L’objectif de cette section est de présenter les opérateurs basés sur l’agréga-tion de valeurs. Nous commençons, tout d’abord, par expliquer le principe des méthodes d’agrégation classiques. Nous verrons ensuite les approches d’agrégation prioritaires existants dans la littérature.
3.3.1 Description du problème
Les approches d’agrégation de valeurs trouvent leur origine dans le domaine d’aide de prise à la décision. Le processus d’aide à la décision consiste gé-néralement à supporter un utilisateur dans le processus de prise de décision dans le cas où il est confronté à des problèmes complexes, par exemple, de planification, de choix ou d’évaluation, etc. Étant donnés que la “réalité” est multidimensionnelle et qu’il existe toujours plusieurs critères à satisfaire, ces systèmes se sont orientés vers une approche multicritères. L’objectif d’une aide multicritères à la décision est donc de proposer à un utilisateur les
meilleures alternatives répondant le plus à ses besoins (et qui soit la plus optimale à son égard), étant donné un ensemble de critères et contraintes qui doivent être pris en compte dans le processus de décision. Si les critères sont partiellement conflictuels, ou si plusieurs systèmes devraient juger l’en-semble des alternatives, la prise de décision devient difficile. D’autant plus que la notion d’optimisation “dans l’absolu” est vide de sens en décision multicritères, car il n’existe généralement pas d’alternative optimisant tous les critères simultanément. Il est donc nécessaire de prendre en compte de l’information supplémentaire, en particulier l’importance relative de chaque critère et les compensations possibles entre les différents critères. Chacune de ces difficultés a donné naissance à un champ particulier de recherche (décision dans l’incertain, décision multicritères, etc). (Roy, 2003) distingue trois types de problématiques en aide à la décision, illustré dans la figure 3.3 :
– La problématique du choix, qui consiste à vouloir choisir la ou les solutions considérées comme optimales pour le problème considéré ;
– la problématique du classement (ranking), qui consiste à vouloir classer du premier au dernier toutes les solutions connues du problème considéré ; – la problématique du tri (sorting), qui consiste à affecter les solutions à
des catégories (ordonnées ou non).
La problématique du choix
la problématique du classement la problématique du tri
Figure 3.3: Problématiques liées aux méthodes multicritères.
Dans notre travail, nous nous intéressons plus particulièrement aux mé-thodes qui mettent l’accent sur problématique du tri. Formellement, dans un problème d’AMD, comme nous l’avons déjà cité, on dispose souvent d’un ensemble d’alternatives (ou objets) A = {a1, a2, . . . , am} et l’objectif est de
choisir les meilleures parmi ces alternatives en présence d’un ensemble de critères C = {c1, c2, . . . , cn} et un ensemble de préférences. Le point de dé-part consiste à formuler l’ensemble de préférences et évaluer l’impact de chaque alternative selon chaque critère (Jankowski, 1995). Cet impact est appelé selon le domaine d’application, où une évaluation de performance qui est définie selon une relation de préférence partielle ⪯ci (1 ≤ i ≤ n). Ensuite, ces préférences peuvent être formulées, comme c’est le cas pour la moyenne arithmétique pondérée, comme un vecteur normalisé de poids W = (wl, w2, . . . , wn) (où 0 ≤ wi ≤ 1 ). Chaque poids wi représente le degré d’importance du critère ci. Par exemple, pour évaluer l’importance globale de l’alternative a1, un ensemble de scores partiels(v1(a1), . . . , vn(a1)) est tout d’abord calculé sur tous les critères, puis agrégé en se basant les poids de chacun. Le résultat final est alors un ensemble d’alternatives triées ou classées selon l’ensemble de préférences préalablement défini. Nous déve-loppons dans la suite, les différentes méthodologies d’agrégation issues du domaine d’AMD se basant sur les scores.
3.3.2 Approches d’agrégation classiques
Dans le domaine de RI, pour pouvoir ordonner les documents dans un ordre décroissant de pertinence, il est souvent nécessaire de combiner différentes sources de pertinence. La plupart des modèles calculent pour chaque docu-ment un score partiel, appelé rsv (“retrieval status value”), selon chacun des critères, et le combine avec les scores des autres critères. Les documents sont finalement ordonnés dans l’ordre décroissant du score global obtenu. Dans cette section, nous traitons les méthodes classiques de combinaison multi-critères de pertinence. Nous donnons une formalisation de chacune des ces méthodes et nous proposons une classification basée sur la technique avec laquelle les scores sont combinés.
3.3.2.1 Moyennes arithmétiques et mécanismes de combinaison linéaire classiques : Principes
Le concept de moyenne a donné lieu aujourd’hui à un champs d’étude très vaste avec une variété impressionnante d’applications. En fait, une abondante littérature sur les propriétés de plusieurs moyennes (tels que la moyenne arithmétique, géométrique, etc.) a été déjà introduite et continue à se développer aujourd’hui (Bouyssou et al., 2006). Le concept de moyenne
a été initialement défini par (Chisini, 1929) comme suit.
Soit f = g(x1, . . . , xn) une fonction de n variables indépendantes x1, . . . , xn représentant des quantités homogènes. Une moyenne de x1, . . . , xn par rapport à la fonction g est un nombre M tel que, si tous les xi sont remplacés par M , la valeur de la fonction reste inchangée, c’est-à-dire,
g(M, . . . , M) = g(x1, . . . , xn) (3.2)
Définition 2 Moyenne..
Lorsque g est la somme, le produit, la somme des carrés, la somme des inverses, ou encore la somme des exponentielles, la solution de l’équa-tion de Chisini correspond respectivement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique, la moyenne quadratique, la moyenne harmonique, et la moyenne exponentielle. Le tableau 3.1 illustre les formules de ces mé-thodes. Type de moyenne f(x) M(n)(x1,...,xn) Arithmétique x n1∑n i=1xi Géométrique log(x) (∏n i=1xi)1n Quadratique x2 (1 n∑n i=1x2i)12 Harmonique x−1 1 1 n∑n i=1xi1 Exponentielle expαx(α ∈ R∗) 1 αln(1 n∑n i=1expαxi) Table 3.1: Exemples de moyennes arithmétiques.
3.3.2.2 Moyennes ordonnées
Une autre famille d’opérateurs d’agrégation qui a été étudié dans la litté-rature est celle des opérateurs se basant sur la somme pondérée ordonnée (communément appelées OWA pour Ordered Weighted Average). Cet opé-rateur a été initialement introduit par (Yager, 1988). L’idée derrière cet opérateur d’agrégation est d’essayer de relier deux cas extrêmes : “tous les critères doivent être satisfaits” (comme pour une opération AND classique), et un “seul critère satisfait suffit” (OR). Donc, pour ce faire, il suffit de ré-cupérer pour chaque ensemble d’alternatives l’ensemble des scores partiels
(vi(a)) (performances ou aussi utilités), puis de le trier en ordre décrois-sant. Ensuite, il suffit d’effectuer une somme pondérée de ces scores par des coefficients prédéfinis. L’opérateur OWA est défini par :
OW A(v1(a), . . . , vn(a)) =∑n
i=1
wi⋅ a(i) (3.3)
Avec W = (wl, w2, . . . , wn) un vecteur de poids normalisé, wi∈ [0, 1] tel que ∑n
i=1wi= 1 et où la notation (⋅) indique une permutation des indices telle que a(1)≤ a(2)≤ ⋯ ≤ a(n). Ainsi, le poids n’est plus sur les scores partiels mais sur les rangs. Cet opérateur possède en outre la particularité de généraliser un certain nombre d’opérateurs que nous avons déjà mentionné jusqu’ici : minimum, maximum et moyenne arithmétique :
– Si w1= 1 (et donc wi = 0 pour i > 1), OWA généralise l’opérateur “min” ; – Si wn= n, c’est l’opérateur “max” ;
– n est impair, wn+1
2 = 1, c’est la médiane. Si n est pair, la médiane est défini par wn
2 = wn
2+1=1
2.
3.3.3 Approches d’agrégation prioritaires
Comme pour les approches d’agrégation classiques, l’agrégation prioritaire peut aussi être formalisée comme un problème de prise de décision multicri-tères (Cf. Section 3.3.1), dans lequel nous avons :
– L’ensemble des alternatives A = {a1, a2, . . . , am} – L’ensemble des critères C = {c1, c2, . . . , cn}
– Des préférences sur les différents critères qui sont représentées par des relations de priorité⪯ci; c1 ⪯ c2 est interprété par c1 est plus prioritaire que c2
– La fonction d’agrégation g(v1(a), . . . , vn(a)) calculant le score global d’une alternative a par rapport à l’ensemble total des critères. Le score vi(a) représente le degré de satisfaction d’une alternative a par rapport au critère ci.
Pour calculer le score global, un opérateur d’agrégation prioritaire affecte des poids d’importance à chaque critère de l’ensembleC de manière à ce que les critères les plus prioritaires aient les poids les plus élevés. Il est à noter aussi qu’un poids d’importance d’un critère ci dépend aussi des degrés de satisfaction des alternatives et des poids d’importance des critères les plus prioritaires (que ci). Pour simplifier les notations, on dénote par c1le critère
le plus préféré et cn le moins prioritaire. Donc on assume que ci est plus préféré que cj (ci ⪯ cj) si et seulement si i < j. Cette intuition peut être formalisée comme suit :
– Pour chaque alternative a, le poids du critère le plus prioritaire c1 est 1, i.e., par définition,∀d, λ1= 1 ;
– Le poids des autres critères ci (i∈ [2..n]) est calculé de la façon suivante :
λi= λi−1⋅ vi−1(a) (3.4)
Où vi−1(a) est le degré de satisfaction du critère ci−1 par l’alternative a, et λi−1 (∈ [0..1]) est le poids d’importance de ci−1.
L’intuition derrière l’idée de priorité entre les critères vient du fait que dans certaines applications réelles, l’importance d’un critère pourrait être dépen-dante de la satisfaction d’un autre critère plus prioritaire.