2.8 Introduction `a la commande en OA
2.8.2 Mod´elisation discr`ete des boucles de commande
2.8.2.2 Approches modales `a gain optimis´e - IGMO
−10 0 10 20 Magnitude (dB) 102 103 104 −450 −360 −270 −180 −90 Phase (deg) Diagramme de Bode Fréquence (rad/sec) Marge de phase: 45o
Lieu des pôles
axe réel axe imaginaire −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 System: untitled1 Gain: 1 Pole: 0.5 − 0.868i Damping: −0.00127 Overshoot (%): 100 Frequency (rad/sec): 1.05e+03 System: untitled1 Gain: 1 Pole: 0.5 + 0.868i Damping: −0.00127 Overshoot (%): 100 Frequency (rad/sec): 1.05e+03
F
IG. 2.23 – Gauche : Diagramme de Bode pour un gaing= 0,5175, garantissant une marge de phase
de 45
oet une marge de gain de 1,9324. Droite : Lieu des pˆoles du transfert de boucle. Pourg ≥1la
boucle devient instable.
2.8.2.2 Approches modales `a gain optimis´e - IGMO
L’Int´egrateur `a Gain Modal Optimal (IGMO) a ´et´e propos´ee par [Gendron et L´ena, 1994] et
valid´ee exp´erimentalement par [Gendron et L´ena, 1995]. Le formalisme adopt´e consiste `a prendre les
transferts continus [cf.§2.8.1]. Des optimisation de la loi de commande pour inclure un aspect pr´edictif
ont ´et´e propos´ees par [Dessenne et al., 1997,Dessenne et al., 1998a] puis valid´ees exp´erimentalement
par [Dessenne et al., 1999]. [Ellerbroek et al., 1994] propose une optimisation conjointe de la bande
passante et de la base de modes sur lesquels est d´ecrite la phase.
L’approche IGMO consiste `a minimiser un crit`ere de phase r´esiduelle minimale pour chaque mode
du miroir (qui sont m´ecaniquement d´ecoupl´es). Ce crit`ere est la somme de deux sous-crit`eres, `a savoir
une contribution de la phase r´esiduelle [Eq. (2.68)] et une contribution li´ee au bruit [Eq. (2.69)]. Le
crit`ere de variance de phase r´esiduelle peut se poser sous la forme
J(g) =J
φ(g) +J
b(g) (2.77)
2Une FT est strictement propre si le degr´e de son num´erateur est strictement inf´erieur `a celui de son d´enominateur m < n. Propre tout court sim≤n.
50 Optique adaptative pour l’astronomie
, o`ugest le gain modal de l’int´egrateur. En jouant sur le gain, la bande passante de la loi de commande
par int´egrateur est ajust´ee [Fig.2.22-gauche].
Exemple : La Fig.2.24-gauche montre le principe de la minimisation. Les valeurs des deux crit`eres
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 10−2 10−1 100 101 102 103 104 Gain de l’intégrateur
variance de phase résiduelle, rad
2
Valeur du critère d’optimisation
Jφ J b Total 10−2 10−1 100 101 102 103 10−15 10−10 10−5 100 105 Fréquence, [Hz] rad 2/Hz
Densité spectale de puissance du TT et DSP réjection
FTR phase FTR bruit TT DSP
F
IG. 2.24 – Principe de la minimisation de phase r´esiduelle IGMO. Gauche : les valeurs des crit`eres
J
φetJ
bet la somme. Droite : DSP temporelle du tip/tilt atmosph´erique et fonctions de r´ejection de
phase et de bruit.
J
φetJ
bsont donn´ees en fonction du gain de l’int´egrateur pour le mode tip/tilt atmosph´erique. Les
fonctions de transfert utilis´ees sont int´egralement `a temps discret (une diff´erence par rapport au travail
original de [Gendron et L´ena, 1994]). Pour cet exemple qui vise `a illustrer le principe, un minimum
est atteint pour g ≈ 0,035. La DSP temporelle et les fonctions de r´ejection sont pr´esent´ees `a la
Chapitre 3
Reconstruction statique de front d’onde –
l’approche Fourier
O `u les bases de la reconstruction statique de front d’onde dans l’espace de Fourier sont
pos´ees en vue de l’utilisation par des syst`emes d’OA `a grand nombre de degr´es de libert´e
(GNDL).
52 Reconstruction statique de front d’onde – l’approche Fourier
Sommaire
3.1 Introduction . . . . 53 3.2 Reconstruction statique de front d’onde – un probl`eme inverse . . . . 54 3.2.1 Probl`eme direct . . . 54
3.2.2 Reconstruction de front d’onde : un probl`eme inverse . . . 56
3.2.3 Le probl`eme inverse en OA - inversion de la matrice d’interaction . . . 58
3.2.4 M´ethodes de reconstruction en OA . . . 61
3.3 Bases de mod´elisation – r´evision succincte de la litt´erature . . . . 61 3.3.1 Mod´elisation zonale . . . 62
3.4 Mod´elisation du probl`eme direct dans l’espace de Fourier . . . . 64 3.4.1 Mod`ele de mesure complet dans le domaine des fr´equences spatiales . . . . 65
3.4.2 Repr´esentation de Fourier des mod`eles simplifi´es de l’ASO HS . . . 67
3.5 Le probl`eme inverse de reconstruction dans le domaine des fr´equences spatiales 68 3.5.1 Reconstruction moindres carr´es sur les donn´ees . . . 69
3.5.2 Reconstruction r´egularis´ee - le filtre MMSE de Wiener . . . 70
3.5.3 Extension des pupilles circulaires aux pupilles carr ´ees . . . 70
3.5.4 Suppression des modes non-vus . . . 76
3.5.5 Repr´esentation continue de la phase . . . 76
3.5.6 Coefficients de propagation du bruit . . . 77
3.6 Aperc¸u g´en´eral des r´esultats des articles Correia et al., 2007 et Correia et al. 2008a . . . . 78 3.7 Simulations Monte Carlo – r´esultats de reconstruction statique . . . . 79 3.7.1 Param`etres de simulation . . . 79
3.7.2 Performance optique en fonction des m´ethodes d’extension . . . 81
3.7.3 Effets du sous-´eclairage . . . 82
3.7.4 Effet de l’occultation centrale . . . 83
3.7.5 Effet de la magnitude de l’´etoile guide . . . 84
3.7.6 Propagation du bruit dans la reconstruction . . . 84
3.7.7 Etude de la FEP – localisation des erreurs . . . 86
3.8 Adaptation `a la boucle ferm´ee . . . . 86 3.9 Exploitation en temps r´eel – analyse algorithmique . . . . 87 3.10 Bilan et ouverture . . . . 89
3.1 Introduction 53
3.1 Introduction
La commande classique de syst`emes d’OA, introduite `a la section 2.8, utilise un reconstructeur
obtenu par inversion de la matrice de mod´elisation lin´eaire du probl`eme direct consistant `a relier
les mesures aux param`etres du ph´enom`ene physique que l’on vise `a ´etudier. Cette ´etape dite de
«reconstruction» est coupl´ee `a un r´egulateur temporel pour asservir le syst`eme en boucle ferm´ee
[Fig.2.20].
Avecnle nombre de degr´es de libert´e d’un syst`eme d’OA, la complexit´e calculatoire de l’inverse
d’une matrice est proportionnelle au cube de n, soit O(n
3), ce calcul ´etant r´ealis´e hors ligne.
L’exploitation temps r´eel de ce type de commande est de l’ordreO(n
2)r´esultante de la multiplication
d’un vecteur de mesures par ladite matrice de reconstruction. L’extension directe de ce raisonnement
aux syst`emes de taille ELT soul`eve des complications au niveau calculatoire : pour les ELT un facteur
d’au moins10
3en puissance de calcul suppl´ementaire est requis vis-`a-vis des syst`emes actuels plus
complexes
1. La «loi de Moore
2» n’est donc pas suffisante car d’ici une d´ecennie seul un facteur
2
10/1,5≈10
2sera obtenu. Il y a donc la n´ecessit´e de r´eduire le nombre d’op´erations calculatoires des
algorithmes de reconstruction et commande des syst`emes d’OA en vue des futurs ELT caract´eris´es
par un grand nombre de degr´es de libert´e (GNDL).
En mettant l’emphase sur la mod´elisation du probl`eme direct, ce chapitre vise
`a explorer les capacit´es d’estimation statique des algorithmes d´ecrits sous une
base de fr´equences spatiales, en terme de performance optique et en terme de
performance calculatoire (c’est-`a-dire la capacit´e `a r ´eduire la quantit´e de calculs).
D’une part il s’agit de caract´eriser et d’optimiser les m´ethodes de reconstruction
existantes et de les r´einterpr´eter afin de proposer une solution pour r´epondre
aux GNDL. Les propri´et´es et r´esultats principaux li´es `a la base particuli`ere des
fr´equences spatiales sont d´eclin´es pour une exploitation ult´erieure dans le cadre
d’une strat´egie de commande avec estimation dynamique et r´egulation en boucle
ferm´ee optimales au chapitre5.
Ce chapitre est consacr´e `a l’analyse du probl`eme d’estimation statique s´epar´ement du choix du
r´egulateur pour l’application `a la boucle ferm´ee. On propose ainsi de regarder ind´ependamment les
aspects purement spatiaux li´es `a la recontruction statique.
Les travaux pr´ec´edents de reconstruction statique de front d’onde dans l’espace des fr´equences
spatiales sont nombreux. [Freischlad et Koliopoulos, 1986] ont ´etudi´e le probl`eme de reconstruction
sur une grille discr´etis´ee deN×Npoints. Toutefois, ceci n’est pas adapt´e `a l’OA qui se caract´erise par
une pupille annulaire, en vertu du support carr´e utilis´e. Ce n’est qu’en 2002 que [Poyneer et al., 2002]
proposent une m´ethode d’extension des mesures de front d’onde au-del`a des limites de la pupille
du t´elescope, montrant ainsi que la m´ethode de Freischlad pouvait ˆetre exploit´ee dans le cadre d’un
probl`eme r´ealiste d’OA.
Les descriptions discr´etis´ees s’appuient sur des repr´esentations g´eom´etriques du front d’onde et
des approximations creuses de l’analyseur de surface d’onde Hartmann-Shack (HS) [§2.5.1.1]. A ce
sujet, plusieurs configurations ont ´et´e propos´ees, notamment celles de [Fried, 1965], [Hudgin, 1977] et
[Southwell, 1980]. Cependant, aucune de ces configurations n’est exacte vis-`a-vis du fonctionnement
1
Syst`emes d’ExAO pour les t´elescopes de classe 8-10m tels que SPHERE [Beuzit et al., 2006] et GPI
[Macintosh et al., 2006].
2Selon G. Moore, la capacit´e de calcul double tous les 18 mois depuis 1965. Cette loi empirique, ou plutˆot cette constatation, reste valable `a l’heure actuelle.