Approximation polynomiale itérative avec sections protégées pondérées

La gure 4.13 présente une mesure obtenue avec du ferrocyanure où le pic d'oxydation est à

la n du signal. Cette courbe respecte de façon minimale l'hypothèse 3. L'algorithme proposé avec sections protégées rend alors une section du pic immuable lors des itérations, amputant ainsi l'amplitude résultante de ˆip. Si la section protégée est trop petite, alors le comportement redevient comme celui de l'algorithme non modié.

Figure 4.13  Comparaison des ˆiCF obtenus avec sections protégées et sections protégées

pondérées lorsque le pic est en n signal.

Pour réussir à conserver l'impact des sections protégées lorsque celles-ci sont courtes, l'impor- tance de ces quelques points doit être articiellement gonée. Soit :

ˆ

iCF  Xb (4.17)

où X est déni selon (4.9) et b est le vecteur contenant les coecients du polynôme, alors la méthode des moindres carrés minimise :

pˆiCF
XbqJpˆiCF
Xbq. (4.18)

Par contre, il est aussi possible de minimiser :

où ω est le vecteur contenant le poids associé à chaque point. Typiquement, diagpωq  I, mais certaines techniques comme la régression robuste utilisent la méthode des moindres carrés pondérée pour éliminer les points aberrants [27].

En modiant ω, il est possible d'annuler complètement l'impact d'un ou plusieurs points

en utilisant ωm  0. L'importance d'un ou plusieurs points peut aussi être augmentée en

modiant les points tel que ωm ¡ 1.

Par exemple, en augmentant le poids des sections protégées à 10 versus 1 pour le poids des autres points, le résultat montré à la gure4.13peut être obtenu. Il y a eectivement amélio- ration de l'approximation lorsque peu de points sont disponibles en début ou n du signal. De plus, cette modication apportée à l'algorithme n'a pas d'impact notable sur les résultats où l'algorithme à sections protégées fonctionne déjà correctement.

Par contre, puisque l'algorithme remplace les sections qui sont sous-estimées, il a tendance à "creuser" au l des itérations. Ce phénomène se produisait en n de courbe préalablement à l'ajout des sections protégées, mais lorsque celles-ci sont ajoutées, ce phénomène peut se

produire sous les pics, surestimant l'amplitude de ceux-ci. La gure 4.14 est un exemple de

cette situation.

Figure 4.14  Exemple de courbe pour laquelle l'algorithme avec sections protégées sous- estime ˆak et l'algorithme avec sections protégées pondérées surestime ˆak.

Dans ce cas, les vecteurs ˆiCF obtenus avec les deux algorithmes proposés sont tous deux peu satisfaisants. Le premier respecte mal la section protégée de 8 points en n de signal puisqu'elle n'est pas pondérée. Le deuxième exhibe la tendance de l'algorithme à "creuser". Dans le cas de cette courbe particulière, un autre facteur contribue à l'échec de l'approximation et celui-ci

4.3.3 Approximation polynomiale itérative par poids

L'idée derrière cette modication est de ne pas modier le signal à approximer entre chaque itération. Lorsque c'est le cas, une mauvaise estimation de la CF est renforcée lors des itérations subséquentes, car cette mauvaise estimation est incluse dans le signal à approximer lors de l'itération suivante selon (4.14).

Par contre, ce même principe permet de supprimer les pics d'oxydoréduction de l'approxima- tion, ce qui est l'objectif de cet algorithme.

Heureusement, il est possible d'atteindre cet objectif d'une façon diérente. En eet, la section précédente présentait la méthode d'approximation polynomiale par moindres carrés pondérée. En utilisant cette méthode, il est possible de modier le vecteur ω entre chaque itération plutôt que de modier le signal à approximer. Ainsi, l'importance de certains points lors de l'approximation polynomiale est progressivement annulée. Ceci permet de ne pas inclure de fausses valeurs dans l'approximation, mais simplement permettre à l'algorithme d'ignorer certains points.

Plusieurs approches ont été essayées pour la modication des poids. Soit β un seuil, M le nombre d'échantillons, y le signal à approximer et ˆynl'approximation polynomiale de la nième itération, alors le vecteur des poids ωn 1 peut être déni pour l'itération suivante selon :

1. Le critère de diminution progressive :

ωn 1pmq  # ωnpmq ypmq
ˆynpmq ¤ β ωnpmq 1.5 ypmq
ˆynpmq ¡ β. (4.20) 2. Le critère de diminution progressive pondérée :

ωn 1pmq  $ & % ωnpmq ypmq
ˆynpmq ¤ β ωnpmq ypmq
ˆynpmq maxpy
ˆyq 1 ypmq
ˆynpmq ¡ β. (4.21)

3. Le critère de variation progressive pondérée :

ωn 1pmq  $ ' ' ' & ' ' ' % ωnpmq
1
pypmq
ˆynpmqq maxpy
ˆyq ypmq
ˆynpmq  
β ωnpmq |ypmq
ˆynpmq| ¤ β ωnpmq ypmq
ˆynpmq maxpy
ˆyq 1 ypmq
ˆynpmq ¡ β. (4.22)

La première méthode diminue progressivement le poids associé aux points où ˆy est inférieur à y. Dans cette situation, il est probable que le point soit compris dans le pic d'oxydoréduction, son poids est donc diminué pour l'approximation suivante. Dans le cas inverse, le poids demeure inchangé.

La deuxième méthode diminue le poids des points où ˆy est inférieur à y proportionnellement en fonction de l'erreur maximale. Dans le cas inverse, le poids demeure inchangé.

La troisième méthode diminue le poids des points où ˆy est inférieur à y proportionnellement en fonction de l'erreur maximale. Dans le cas inverse, le poids est augmenté si le point est surestimé. Ceci permet d'augmenter l'importance de certains points de la CF compris au milieu du signal.

Le concept des sections protégées peut aussi être appliqué ici. En eet, en xant les poids attribués aux points au début et à la n du signal, le comportement obtenu à la section 4.3.1 est observé. Il est aussi aisé d'attribuer des poids plus élevés à ces mêmes points pour obtenir l'eet présenté à la section 4.3.2.

Les deux premières méthodes de variation des poids permettent d'obtenir des résultats très similaires à ceux des algorithmes précédemment présentés. Par contre, la troisième méthode de variation des poids ore des performances similaires à l'algorithme de la section 4.3.2 et

permet de bien approximer certaines courbes problématiques. La gure 4.15-(a) montre un

exemple de résultat obtenu avec celle-ci. La gure4.15-(b) montre le vecteur des poids naux.

(a) (b)

Figure 4.15  (a) Comparaison des estimations de la CF obtenues avec les trois méthodes proposées. (b) Exemple de distribution des poids associés aux points.

Les performances des algorithmes présentés seront comparées plus en profondeur à la section 4.5.