Chapitre 5 : Les modèles théoriques expliquant la structure des taux
5.4 Spread de défaut
5.4.3 Approches pratiques
a) Credit Metrics (JPM)
On regarde la VaR d'un portefeuille à risque de crédit.
On va utiliser les ratings des crédits.
1. On va calculer la matrice de transition(vue pour le modèle de JLT)
2. Pour chaque rating, on calcule le taux forward d'actualisation pour l'horizon du portefeuille.
Si le portefeuille est Pt, on va calculer la VaR jusqu'en t+h (h est l'horizon).
Ce qui nous intéresse est le changement dans la valeur de l'obligation et les augmentations dans le risque de défaut lorsque la valeur de l'obligation diminue. Ainsi que la probabilité de passer d'un état à un autre (de passer d'une notation à une autre)
A AAA, A AA,
A P P
Le prix forward d'une obligation AA dans une semaine(horizon) est :
1
exp( ( , )( )
T
AA ti i i
i
F C f t h t t t h
Il s'agit du prix forward de l'obligation conditionnel au rating AA de l'obligation.3. On exécute Fj(h) avec j = AAA,AA, A,…Ceci nous permet de construire la distribution des taux forward et de calculer la VaR :
4. On exécute la distribution ;
5. Hypothèses :
On va utiliser la distribution normale ou le bootstrapping. Utiliser la méthode du bootstrapping revient à actualiser l'estimation donnée par la distribution. En utilisant le prix forward, on peut trouver le prix future.
Début\fin AAA AA A
PBB PA PAA PAAA Pr
93
Chapitre 5 : Les modèles théoriques expliquant la structure des taux
AA 0,01 0,98 0,01
Il s'agit de probabilités jointes.
Si les probabilités P1,AA P2,AA sont indépendantes : Pr(P1 A, P2A) = 0,01 x 0,01= 0,01²
Cependant, il se peut que les deux probabilité soient corrélées.
6. Au niveau du portefeuille :
Il est nécessaire de calculer la corrélation entre les prix des obligations : Corr(B1,B2) corr(S1,S2).
Les obligations ont des caractéristiques différentes. Ce qui nous intéresse est la probabilité pour une obligation d’être « downgradée » ou « upgradée ». Les ratings reposent sur la structure de l’actif de l’entreprise. Il est nécessaire d’estimer la structure l’actif de chaque compagnie. La structure est liée aux fonds propres. Ceux-ci donnent une estimation de la corrélation entre actifs et nous permettent de trouver une estimation de la corrélation entre obligations.
Il s’agit d’une approche en forme réduite car l’on regarde les données du marché.
Ce modèle pose certains problèmes : 1- La stabilité de la matrice de transition :
La matrice de transition n’a pas de mémoire. Elle ne tient pas compte des données passées. Prenons l’exemple de deux firmes qui au départ ont une notation différente : l’une est notée AAA et l’autre A. Ces deux firmes se retrouvent avec un ratina identique de AA. La première firme est devenue plus risquée et la deuxième a une meilleure situation. Cependant, la chaîne de Markov ne tient pas compte du fait que l’une s’est downgradée et l’autre upgradée. Elle va regarder le nouveau rating et donner le même risque de défaut aux deux entreprises.
2- Estimation de la matrice de transition
La matrice de transition suppose qu’il y ait homogénéité entre les obligations d’une même classe.
La probabilité de toutes les obligations d’une classe de passer à un autre état (classe) est la même sans se soucier de l’échéance, du taux de coupon,…des différentes obligations.
Cependant deux obligations de même rating, de même taux de coupons et de même échéance peuvent avoir des taux différents. Cette différence est due au risque spécifique de l’entreprise. Par exemple A et B sont deux compagnies de taux de coupons de 6%, à maturité de 10 ans et de rating AA. Le rendement à l’échéance de A est de 7% et celui de B est de 7,5%. Il y a une différence de 5 points de base entre les deux rendements alors que les ratings sont identiques. Si par la suite A ou B augmente de rating est classée AAA, le modèle leur donnera le même prix et donc le même taux de rendement. Le modèle ne tient pas compte du risque idiosyncratique (spécifique).
Les deux taux seront de 6,5% quelle que soit l’entreprise qui devient AAA.
3- Lien entre fonds propres, actifs, valeur de l’obligation
L’on souhaite connaître la corrélation des obligations d’un portefeuille. Risk metrics considère que la valeur des fonds propres donne une bonne approximation pour estimer la corrélation.
YAA YAAA YUS
Chapitre 5 : Les modèles théoriques expliquant la structure des taux b) Credit Metrics (+ Credit Suisse)
Ce modèle s’inspire du modèle de Duffie & Singleton. Il fait intervenir le taux d’arrivée et la magnitude de défaut.
Contrairement au modèle risk metrics, le modèle suivant part d’un portefeuille : 1. On début au niveau du portefeuille :
On va ensuite décomposer le portefeuille en k lignes. Ce sont des sous-portefeuilles.
Les sous-portefeuilles sont supposés être homogène au niveau des taux de perte.
Par exemple, nous avons les sous-portefeuilles : SP1 : portefeuille dont le taux de perte est de 10%.
SP2 : portefeuille dont le taux de perte est de 20%.
SPk : portefeuille dont le taux de perte est de 100%.
2. On considère que le taux de défaut suit un processus de poisson.
Rappel pour Duffie & Singleton, la période de temps précédent le défaut d’une obligation suit une distribution exponentielle :
Par exemple, la probabilité que 5 événements se produisent entre 0 et un certain moment avant l’échéance est :
Où m = , l’intensité du processus de poisson.
Nous considérons la période de temps de la VaR (l’horizon de la VaR) pour voir la probabilité que l’événement se produise sur cette période.
3. suit une loi (², lognormal)
Pour chaque ligne (c’est-à-dire chaque sous-portefeuille), on cherche la distribution des obligations et l’on obtient une fonction :
Dans ce cas, nous regardons la partie droite de la distribution pour connaître le moment où le risque de défaut est proche.
4. Pour chaque ligne, on a la distribution :
Pr(5 !
5
5
événements entre 0 et ) = e -m m
Le graphe représente la fonction de densité de poisson avec une distribution stochastique de
Ligne 1
Perte moyenne de 10%
Le sous-portfeuille1 est constitué de 100 obligations. La probabilité que l’une fasse défaut avec une perte de 10%
est : 0,01 (-10%) + 0,99 0% = -0,1%
0 T
5 événements
95
Chapitre 5 : Les modèles théoriques expliquant la structure des taux
Si les lignes sont indépendantes ont peut sommer les VaR.
Ligne 1
-0,1 VaR à 1%
Zone de perte
Plus on va vers la droit, plus on perd en cas de défaut
Le sous-portfeuille 2 est constitué de 100 obligations.
La probabilité que l’une fasse défaut avec une perte de 20% est : -0.2
Ligne 2
-0,1 -0,2
Pour réunir les deux lignes sur un même graphe, l’on doit faire face à des problèmes d’échelle.
2ème partie : Les instruments financiers de la gestion du risque d'intérêt
Les instruments financiers de la gestion du risque d'intérêt dépendent du taux d'intérêt et sont utilisés pour couvrir le risque d'intérêt. Ce sont des instruments pour lesquels l'élément de base est le taux. Pour gérer le taux d'intérêt, on utilisera toujours des dérivés du taux et non le taux d'intérêt directement.
Rem : une obligation est un dérivé du taux d'intérêt.