amplitude de la vitesse dans la r´egion en avant des canaux en d´eveloppement est trouv´ee comme pr´esentant une relation lin´eaire par rapport au gradient de pres-sion moyen, dispers´ee mais assez claire. Le coefficient α des fits lin´eaires

|~vg|=α|∇P|+c (1.11)

d´ecrivant la croissance moyenne de la vitesse due `a une croissance de ∇P est repr´esent´es en fonction du temps pour les exp´eriences `a pression d’injection Pin = 150, 200 and 250 kPa dans le graphe de gauche de la figure 1.12. Pour regrouper les donn´ees le long de l’axe des temps, on utilise le temps normalis´e t =t/tc o`u tc est le temps auquel la zone compact´ee atteint le bord de sortie dans les exp´eriences re-spectives. Nous observons pour toutes les exp´eriences que pour les temps pr´ec´edant celui o`u la zone compacte atteint la sortie, α augmente lin´eairement avec le temps.

Ensuite, apr`es que le front de compaction ait atteint le bord de sortie, α semble pr´esenter une d´ecroissance exponentielle avec le temps. L’insert dans la figure de gauche sur la figure 1.12 montre qu’il y a une seuil de transition en gradient de pression ∇Pc tel que |~vg|= 0 si ∇P < ∇Pc, i.e. aucun mouvement de grains n’est observ´e en dessous de ce seuil. Le gradient seuil est li´e `a l’´equation(1.11) en ´ecrivant

|~vg| = α(∇P − ∇Pc), o`u ∇Pc = −c/α. Les seuils ∇Pc ne viennent pas des forces exerc´ees par l’air, mais de la contrainte solide le long des plaques, qui d´ependent des contraintes solides normales et des configurations de grains, ainsi que des contrainte dans le plan. C’est donc essentiellement une manifestation de la contrainte solide transmise dans les contacts entre les grains et entre grains et plaques, que nous ne mod´elisons pas ici, mais que nous mesurons indirectement globalement `a travers

∇Pc. Les forces d´epla¸cant les grains dans le milieu granulaire sont reli´ees au gradient de pression intersticielle −∇P, ainsi que les contraintes solides normales et de ci-saillement entre billes et plaques. Nous ne r´esolvons pas directement les contraintes solides `a partir des exp´eriences, mais si la force motrice principale ressentie est due

`a l’´echange de quantit´e de mouvement avec l’air, −∇P, ceci sugg`ere une rh´eologie de type non-Newtoniennes pour le milieu granulaire entre les plaques. Supposant une rh´eologie de type Bingham o`u

~vg =−h2 µB

(∇P − ∇Pc), (1.12)

et o`u h est l’´ecart entre plaques, la pˆate granulaire a une viscosit´e de Bingham effective µB ∝ 1/α. Si la force principale ressentie par le milieu est due `a −∇P,

nos r´esultats sugg`erent une d´ecroissance en µB ∝t1 avant que la zone compact´ee atteigne le bord de sortie, et une viscosit´e de Bingham effective croissant exponen-tiellement en temps µB ∝ eβt apr`es que la zone compact´ee ait atteint le bord de sortie. Le seuil ∇Pc ´evolue durant les exp´eriences comme montr´e dans la figure de droite sur la figure 1.12 pour les exp´eriences avec pressions d’injection Pin = 150, 200 et 250 kPa. Une fois de plus, les donn´ees ont ´et´e regroup´ees le long de l’axe en temps en normalisant par le temps auquel la zone compact´ee atteint le bord externe.

Nous observons que les seuils moyens∇Pc diminuent de fa¸con similaire lorsque avant que la zone compact´e atteigne le bord, d´ecroissant `a partir de ∇Pc entre 10 et 15 kPa/cm initially, intialement, jusqu’`a un minimum autour de 1 - 2 kPa/cm autour du temps auquel la zone compact´ee atteint le bord. Apr`es cet instant, les seuils commencent `a augmenter, d’autant plus rapidement que la pression d’injection est

´elev´ee. Ceci d´epend probablement de la pression d’injection et de la vitesse de crois-sance du canal d’invasion, i.e. du taux de compaction et des forces disponibles pour compacter le milieu plus encore. Lorsque l’augmentation de ∇Pc ralentit (autour de t/tc vers 2.5 - 3), les seuils approchent le gradient de pression dans la zone en-tourant les doigts les plus longs. En cons´equence, le milieu devient progressivement similaire `a un solide avec une partie mobile se r´eduisant aux alentours des doigts les plus longs puis disparaissant, et on transite vers le r´egime compact´e.

Une pr´esentation plus d´etaill´ee des m´ethodes et r´esultats dans cette ´etude est donn´ee dans l’article reli´e pr´esent´e au chapitre 6. L’article est un manuscrit propos´e pour ˆetre soumis `a Physical Review E dans un futur proche (2017).

Figure 1.12: Gauche : ´evolution du param`etre de fit lin´eaire α avec le temps, d´ecrivant la relation moyenne |~vg| ≈ α· |∇P|+c entre l’amplitude de la vitesse granulaire |~vg| et la norme du gradient de pression |∇P|. Les figures pour α provi-ennent d’exp´eriences o`u la pression d’injection vaut Pin = 150, 200 et 250 kPa, o`u les donn´ees ont ´et´e regroup´ees le long de l’axe en temps en normalisant par tc, temps o`u la zone compact´ee atteint le bord de sortie. Avant cet instant (t < tc), α aug-mente lin´eairement avec le temps (relation lin´eaire α = 9.8·(t/tc)), alors que pour t > tc, α pr´esente une d´ecroissance exponentielle avec le temps (fit exponentielα = 41.68·e1.61(t/tc)). Dans l’insert : Exemples de fits lin´eaires de la norme de la vitesse moyenne en fonction du gradient de pression. Noter qu’au cours du temps, apparaˆıt un d´ecalage depuis l’axe des ordonn´ees, correspondant au seuil ∇Pc =−c/α. Pour les exp´eriences avec pressions d’injection Pin = 150, 200 et 250 kPa, la valeur de tc

est respectivement 240, 250 et 170 ms. Droite : Evolution des seuils ∇Pc en fonction du temps normalis´e t/tc pour les exp´eriences avec Pin = 150, 200 et 250 kPa. Pour t/tc ≤ 1, les seuils d´ecroissent depuis 10 - 15 kPa/cm initialement jusqu’autour de 1 `a 2 kPa/cm (indiqu´es par les lignes horizontales). Apr`es que la zone compact´ee ait atteint le bord de sortie, pour t/tc = 1, ∇Pc commence `a augmenter en temps, plus rapidement pour des pressions d’injection croissantes. Ensuite, pourt/tcautour de 2.5 3, l’augmentation du seuil avec le temps ralentit. Apr`es cet instant, ∇Pc

approche les valeurs de gradient de pression de pore |∇P| dans la zone entourant les doigts les plus longs.

1.4 Article 4 - L’´ evolution de l’aero-fractures et

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