Ce type d'approche utilise une representation locale de l'environnement pour essayer d'engendrer une trajectoire vers le but. Ces approches sont basees sur l'op-timisation d'une fonctionnelle qui amene le robot de plus en plus pres du but. En generale, elles sont utilisees lorsque le point de depart et le but sont des con gu-rations voisines. Les approches locales sont aussi utilisees en combinaison avec les methodes globales pour atteindre de sous-buts intermediaires qui permettent l'ame-lioration de la recherche. Nous trouvons principalement deux approches locales:les champs de potentiels etla methode des contraintes.
L'approche des potentiels.
L'idee de cette approche est de considerer le robot comme une particule sous l'in uence des forces d'attraction et repulsion. Ces forces sont engendrees respectivement par la position nale et les obstacles. La somme de ces deux forces peut ^etre representee par un champ de courbes equipotentielles [38] [39][40][66]. La particule (le robot) est muni alors d'une \energie potentielle" en se trouvant dans un point \plus haut" que la position nale. \L'energie poten-tielle" obligera la particule a descendre par un chemin libre de collision car la force de repulsion est in nie en chaque point qui forme un obstacle (voir gure A.5). La fonction potentielle prend un minimum local correspondant au but. De cette maniere, la trajectoire atteindra le but. En comparaison avec d'autres approches, cette technique est tres ecace, par contre, il est dicile de de nir une fonction potentiel n'ayant qu'un minimum et par consequent il est possible de tomber dans des minima locaux di erents du but. L'approche peut ^etre amelioree en utilisant des heuristiques pour eviter ce probleme.La methode des contraintes.
Ce type d'approche, proposee par Faverjon et Tournassound [29][85], represente localement l'espace des con gurations par une liste de contraintes. Le probleme de la plani cation de trajectoires est alors ra-mene a un probleme d'optimisation sous contraintes ou l'on cherche a minimiser une fonction de t^ache. Cette fonction est de nie a partir de la speci cation du but a atteindre (but articulaire, cartesien etc:::). La minimisation sous contraintes per-met alors de determiner localement la direction du mouvement que le robot doit e ectuer pour atteindre le but sans toucher les obstacles. Cette methode sou re aussi de la presence de nombreux minima locaux.trajectoire
Fig. A.5 - Exemple de l'approche potentielle.
A.1.3 Complexite du probleme
Dans ce paragraphe nous abordons le probleme de la complexite de la plani ca-tion de trajectoires[14]. Cette presentaplani ca-tion est faite d'apres la these de M. Pasquier [62]. Premierement nous donnons les notions de base de complexite algorithmique, puis nous analysons la complexite du probleme de la plani cation de trajectoires.
Lorsqu'on veut resoudre un probleme avec un ordinateur il faut non seulement trouver un algorithme qui permet de trouver une solution, il faut aussi tenir compte des contraintes d'espace memoire et de temps calcul. Ainsi, un algorithme doit ^etre capable de trouver une solution qui soit calculable avec une place memoire et un temps raisonnables.
Le temps d'execution et la place memoire utilises par un algorithme determinent la complexite algorithmique. La complexite de la resolution d'un probleme est ainsi de nie comme le nombre d'operations requises (exprimees en fonction de la taillem des donnes) pour le resoudre.
La complexite d'un probleme sera dite O(f(m)) si son temps d'execution (ou espace memoire) a le m^eme comportement asymptotique que la fonctionf(m). Les algorithmespolynomiaux sont des algorithmes ou la complexite peut ^etre evaluee a un polyn^ome de degre constant connu, ou le degre du polyn^ome est independant de m. Un algorithme non polynomiale est dit de complexiteexponentielle.
En informatique on peut distinguer deux types de machine algorithmique: {
les machines deterministes
qui peuvent ^etre ramenees a un automated'etats qui a un moment donne, se trouve dans un seul etat bien determine et dont l'action depend que de celui-ci,
{
les non-deterministes
qui de nissent aussi un automate, mais qui sont mu-nis en plus d'une fonction dite de choix (aleatoire), et dont les actions ne dependent donc pas uniquement de l'etat dans lequel il se trouve mais egale-ment du hasard.On distingue alors une hierarchie de trois classes de probleme allant des plus simples aux plus diciles:
{
La classe P
comprend les problemes pour lesquels on conna^t un algorithme dont la resolution demande un temps polynomial sur une machine determi-niste.{
La classe NP
sont les problemes pouvant ^etre resolus en temps polynomial sur une machine non deterministe.{
La classe PEspace
regroupe les problemes qui peuvent ^etre resolus avec une memoire polynomial sur une machine non deterministe.La complexite algorithmique de la plani cation de trajectoire a surtout ete etu-diee pour le probleme du demenageur de piano. Il a ete prouve par Schwartz et Sharir [74] que le probleme de plani cation de trajectoires d'un robot a n degres de liberte est calculable, c'est-a-dire qu'il est deterministe-polynomial ou de classe P.
La methode utilisee pour arriver a ce resultat est la decomposition cylindrique d'ensembles semi-algebriques de Collins. De cette facon, l'evaluation de la com-plexite, pour un manipulateur a n degres de liberte dans un univers de ni par m faces, est m(2n+6). Cependant, ce resultat n'est, helas, d'aucune utilite pratique etant dicile a implanter de maniere ecace. Ce resultat peut neanmoins ^etre uti-lise comme borne superieure au probleme de plani cation de trajectoires.
Une amelioration a la borne donnee par Schwartz et Sharir a ete donnee par Canny [14]. Dans son travail, il montre que le probleme general pour un nombre de degres de liberte non borne est de classe PEspace. Il decrit une methode generale qui donne un algorithme simplement exponentiel. D'autres resultats ont egalement ete obtenus pour d'autre types de problemes. Ainsi, beaucoup de problemes de plani cation de trajectoire ont ete prouves ayant une complexite de classe NP ou PEspace.