Approches solution par solution

Les approches solution par solution désignent ici des méthodes de générations de solutions de plus en plus variées jusqu’à la détermination de toutes les solutions. Nous verrons dans cette sous-section comment vérifier rapidemment qu’une solution est non-dominée, nous présente-rons un algorithme glouton générant une solution non-dominée du PCM et enfin une méthode de génération de l’ensemble des solutions non-dominées.

3.2. RÉSOLUTION DUNONDOM-PCM 91

Données: Une instance(Ω,A, D, G)

Une borneB

Résultat:Solun ensemble de toutes les solutions non-dominées de taille inférieure àB Sol={∅}

Créer la matrice de contraintesCà partir deDetG pouri= 1à|Θ|faire

//Construire un sous-ensemble de solutionsN D_i N D_i =∅

pour tous lesj ∈ Atel queC[θ_i, j] = 1faire pour tous lesS∈Sol\N D_ifaire

sij ∈Salors

N D_i =N D_i∪ {S}

//Construire un sous-ensemble de solutionsES_i ES_i =∅

pour tous lesj ∈ Atel queC[θ_i, j] = 1faire

pour tous lesS∈Sol\N D_itel que|S|< Bfaire si_@S⁰ ∈N Di tel queS⁰ ⊂S∪ {j}alors

ES_i =ES_i∪ {S∪ {j}}

Sol=N D_i∪ES_i

retourner(Sol)

Algorithme 16 :Calcul des solutions non-dominées bornées (NDS-B)

3.2.3.1 Vérification d’une solution non-dominée

Pour l’algorithmeNDS, nous avons considéré qu’il fallait comparer les solutions entre elles afin de déterminer celles qui étaient non-dominées. Notons toutefois qu’une solution non-dominée est un ensemble d’attributs S ⊆ A tel que _@S⁰ ⊂ S qui soit une solution, i.e. ∀S⁰ ⊂ S,

∃(o, o⁰)∈ΘavecC^S0[(o, o⁰), .] =O(voir propriété5). Nous pouvons donc en déduire la propriété suivante :

Propriété 8. Une solution S est non-dominée si et seulement si∀s ∈ S, ∃(o, o⁰) ∈ Θtel que

C^S\{s}[(o, o⁰), .] =O.

Nous pouvons ainsi présenter une propriété clé pour la suite :

Propriété 9. Soit une instance (Ω,A, D, G) et la matrice de contraintes C associée, un en-semble d’attributA ⊆ Arespecte l’une des propositions suivantes :

1. An’est pas une solution⇔CA =O,

2. A est une solution non dominée ⇔ Il existe une permutation particulière ϕsur A telle queC^ϕ(A) =Id(oùIdest la matrice identité),

Preuve 2.

1. An’est pas une solution⇔ ∃(o, o⁰)∈Θtel que C^A[(o, o⁰), .] =O. Or, pour tout vecteur

X de taille |A|, on a O∧ X = O (i.e. tous les vecteurs X sont redondants), ce qui implique queC^A=O.

2. À partir de la propriété8, on a :Aest une solution non-dominée⇔ ∀s∈A,∃(o, o⁰)∈Θ

tel que C^A\{s}[(o, o⁰), .] = O ⇔ CA[(o, o⁰), .] = [0,· · · ,0,1,0· · · ,0](où le1est l’élé-ment du vecteur correspondant à l’attributs) carAest une solution (et doncCA[(o, o⁰), .]6= O). Ainsi,∀s ∈A, une contrainteCA[θ, .]tel queCA[θ, s] = 1(θ 6= (o, o⁰)) sera redon-dante par rapport à CA[(o, o⁰), .]. La matrice CA

sera donc une matrice ne contenant qu’un unique 1par ligne et par colonne⇔ Il existe une permutationϕsur Atelle que

C^ϕ(A)=Id.

3. Si un ensemble est une solution qui n’est pas non-dominée, alors c’est une solution domi-née.

Remarque 7. La proposition 2 de la propriété 9est une généralisation de la propriété4 vue pour les ensembles intersectants.

Exemple 20. Reprenons la matrice de contraintes présentée dans l’exemple11:

Couples

Variables

Rythme (r) Costume (c) Cheveux (ch) Lunettes (l) Montre (m)

(1,2) 1 0 0 1 1 (1,3) 0 0 1 1 1 (1,4) 0 1 1 1 0 (1,5) 1 1 0 0 0 (1,6) 1 0 1 0 1 (2,4) 1 1 1 0 1 (2,5) 0 1 0 1 1 (2,6) 0 0 1 1 0 (3,4) 0 1 0 0 1 (3,5) 1 1 1 1 1 (3,6) 1 0 0 1 0 (4,5) 1 0 1 1 0 (4,6) 1 1 0 1 1

Nous avions vu que le sous-ensemble d’attributsA ={c, l, m}est une solution. Nous avons ainsiC^A:

3.2. RÉSOLUTION DUNONDOM-PCM 93

CA =

Couples

Variables

Costume (c) Lunettes (l) Montre (m)

(1,5) 1 0 0

(1,6) 0 0 1

(2,6) 0 1 0

Soit la permutationϕdeAtelle queϕ(A) ={c, m, l}, on a :

C^ϕ(A) =

Couples

Variables

Costume (c) Montre (m) Lunettes (l)

(1,5) 1 0 0

(1,6) 0 1 0

(2,6) 0 0 1

=Id

On a bienC^ϕ(A) =Id,Aest une solution non-dominée.

Nous pouvons donc déterminer si une solution est non-dominée sans avoir à les générer toutes. À partir d’une solution donnée, l’algorithmeVS(algorithme17) déterminera s’il s’agit où non d’une solution non-dominée.

Données: Un ensembleS ⊆ A

La matrice de contraintesC

Résultat:0siSn’est pas une solution,1siSest non-dominée et2siSest dominée //C⁰ est un ensemble de contraintes

C⁰ =∅

pour tous lesθ∈Θfaire siCS[θ, .] =Oalors retourner(0) siP s∈SC^S[θ, s] = 1alors siCS[θ, .]∈/ C⁰ alors C⁰ =C⁰∪ {C^S[θ, .]} si|C⁰|=|S|alors retourner(1) sinon retourner(2)

Algorithme 17 :Vérification d’une solution (VS)

Remarque 8. Si une solution S est dominée, ∀S⁰ ⊂ S une solution non dominée, ∀a ∈ A

avec CS

[., a] = O, on aa /∈ S⁰. Autrement dit, nous pouvons travailler sur l’ensemble S⁰⁰ =

3.2.3.2 Algorithme glouton

D’après la propriété9présentée dans la section précédente, afin de construire une solution non dominée, il suffit de générer une matrice identité (à une fonction de permutation ϕsurAprès) à partir de la matriceC.

L’algorithme gloutonGA-NDS(algorithme18) va construire de manière récursive cette ma-trice en réduisant l’ensembleA ⊂ Aà partir d’une contrainteθde façon à ce que cette contrainte respecteP

s∈AC[θ, s] = 1.

Données: L’ensemble d’attributsA

La matrice de contraintes réduiteC =C

L’ensemble des contraintes non redondantesΘ

Résultat: Une solutionSnon-dominée

FonctionGA-NDS(C, A,Θ)

A=A\{a ∈A|C[., a] =O}

siCA

=Id(à une fonction de permutationϕprès)alors

Retourner(A)

sinon

a_best=maxa∈A(P

θ∈ΘC[θ, a]) Θ⁰ ={θ ∈Θ|C[θ, a_best] = 0} Faire θbest=minθ∈Θ\Θ0(P a∈AC[θ, a]) A⁰ ={a ∈A|C[θ_best, a] = 0} Θ⁰⁰ = Θ⁰\{θ ∈Θ⁰|CA⁰[θ, .]redondante} siC_Θ^A00⁰ =Oalors Θ⁰ = Θ⁰ ∪ {θ_best} Tant queCA⁰ Θ00 =O;

Retourner({abest}∪GA-NDS(C_Θ^A00⁰, A⁰,Θ⁰⁰))

Algorithme 18 :Fonction gloutonne générant une solution non-dominée (GA-NDS)

L’algorithme donnera nécessairement une solution non-dominéeSpuisque par construction,

C^S sera une matrice identité (à une fonction de permutationϕprès).

Optimisation à chaque étape:

• Limiter la récursivité : lors du choix de l’attributa_best, choisir l’attribut présent le plus sou-vent dans les contraintes non-satisfaites afin de réduire au mieux le nombre de contraintes non satisfaites ;

• Limiter rapidement le choix des attributs : lors du choix de la contrainte θ_best, choisir la contrainte constituée du plus grand nombre d’attributs afin de supprimer de notre re-cherche le plus d’attributs possible.

Toutefois, il s’agit d’un algorithme glouton et si la solutionSest non-dominée, rien ne garantit qu’elle soit minimale.

3.2. RÉSOLUTION DUNONDOM-PCM 95

Afin de mieux illustrer cet algorithme, l’exemple ci-dessous le déroule à partir de la matrice de contraintes issue de l’exemple11:

Exemple 21. Reprenons la matrice de contraintesCde l’exemple11. La matriceCdonne :

Couples

Variables

Rythme (r) Costume (c) Cheveux (ch) Lunettes (l) Montre (m)

(1,5) 1 1 0 0 0

(1,6) 1 0 1 0 1

(2,6) 0 0 1 1 0

(3,4) 0 1 0 0 1

(3,6) 1 0 0 1 0

L’attribut satisfaisant le plus de contraintes est ainsi l’attributr. On a doncΘ⁰ ={(2,6),(3,4)}

représentant les seules contraintes non satisfaites par {r}. Concernant θ_best, nous avons le choix entre les trois couples (1,5),(1,6),(3,6). Prenons par exemple θ_best = (1,5), on a

A⁰ ={ch, l, m},Θ⁰⁰ = Θ⁰ et

C_Θ^A00⁰ = ^Couples

Variables

Cheveux (ch) Lunettes (l) Montre (m)

(2,6) 1 1 0

(3,4) 0 0 1

SoitS⁰une solution non-dominée de la nouvelle instance décrite parC_Θ^A00, une solution du PCM⁰ pour l’instance principale estS ={r} ∪S⁰

Nous obtenonsS⁰par récursivité (en lançant l’algorithme avecCA⁰

Θ00en entrée). Il est ici fa-cile de voir qu’une des solutions non-dominées possibles estS⁰ ={l, m}. La solution retournée par l’algorithme pour l’instance générale seraS ={r, l, m}et on a bien :

CS =

Couples

Variables

Rythme (r) Lunettes (l) Montre (m)

(1,5) 1 0 0

(2,6) 0 1 0

(3,4) 0 0 1

Et donc C^S = Id, à une fonction de permutationϕsur S près. S est donc une solution non-dominée.

3.2.3.3 Calcul de l’ensemble des solutions non-dominées

Comme il est possible de détecter si une solution est non-dominée, nous pouvons générer un ensemble de solutions sans comparer toutes les solutions. Il est donc possible d’améliorer l’al-gorithme de Berge (voir la sous-section2.4.2) de façon drastique avec cette méthode. Toutefois, s’il est possible de ne plus générer de solutions dominées, il faut toutefois éviter de générer des solutions identiques.

Nous introduisons donc la notion d’attribut nié. L’idée est simple, soit une solution S en cours (i.e. une solution d’un sous-problème représenté parC_Θ0, Θ⁰ ⊂Θ) et un attributa∈ A:

• Étape 1 : Déterminer toutes les solutions non-dominées contenantS∪ {a}.

• Étape 2 : Ne plus considérer l’attribut alors du calcul des autres solutions contenantS. Pour cela, nous associons àS un ensemble d’attributs niésNS représentant les attributs ne devant jamais être étudiés avec la solutionS.

Ainsi, pour un ensemble A ∈ Aet une contrainte C[θ, .]non satisfaite, nous choisissons l’un desa ∈ Atel queC[θ, a] = 1pour queA∪ {a}satisfasse la contrainte. Pour obtenir d’autres solutions, nous choisissons de ne plus considérer a par la suite afin de ne jamais obtenir de solution dominée ou identique. Nous ajoutons doncaà l’ensemble des attributs niés associées à l’ensembleA.

Remarque 9. L’ensemble des attributs niésNSd’une solutionSen cours à un rôle similaire à l’ensembleΥprésenté dans la sous-section2.4.4. En l’occurrence,Υ =A\NS.

Par la suite, nous représenterons l’ensemble des attributs niésNS d’une solutionS par un vecteur booléenN_Sde tailleAoùN_S[a] = 1sia∈NS,0sinon,∀a∈ A.

En utilisant cette méthode, la fonction récursiveFc-RNDS (algorithme19) génère toutes les solutions non-dominées contenant un sous-ensemble S d’attributs et satisfaisant un sous-ensemble de contraintes représentées par la matriceC_min.

L’algorithme RNDS (algorithme 20) initialise les paramètres avant d’appeler la fonction

Fc-RNDSqui générera l’ensemble des solutions non-dominées.

L’algorithme cherche donc à satisfaire toutes les contraintes, en incrémentant des solutions non-dominées en cours, tout comme l’algorithme de Berge. À chaque incrémentation, 2 actions seront exécutées à partir de la solutions en coursS⁰ :

• Vérifier siS⁰est bien non dominée en vérifiant que la matriceC⁰des contraintes satisfaites et non-redondantes est une matrice identité à une fonction de permutationϕsurAprès ;

3.2. RÉSOLUTION DUNONDOM-PCM 97

Données: Un sous-ensemble d’attributsS

Les attributs niés représentées par le vecteurN_S

La matrice de contraintesC

Une matrice d’un sous-ensemble de contraintesC_min

Une contrainteθ_best

Un ensemble de solutionsSol Résultat: Un ensemble de solutionsSol FonctionFc-RNDS(S, N_S, C, C_min, θ_best, Sol)

//L’ensembleP représente les attributs possibles à ajouter pour satisfaireC[θ_best, .]

P ={a|(C_min[θ_best, .]∧(¬N_S))[a] = 1}

N_S0 =N_S

tant queP 6=∅faire

//On travaille sur les attributs deP dans un ordre précis

a_best =maxa∈P(P

i∈{1,···,|C_min|}C_min[θ_i, a])

S⁰ =S∪ {a_best}

//On construit maintenant la matriceC_min⁰ des contraintes non satisfaites parS⁰

ainsi que la matriceC⁰vérifiant siS⁰ n’est pas dominée.

Θ⁰ =∅ Θ⁰⁰=∅

pour tous lesθ ∈Θfaire

siP a∈S0C[θ, a] = 0alors Θ⁰ = Θ⁰∪ {θ} siP a∈S0C[θ, a] = 1alors Θ⁰⁰ = Θ⁰⁰∪ {θ} C_min⁰ =C_Θ0 θbest =minθ∈Θ0(P a∈A|N_S0[a]=0Cmin[θ, a]) C⁰ = (CS⁰ Θ00)

t=le nombre de contraintes dansC⁰ sit =|S⁰|alors

//La solution en cours est non-dominée

si|C_min⁰ |= 0alors

//S⁰satisfait toutes les contraintes

Sol=Sol∪ {S⁰}

sinon

Sol=Fc-RNDS(S⁰, N_S0, C, C_min⁰ , θ_best, Sol)

//On a trouvée toutes les solutions contenanta_best, on l’élimine pour la suite

P =P\{a_best}

N_S0[a_best] = 1

retourner(Sol)

Algorithme 19 : Fonction récursive générant un ensemble de solutions non-dominées

Données: Une instance(Ω,A, D, G)

Résultat: L’ensembleSoldes solutions non-dominées Créer la matrice de contraintesC à partir deDetG Sol=∅

S=∅

N_S =O

//Nous cherchons la contrainte qui limitera le nombre d’incrémentations de la solution en cours

θ_best=min_θ∈Θ(P

a∈AC[θ, a])

//C_min représente la matrice des contraintes non satisfaites par la solution en cours

C_min =C

//Lancement de l’algorithme récursif

Sol=Fc-RNDS(S, N_S, C, C_min, θ_best, Sol)

retourner(Sol)

Algorithme 20 :Génération de l’ensemble des solutions non-dominées (RNDS)

Nous optimisons la fonctionFc-RNDSsur deux aspects :

• Choix de θ ∈ Θ⁰ : Parmi ces contraintes non satisfaites, la prochaine qui sera étudiée sera celle limitant la taille de P, c’est à dire l’ensemble des attributs à considérer pour satisfaire cette contrainte. Ainsi, en limitant la taille de P, nous limitons le nombre de répétitions de la boucle principale.

• Choix dea∈P : Pour une contrainte donnée à étudier, nous devons incrémenter la solu-tion en cours pour en faire |P| nouvelles solutions en ajoutant à chaque fois un élément deP différent. À chaque fois que nous incrémentons la solutionSen cours avec un attri-buta, nous trouvons l’ensemble des solutions contenantS∪ {a}. Pour l’étude des autres solutions S∪ {p}, p ∈ P\{a}, nous ajoutons{a}à NS, ce qui limitera le champs de recherche pour la suite. En fait, plus une solutionS est associée à un grand nombre d’at-tributs niés, plus le calcul de l’ensemble des solutions contenantSet ne contenant pasNS

sera rapide. L’idée est donc de choisir d’incrémenterS avec l’attribut satisfaisant le plus de contraintes en priorité, pour limiter le nombre de récursivité pour les incrémentations

S⁰ ayant le moins d’attributs niés associées.

Nos expérimentations montrent un gain du temps d’exécution deux à trois fois supérieur à un choix dea∈P etθ∈Θ⁰ aléatoire.

Remarque 10. Cet algorithme est très proche de l’algorithmeMMCSprésenté dans la section

2.4.4en considérant chaque contrainte C_min[θ, .]comme un élément de leur ensemble uncov. La différence principale étant que l’algorithme MMCS conserve des ensembles de contraintes associés à chaque solution afin de vérifier la non-dominance d’une solution en cours tandis que l’algorithmeRNDSle fait à partir de la matrice de contraintesC. De plus, l’algorithmeMMCS

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