Approche par scénario

Une dernière approche proposée est celle de la scénarisation de l’aléa, qui passe outre la nécessaire définition des variables correspondant aux temps de parcours. Dans cette ap-proche, les temps de parcours deviennent des grandeurs déterministes, définies par un scéna-rio donné. La difficulté se situe ici dans la définition des scénascéna-rios, qui doivent être à même de caractériser une instance complète décrivant les conditions de trafic sur le réseau.

Yu et al. [173] définissent deux problèmes spécifiques à l’approche par scénario, qui

reviennent à chercher le plus petit des temps de parcours maximaux sur tous les scénarios d’une part, et la plus petite amplitude entre temps de parcours minimal et temps de parcours maximal sur tous les scénarios d’autre part. L’idée est ainsi de définir un chemin robuste,

ce qui est également l’objet de la contribution de Gabrel et al. [55]. Ces derniers auteurs

évoquent deux types de scénario : le premier concerne des arcs définis sur un ensemble discret, et le second est composé d’arcs définis sur des intervalles bornés. Ils définissent également deux critères : le premier est le critère du pire cas, qui est assimilable au premier

problème évoqué par Yu et al. [173], et le second, le critère de robustesse bw. Ce dernier

nécessite la connaissance d’un paramètre objectif (b), qui est le temps de parcours qu’un chemin doit permettre de réaliser dans un maximum de scénarios, et d’un paramètre limite (w), qui est le temps de parcours à ne dépasser dans aucun scénario. Ainsi, le chemin le plus robuste est celui qui respecte le critère w dans tous les scénarios tout en présentant le plus grand nombre de scénarios respectant b.

Par ailleurs, Rey et al. [131] proposent un algorithme d’étiquetage basé sur des temps

de parcours scénarisés. Cette approche est vue comme une méthode efficace pour gérer les situations de dépendance statistique entre les différents arcs : toutes les corrélations sont ainsi capturées par la scénarisation, une réalisation de temps de parcours sur un segment donné ne pouvant être rencontrée que si le scénario le permet. Leur objectif est d’obtenir des chemins non-dominés, et de déterminer parmi eux celui qui minimise l’espérance du temps de parcours tous scénarios confondus. Cette particularité est également soulevée par

qu’au moyen d’un nombre suffisant de scénarios. En pratique, un scenario peut être identifié comme une journée typique. Ainsi, ils développent un programme mathématique dans lequel les temps de parcours sont définis en fonction de l’arc, de la date de départ, mais aussi du jour concerné.

En somme, l’approche par scénario passe pour une méthode simple et efficace pour gérer la complexité de modélisation engendrée par la définition stochastique des temps de par-cours. Ce choix nécessite tout de même une grande rigueur dans la définition des scénarios, qui doivent être cohérents, typiques des conditions de trafic sur un réseau de transport, et complets, pour représenter l’univers des réalisations des temps de parcours au sein du graphe.

Conclusion

Bien que quantité de travaux aient été consacrés à la thématique de la recherche du plus court chemin dans la littérature, seulement un nombre réduit d’entre eux considère des graphes stochastiques, et ce nombre diminue d’autant si les définitions des temps de parcours évoluent en fonction de la date de départ aux nœuds, et/ou si elles impliquent des corrélations non nulles. Les quelques travaux qui incluent toutes ces dimensions présentent des niveaux de difficulté importants en matière de modélisation, ainsi que de faibles performances algo-rithmiques. Des hypothèses simplificatrices semblent toujours nécessaires pour aboutir à un algorithme acceptable (recherche sur les espérances, utilisation de lois normales, corrélations limitées aux tronçons adjacents voire nulles, scénarisation de l’aléa...).

Les techniques de modélisation employées suivent trois grandes tendances : d’abord, une partie des publications exprime la minimisation du temps nécessaire au trajet par le biais d’une fonction à optimiser dans un programme mathématique ; ensuite, un autre pan de la littérature est composé d’algorithmes fondés sur la programmation dynamique, outil parti-culièrement pertinent pour les recherches de chemins adaptatives ; et enfin, un troisième et dernier ensemble de chercheurs s’est appliqué à développer des algorithmes d’étiquetage, lors desquels les nœuds du réseau sont parcourus successivement jusqu’à obtenir des éti-quettes optimales. Dans les graphes stochastiques, ces étiéti-quettes ne sont pas des scalaires, mais des vecteurs qui sont comparés les uns par rapport aux autres au moyen des relations de dominance stochastique. Les deux dernières techniques mentionnées ont nécessité le dé-veloppement de structures algorithmiques novatrices pour dépasser l’invalidité du principe d’optimalité de Bellman dans le cadre stochastique.

Après la partieIconsacrée à la modélisation des temps de parcours à l’échelle du segment

et de l’itinéraire, cet état de l’art a permis de constater que seul un nombre restreint de lois de probabilité est plébiscité à l’échelle du graphe, aucun consensus n’existant réellement sur la détermination du meilleur candidat. Enrichir l’état de l’art sur ce point précis est possible, notamment en testant les solutions classiques que sont les lois normales et lognormales.

Une question de recherche peut notamment être soulevée à l’aune des précédents déve-loppements : le choix de modélisation a-t-il un impact sur les chemins jugés optimaux ? Dans de nombreux cas, les lois de probabilité sont utilisées pour leurs propriétés analytiques, ou à titre d’illustration dans des cas empiriques, plutôt que pour une quelconque pertinence en termes de modélisation. Une analyse de la robustesse des plus courts chemins au regard du choix du modèle statistique employé sera réalisée dans le chapitre suivant pour évaluer l’as-pect critique de ce choix. Le modèle de l’état de l’art retenu pour cette analyse est la

formu-lation SPOTAR détaillée par Nie et al. [113], grâce à laquelle les temps de parcours peuvent

être considérés comme des variables aléatoires distribuées, et dans laquelle la définition du modèle probabiliste peut être directement interrogée via les fonctions de répartition.

Chapitre 4

Calcul du plus court chemin stochastique :

considérations probabilistes et résolution

algorithmique

Comme évoqué dans le chapitre précédent, plusieurs solutions algorithmiques ont été proposées pour le problème du plus court chemin stochastique, mais peu d’entre elles sont capables de prendre en compte de façon détaillée l’aspect stochastique des temps de par-cours. L’objet de ce chapitre est de proposer un cadre méthodologique pour la représentation

stochastique des temps de parcours, en utilisant l’approche algorithmique de Nie et al. [113].

Celle-ci consiste en un algorithme d’étiquetage (dénommé SPOTAR) permettant de maximi-ser la probabilité d’arriver à l’heure, pour un budget-temps donné. Cette approche est à notre connaissance la première qui offre un cadre permettant la prise en compte des distributions de temps de parcours dans un graphe qui considère plus d’informations que le traditionnel couple moyenne-variance. L’approche est fondée sur la mise à jour, à chaque nœud, d’un vecteur d’étiquettes (une étiquette optimale par budget de temps), structure comparable à celle utilisée pour les calculs du plus court chemin dans les graphes dynamiques.

Une question de recherche fondamentale associée au traitement de cet algorithme réside en l’évaluation des différents modèles statistiques qui servent à alimenter la définition des graphes stochastiques. Selon le modèle régissant le poids des arcs, le plus court chemin désigné est-il le même ? Autrement dit, dans quelle mesure peut-on considérer que les calculs de PCCS sont robustes au choix de la loi de probabilité destinée à représenter les temps de parcours dans le réseau ? Nous approfondirons cette question en mettant en évidence le rôle de différents paramètres tels que la taille du graphe, la précision de la discrétisation des distributions, ou même le niveau de variance utilisé lors de l’échantillonnage, au cœur d’une

analyse impliquant un sous-ensemble de modèles évoqués dans la partieI.

Après avoir développé les définitions liées aux graphes stochastiques dans la section

4.1, nous établirons un cadre méthodologique visant à tester les solutions obtenues avec

l’algorithme SPOTAR dans la section 4.2. Dans la section 4.3, une palette de résultats la

plus exhaustive possible sera développée concernant la robustesse des chemins obtenus face aux choix de modélisation statistique, cela permettant par ailleurs une mise en contexte des

travaux de la partieIpour la représentation des temps de parcours dans un réseau de transport.

4.1 Plus courts chemins stochastiques

Dans la première partie de ce chapitre, le cadre théorique de l’algorithme SPOTAR sera détaillé. Du fait de la définition stochastique du graphe, le principe de Bellman, garantis-sant qu’un sous-chemin d’un chemin optimal est également optimal, ne se matérialise plus de la même façon. Il est donc nécessaire d’utiliser un autre type de construction théorique pour explorer le graphe et étiqueter les sommets de manière adéquate. L’algorithme

SPO-TARsera lui-même également présenté : il constitue une méthode puissante pour calculer les

probabilités d’arriver à l’heure, en considérant des distributions discrétisées.