Approche Projection-Based

Une autre méthode de séparation des problèmes est la méthode Projection-Basedou méthode pré-reconstruction. Dans ce cas-là, la décomposition en base de fonction est réalisée sur les sino-grammes mesurés (cf figure II.7). On obtient ainsi deux sinosino-grammes en longueur de matériau :

(l_1i;l_2i)aveci∈[1;N_p]. La décomposition en base de fonction se fait parfois sur les effets physiques d’atténuation Photoélectrique/Compton (cf équation I.13). Pour plus de clarté, nous appelons aussi longueur de matériau de base la projection de ces volumes. Ensuite une reconstruction scalaire permet d’obtenir deux volumes matériau : (f_1j;f_2j) avec j ∈ [1;N_v]. Une simple reconstruction analytique de type rétroprojection filtrée permet de reconstruire sans artéfact un sinogramme en longueur de matériau de base car ce dernier est bien équivalent à la transformée de Radon d’un volume en densité de matériau. Ainsi la qualité de cette méthode de reconstruction dépend princi-palement de la qualité de la décomposition en longueur matériau de base. L’utilisation d’une base de calibration pour décomposer les sinogrammes mesurés a permis des reconstructions spectrales

II.2. RECONSTRUCTION SPECTRALE 51

FIGUREII.7 –Schéma de l’approche Projection-based.[Afb] =lbsont les longueurs matériaux de base.

On peut classer les méthodesProjection-Baseden deux sous-catégories : les méthodes avec fonc-tion inverse explicite ou avec inversion itérative d’un modèle statistique.

Avec une fonction inverse explicite Le principe des méthodes avec fonction inverse est de définir une fonction F qui estime directement les longueurs matériaux l_1i etl_2i en chaque pixelià partir des mesures(m¹_i;...;m^c_i;...;m^Nc

i )du détecteur à comptage résolu en énergie : (l_1i;l_2i) =F(m¹_i;...;m^c_i;...;m^Nc

i ) (II.36)

Une base de calibration est utilisée pour trouver cette fonction inverseF qui est indépendante du pixel. Une fois les matériaux de base choisis, on réalise des mesures m_calib pour des longueurs données connues de ces matériaux. Les différentes longueurs[l_b]^calibconstituent la base de calibra-tion.

Plusieurs fonctions inverses sont utilisées dans la littérature (répertoriées dans le tableau II.5) : • F est une fonction polynomiale d’ordre 2 ou 3 [76, 77]. Les coefficients du polynôme sont estimés par minimisation d’un critère aux moindres carrés (en pratique une fonc-tion est déterminée pour chaque matériau de baseb) :

F_b^∗ =arg

min F∈P2

h

||[l_b]^calib −F(m¹_calib;...;m^c_calib;...;m^Nc

calib)||²₂ⁱ (II.37) Il est possible d’améliorer cette méthode en divisant la gamme d’atténuation en plu-sieurs zones et de calculer un polynôme pour chaque zone. Cela permet plus de préci-sion dans le cas de large gammes d’atténuation.

• F est une combinaison linéaire de polynôme d’ordre 4 [78] (obtenue par résolution du problème II.37).

• F est obtenue par la méthode "Linearized MLE" [79–81] et la relation II.36 devient (en fonction dep_i= (p¹_i;...;p^c_i;...;p^Nc i ),p^c_i =ln_mc i m0c i ) :

(l_1i;l_2i)_{M LE} = (^TM^calibR⁻_Σ¹M^calib)^{−1 T}M^calibR⁻_Σ¹p_i (II.38) qui est l’inversion [82] de la relation p_i = M^calib.(l_1i;l_2i) +ǫ(∗) où p_i est le vecteur des projections estimées etǫ∼ N(0;R_Σ)avecR_Σ la matrice de covariance de la loi de probabilitéP(p|(l1i;l2i)).RΣ est calculée à partir de la base de calibration etM^calibest

52 CHAPITRE II. ETAT DE L’ART

obtenue par résolution de : M^calib∗ = arg

min M

h

||[p]^calib −M^calib(l^calib₁ ;l^calib₂ )||²_RΣⁱ (II.39) • Il est aussi possible d’utiliser un réseau de neurones [81]. Ce réseau de neurones, une fois l’étape d’apprentissage faite, permet d’estimer les longueurs matériaux à partir des mesures par des opérations mathématiques non-itératives [81] (additions, multiplica-tions et évaluamultiplica-tions de foncmultiplica-tions linéaires ou sigmoïdes).

Le choix de la complexité de la fonction inverse conditionne la taille de la base de calibra-tion. Néanmoins l’estimation de la fonction inverse F devient instable lorsque la base est trop grande [79]. L’avantage est que le modèle détecteur et le spectre incident n’ont pas besoin d’être connus, ce qui constitue, comme nous le verrons, une difficulté dans les méthodes avec modèle direct.

L’inconvénient des méthodes avec base de calibration reste le besoin de recalibrer lorsque les conditions d’acquisition changent. L’avantage principal de ces méthodes est le temps de calcul. Une fois la fonction inverse trouvée, il n’y a plus de processus itératif et l’obtention des longueurs ma-tériaux est immédiate. Toutefois, à partir du biais estimés par l’application de la méthode sur les données de la base de calibration, certains auteurs [79] implémentent une correction itérative de celui-ci. Certaines des méthodes décrites ont aussi été utilisées dans le cas de système bi-énergie avec détecteurs à intégration [73, 75, 76].

Auteur, année Fonction inverse

Résultats sur simu. et/ou exp.

Nombre de canaux Potop et al. LDET,

2014 [77] ^{Polynôme d’ordre 2 Simu. 2 canaux} Wu et al. 2016, [78] ^{Combinaison de} polynômes d’ordre 4 Simu. et Exp. 4 canaux : (2 acquisitions à 2 canaux (DECT)) Alvarez,

2011/2016 [79, 80] ^{Méthode "Linearized MLE" Simu. 5 à 18 canaux} Zimmerman et al., 2015 [81] Comparaison Réseau de neurones et la méthode "Linearized MLE" Exp. 5 canaux

TABLEII.5 –Tableau bibliographique des fonctions inverses utilisées dans les méthodeTwo-Step.

Avec un modèle direct et une inversion itérative Le principe des approches de cette partie est de définir un modèle direct théorique en fonction des longueurs matériaux :

m^c_i(l_1i;l_2i) = G^c l_1i;l_2i

(II.40) oùG^c est une fonction que nous préciserons dans cette sous-partie. Cette fonction estime les me-sures à partir des longueurs matériaux, elle exprime la relation inverse de l’équation II.36.

II.2. RECONSTRUCTION SPECTRALE 53

Ensuite, un modèle statistique est choisi entre les mesures réelles (m1;...;mc;...;mNc) et le modèle direct théorique(m¹;...;m^c;...;m^Nc):

m^c_i ∼ Loi

m^c_i(l_1i;l_2i)

(II.41) Le modèle statistique peut aussi être défini entre les mesures en atténuation(p¹;...;p^c;...;p^Nc)

(où pc = ln _m^m₀^cc

; m0c est la mesure plein flux par canal) et le modèle direct théorique associé

(p¹;...;p^c;...;p^Nc): p^c_i ∼ Loi p^c_i(l_1i;l_2i) (II.42)

Puis les longueurs matériaux sont calculées à l’aide du critère de maximum de vraisemblance et d’un algorithme itératif. Par rapport à une méthode itérative statistique de reconstruction tomo-graphique, ces modèles sont de plus petite taille et plus simples à résoudre. Les algorithmes utilisés restent assez simples (algorithme de Nelder-Mead [83] ou algorithme EM [84]). De plus, il s’agit souvent de modèle à inverser où les pixels sont indépendants. Le problème global est donc forte-ment parallélisable.

Pour définir le modèle direct (la fonctionGc), on peut identifier deux possibilités : • Un modèle direct avec un modèle détecteur explicite

• Un modèle direct modifié (modèle détecteur implicite)

Les méthodes avec un modèle détecteur explicite :

Dans le cas où une bonne connaissance de la réponse détecteur est possible, les longueurs matériaux sont obtenues efficacement par un modèle statistique (semblable à ceux de la partie II.1.3). Le modèle direct s’écrit pour le pixeliet le canalc:

m^c_i(l_1i;l_2i) = NPE

E=1

N⁰(E)DRM(c;E)e^−φ1(E)l1i−φ2(E)l1i (II.43)

ce modèle direct implique la connaissance du spectre incidentN⁰(E), du modèle détecteurDRM(c;E)

et des fonctions de baseφ₁ etφ₂. La modélisation de la dépendance énergétique de DRM(c;.) a été étudiée et des modèles ont été développés pour estimer celle-ci en fonction des phénomènes physiques et électroniques présents [83, 85, 86]. Néanmoins ces modèles doivent être calibrés ex-périmentalement.

Le tableau II.6 recense les principales publications utilisant un modèle détecteur explicite. Le modèle statistique utilisé diffère selon les auteurs : modèle poissonnien [83, 85, 87], modèle gaus-sien (moindres carrés simple) [84, 88] ou gausgaus-sien avec variance variable (moindres carrés pondé-rés) [89, 90]. Il est possible d’insérer dans ce modèle statistique un terme de régularisation qui vise à lisser spatialement les sinogrammes (fonction de potentiel de Huber ou quadratique [17, 89]). La difficulté est de bien choisir les paramètres de la régularisation et de minimiser une fonctionnelle plus complexe (les pixels ne sont plus indépendants.)

L’avantage de ces méthodesTwo-Stepest de pouvoir insérer un modèle statistique des mesures lors de la décomposition. Comme il est défini par pixel, il peut être complexe sans être coûteux en calcul à minimiser : on minimise un grand nombre de problèmes (autant que de pixels) qui ne dépendent que de quelques variables. Dans le cas d’un terme de régularisation liant les pixels, les

54 CHAPITRE II. ETAT DE L’ART

Auteur, année ^Modèle

Stat. ^{Modèle détecteur}

Résultats sur simu. et/ou exp. Nombre de canaux Schlomka et al., 2008 [91] ^PL

Modèle détecteur semi-empirique calibré avec une source

mono-énergie

Exp. _{6 canaux}

Schmidt, 2012

[87] ^PL

CoefficientDRM(c;E)appris

sur une base de calibration ^{Simu. 5 canaux} Ducros et al.,

2017 [89] ^PWLS

Modèle explicite [91]

Régularisation de type fonction de Huber

Simu. 4 canaux Hohweiller et

al., 2017 [90] ^PWLS

Modèle explicite [91]

Régularisation de Tikhonov ^{Simu. 3 canaux} Su et al., 2017

[17] ^PWLS

Modèle explicite avec résolution énergétique idéale Régularisation "Patch-based" Simu. Etude entre 6 et 60 ca-naux

TABLEII.6 –Tableau bibliographique des méthodesProjection-Basedavec modèle de détecteur explicite. PL : Poissonnian Likelihood ; LS : Least Square ; PWLS : Penalized Weighted Least Square.

angles de vue peuvent toujours être traités indépendamment : on peut traiter en parallèle les lignes des sinogrammes.

Certaines de ces méthodes ont été mises en œuvre dans le cas de données expérimentales (cf tableau II.6). Dans ce cas, certains paramètres du modèle détecteur doivent être calibrés. Cette calibration peut être effectuée avec une source mono-énergie (raie synchrotron ou source radio-isotope) ou par la mesure de matériaux à raie K. Une bonne connaissance du spectre incident est aussi nécessaire. Celui-ci peut être estimé à partir d’un modèle détecteur calibré et d’une mesure sans objet [92]. Ainsi, si les conditions d’acquisitions changent, la calibration du modèle détecteur reste valable mais le spectre incident doit être recalculé.

Utilisation d’un modèle détecteur implicite :

Le principe de ces méthodes est aussi de construire un modèle direct théorique estimant la me-sure à partir des longueurs matériau. Cependant celui-ci est modifié par rapport à la relation II.43 : il ne fait pas intervenir une réponse détecteur explicitement. Les paramètres de ce modèle sont ensuite déterminés en utilisant une base de calibration. Plusieurs possibilités ont été introduites dans la littérature (cf table II.7) :

• Une relation linéaire [93] :p_i =M^calib(l_1i;l_2i)oùM^calib est estimée avec la base de calibra-tion.

• Un modèle appelé "Beer-Lambert polychromatique" [94] :

m^c_i(l1i;l2i) =C^ce^−φ1(Ebc)l1i−φ2(Ebc)l2i+

H

X

h=1

D^c_he^−d1hφ1(Ebc)l1i−d2hφ2(Ebc)l2i (II.44)

oùH≤3etC^c,D_h,Eb^c etd_bh sont estimés à partir de la base de calibration.

• Approximation de la dépendance énergétique de N_i^att(E) par des polynômes en énergie

N_i^att(E) = P^H

h=1

II.2. RECONSTRUCTION SPECTRALE 55

mesures, les longueurs matériaux sont calculées par la résolution de :

(l₁^∗_i;l^∗_2i) =arg min (l1i;l2i) h ||e^−φ1(E)l₁i−φ2(E)l₂i− H X h=1 c_ihP_h^b(E)|| 2