Autres approches

D’autres auteurs se sont penchés sur le problème de la régularisation avec prise en compte des discontinuités, sans utiliser de processus de ligne. En considérant (2-2), ils se sont attachés à trouver des fonctions de potentiel ϕ permettant de respecter au mieux les discontinuités. Toutefois, peu d’études théoriques ont été faites. Nous présentons ici les fonctions de potentiel les plus couramment utilisées. Cette présentation n’est bien sûr pas exhaustive.

2.3.1 Fonction d’Hebert et Leahy

Dans le contexte de la reconstruction tomographique régularisée, T. Hebert et R. Leahy proposent dans [HEBE89] d’utiliser la fonction suivante (tracée figure 2-5):

ϕHL

( )

u =log 1+u

2

( )

(2-20)

Figure 2-5: Fonction de Hebert et Leahy

Cette fonction non-convexe est présentée comme un compromis entre la quadratique et la fonction de Geman et McClure. Notons au passage que ϕ_GM est la dérivée de ϕ_HL par rapport à u2. Notons également que cette fonction ne satisfait pas les conditions du théorème de Geman et

Reynolds en ce qui concerne le comportement asymptotique de la fonction de potentiel.

2.3.2 Potentiels convexes

L’utilisation de potentiels non convexes rend l’estimation au sens du MAP difficile, puisque dans ce cas l’énergie à minimiser admet des minima locaux. C’est pourquoi plusieurs auteurs plaident pour l’utilisation de potentiels convexes, qui correspondent à des critères du MAP convexes.

Nous allons maintenant citer les principaux potentiels convexes connus. Dans [BESA86], J. Besag propose d’utiliser une fonction linéaire:

ϕBE

( )

u = u (2-21)

Plus généralement, C. Bouman et K. Sauer [BOUM93] proposent une fonction de la forme suivante:

ϕBS

( )

u = u

α

1≤α <2 (2-22)

Ces fonctions sont tracées sur la figure 2-6 pour α variant de 1 à 1,8 par pas de 0,2.

Figure 2-6: Fonction uα pour: α =1 (a);α =1,2 (b);α =1, 4

(c);α =1,6 (d);α =1, 8 (e)

Dans ce modèle, Bouman et Sauer considèrent l’image comme un “Champ Markovien Gaussien Généralisé”[BOUM93]. Pour α =1, la distribution a priori est Laplacienne; pour α =2 , elle

serait Gaussienne, mais dans ce cas, le potentiel est quadratique et les discontinuités ne sont plus prises en compte. C’est pourquoi nous interdisons la valeur α =2 dans (2-21).

Enfin, nous citons une dernière famille de fonctions. Ces fonctions (cf. figure 2-7) ont un comportement quadratique (ou plus généralement polynomial) en 0 et linéaire à l’infini.

Figure 2-7: Fonction de Huber (a), fonction logcosh (b) et fonction

des surfaces minimales (c)

C’est en particulier le cas de la fonction de Huber, utilisée par Stevenson et al (voir par exemple [SCHU93]):

ϕHU

( )

u =min u

2

,2u−1

(

)

_(2-23)

et de la fonction log cosh proposée par Green dans [GREE90A]. Nous utiliserons la fonction de Green sous la forme:

ϕ_GR

( )

u =2 log cosh u

( )

(2-24)

Cette fonction peut être approximée par un polynôme en zéro, et devient très rapidement linéaire (en 2 u

[

−ln 2

( )]

) lorsque u augmente.

Pour notre part, nous proposons la fonction “des surfaces minimales”:

ϕHS

( )

u =2 1+u

2 ₋

2 (2-25)

Comme on peut le constater sur la figure 2-7, la fonction ϕ_HS est très proche de la fonction log cosh. Par contre, elle est plus facile à manipuler du point de vue formel et c’est pourquoi nous en

recommandons l’usage.

D’autre part, la fonction ϕ_HS a une interprétation physique intéressante. Cette fonction intervient dans le calcul d’hyper-surfaces minimales. En effet, à une dimension, on constate que la longueur de la courbe z=f x

( )

entre les points d’abscisses a et b est:

L= 1+ ′

[

f x

( )]

2

a b

³

dx (2-26)

Ce résultat se généralise aux dimensions supérieures, la notion de longueur se généralisant à la notion d’hyper-surface. a b z x z=f(x) Figure 2-8: Courbe z=f x

( )

Lorsque l’on utilise cette fonction de potentiel, le terme de régularisation intervenant dans le critère du MAP se met sous la forme:

J₂

( )

f =2 1+

( )

D_xf i, j 2 j=0 N−1

¦

i=0 N−1

¦

+2 1+

( )

D_yf i, j 2 j=0 N−1

¦

i=0 N−1

¦

−4N2 (2-27)

Considérons la i-ème ligne de l’image, f_i. La valeur du pixel en fonction de l’indice de colonne j nous fournit une courbe (discrète) z= f_{i, j}. On peut alors interpréter le terme:

1+

( )

D_xf _i2_{, j} j=0

N−1

¦

comme l’analogue discret de (2-26). Ce terme représente donc la longueur de la courbe z= f_{i, j}. On peut faire la même interprétation dans la direction y, en considérant une colonne de l’image.

L’utilisation de la fonction ϕ_HS revient donc à poser une contrainte sur la longueur totale des courbes décrites par les lignes et les colonnes de l’image.

2.3.3 Les conditions de Lange

Enfin, quant à déterminer de façon théorique les propriétés à vérifier par la fonction de potentiel, peu d’auteurs se sont posés explicitement la question. On trouve cependant une discussion sur ce sujet dans [LANG90]. K. Lange propose sept conditions1_{, que nous pouvons regrouper sous la}

forme suivante:

i) ϕ doit être paire, à valeurs positives,

ii) ϕ doit être strictement croissante sur 0,

[

+∞

[

et vérifier lim

0+ ϕ =0 et lim+∞ ϕ = +∞,

iii) la dérivée de ϕ doit être bornée, (2-28) iv) ϕ doit être strictement convexe.

Les motivations de cet auteur sont en fait légèrement différentes des nôtres, puisqu’il s’agit surtout d’assurer la convergence de l’algorithme MAP-EM OSL [GREE90A]. Toutefois, Lange fait remarquer que toutes ces conditions sont vérifiées par la fonction log cosh dont le comportement linéaire à l’infini est censé permettre le respect des discontinuités ([BOUM93]). Il apparaît que les conditions ii) et iv) posées par l’auteur sont en contradiction avec les hypothèses du théorème de Geman et Reynolds (cf. §2.2.3). Notons que la condition iv) assurant l’unicité du minimum de l’énergie du MAP est également défendue par d’autres auteurs, par exemple Green [GREE90A], Bouman et Sauer [BOUM93].

2.3.4 Conclusion

Nous venons de voir dans les paragraphes 2.2 et 2.3 deux approches de la régularisation avec prise en compte des discontinuités:

- la première fait appel à la notion de processus de ligne, une variable permettant de marquer les discontinuités. Cette variable peut être implicitement définie à travers la fonction de potentiel si cette dernière vérifie certaines conditions, précisées dans le théorème de Geman et Reynolds.

- le second type d’approche ne fait pas appel à un processus de ligne. Il s’agit de trouver une “bonne” fonction de potentiel. Cette recherche est souvent empirique ([HEBE89], [LALU92]).

1 _{Remarque: dans [LANGE90], K. Lange propose également de nouvelles fonctions de potentiel, que nous}

Nous notons que ces deux approches imposent des conditions différentes (et parfois contradictoires…) à la fonction de potentiel pour qu’elle assure la préservation des discontinuités.

Enfin, si toutes les fonctions citées précédemment sont censées permettre la prise en compte des discontinuités, elles ont des allures très différentes, comme le montre la figure 2-9.

Figure 2-9: Diversité des fonctions de potentiel censées

correspondre à une régularisation avec prise en compte des discontinuités

Certes, il est possible de paramétrer ces fonctions (comme par exemple dans [GREE90A] ou [LALU92]) de façon à les faire mieux “se ressembler”. Toutefois, il n’en demeure pas moins que les allures générales de ces fonctions sont très diverses. De plus, certaines sont convexes, ce qui assure l’existence d’un minimum unique du critère du MAP, d’autres non.

La question: “quelles propriétés doit vérifier une fonction de potentiel pour assurer la préservation des discontinuités?” reste donc posée. Afin d’y apporter une réponse, et dans une démarche unificatrice, nous proposons au paragraphe suivant une approche différente, basée sur l’étude des équations normales associées au critère du MAP.

Dans le document Reconstruction d’image : régularisation avec prise en compte des discontinuités. (Page 50-55)