Approche polytopique pour systèmes LPV

2.4 Extension de l'approche polytopique aux

sys-tèmes LPV

La méthode présentée dans le paragraphe précédent s'applique pour des

sys-tèmes stationnaires. Ce paragraphe discute de son extension pour des syssys-tèmes

LPV, c'est à dire dont la représentation d'état continue dépendant déjà d'un ou

plusieurs paramètres, est donnée par :

G(s, ρ)

˙

x(t) = A(ρ(.))x(t) +B(ρ(.))w(t)

z(t) = C(ρ(.))x(t) +D(ρ(.))w(t) (2.23)

Comme pour le cas LTI, la période d'échantillonnage doit être intégrée au

système durant la phase de discrétisation. Mais il s'agit ici de discrétiser un

sys-tème LPV dont les matrices de la représentation d'état dépendent d'un vecteur

de paramètres ρ. Pour pouvoir ajouter la période d'échantillonnage à l'ensemble

de paramètres déjà existant, on supposera que le système LPV dépend de façon

ane du vecteur de paramètres.

L'équation (2.3) dans le cas LPV devient donc :

ˆ

A=e

^A(ρ)h

B^ˆ =

Z

h 0

e

^A(ρ)τ

dτ B(ρ)

ˆ

C =C(ρ) D^ˆ =D(ρ)

(2.24)

Remarque : Les paramètre ρ et hsont à normalement dénis à chaque instant

d'échantillonnage et devrait donc être notésρ

k

eth

k

. Ils sont notés ici sans indices

par abus de notation pour simplier l'écriture.

Le produit de la matriceA(ρ)du système continu LPV avec la période

d'échan-tillonnage h, que l'on veut garder comme paramètre, rend le système non ane

par rapport au nouveau vecteur de paramètres [ρ; h], ce qui pose problème dans

le contexte de la synthèse par approche polytopique. De plus l'approximation en

série de Taylor qui permet d'avoir un système ane par rapport à h dans le cas

continu (equation 2.13) fait apparaître les puissances successives de A. Cela ne

pose pas de problème dans le cas LTI (où cette matrice est constante) mais dans

le cas LPV, comme la matrice A dépend du vecteur de paramètre (A(ρ)), des

produits de paramètres vont apparaître. Une méthode simple pour contourner ce

problème serait de dénir un nouveau paramètre pour chaque produit, mais ceci

augmenterait rapidement le nombre de paramètres à considérer. Or le nombre de

paramètres est un aspect crucial de la modélisation et de la synthèse polytopique,

comme expliqué au paragraphe 1.3.

Une autre approche, développée ici, consiste à faire la synthèse en continu sur

le système polytopique dépendant de ρ puis de faire la discrétisation en ligne du

contrôleur LPV continu obtenu.

Le calcul d'un contrôleur polytopique pour un système LPV, en suivant cette

méthode, se décompose en 4étapes présentées ci-dessous.

1- Spécication des performances

Des fonctions de pondération sont utilisées pour spécier les performances

dé-sirées en boucle fermée (suivant la méthodologie de synthèse H

∞

présentée au

paragraphe 1.1). Comme expliqué dans Robert (2007); Robert et al. (2010) pour

une synthèse discrète, ces fonctions de pondérations peuvent être paramétrées par

la période d'échantillonnage de façon à adapter les performances du contrôle à la

valeur courante de la période.

Remarque : Cette adaptation est particulièrement intéressante dans le contexte

temps-réel car elle permet de conserver la stabilité pratique en autorisant une

dé-gradation maîtrisée des performances en boucle fermée en cas de sous-échantillonnage.

Dans notre cas, bien que la synthèse du contrôleur soit réalisée en temps

continu, des fonctions de pondérations W(˜h) dépendantes d'un paramètre ˜_h sont

utilisées an de permettre l'adaptation des performances en boucle fermée en

fonc-tion de˜_h(dans notre cas,˜_hsera ensuite choisi en cohérence avec la période

d'échan-tillonnage du régulateur discrétisé). La bande passante de la fonction de

pondéra-tion est choisie dépendante du paramètre ˜_h ce qui permet d'adapter le temps de

réponse en boucle fermée à la valeur mesurée de˜_h. Par exemple pour un ltre du

premier ordre, l'expression suivante est considérée pour l'erreur de poursuite :

W(˜h) =

s

Ms

+w

b

_h˜

s+w

b

˜_h (2.25)

avec M

_s

la marge de module désirée, w

_b

^˜h la bande passante souhaitée en boucle

fermée, et l'erreur de poursuite maximale en régime permanent.

Cette fonction de pondération peut être réécrite sous forme de représentation

d'état comme suit : ₍

˙

x

W

=A

W

(˜h)x

W

+B

W

(˜h)u

W

y

W

=C

W

x

W

+D

W

u

W

(2.26)

avec

A

W

=−w

b

^˜h B

W

=w

b

(1−_M

s

)˜h (2.27)

C

W

= 1 D

W

= ¹

M

s

(2.28)

On obtient nalement une fonction de pondération sous forme de

représenta-tion d'état qui dépend du paramètre_h˜ qui doit nalement être ajouté au vecteur

de paramètres existantρ dont dépend déjà le système LPV polytopique continu.

2.4. APPROCHE POLYTOPIQUE POUR SYSTÈMES LPV 39

2- Connexion du système et des pondérations : obtention d'un modèle

polyto-pique continu

En considérant que le paramètre ˜_h est borné par [˜h, ^˜h], il est alors facile

d'obtenir une représentation continue polytopique du système augmenté (déni

par la connexion du système et des fonctions de pondération).

Il sut d'ajouter le paramètre˜_hà l'ensemble des paramètres déjà existant dans

le modèle polytopique de départ et de dénir : ρ

⁰

= [ρ,^˜h]. Puis chaque sommet du

polytope de départ ω

i

= [ν

i1

, . . . , ν

in

] est utilisé pour créer 2 nouveaux sommets

en ajoutant la borne minimale ou maximale de ˜_h :

ω

⁰_i

= [ν

i1

, . . . , ν

in

,^˜h] et ω

_i⁰⁰

= [ν

i1

, . . . , ν

in

,^˜h] (2.29)

Le nombre de paramètres passe alors de n à N = 2n.

Finalement, pour chaque sommet du nouveau polytope, la pondération est

connectée au système, suivant le schéma de contrôle envisagé .

Par exemple, le problème de sensibilité mixte peut être traité (voir 1.1.2), avec

une fonction de pondération sur l'erreur de poursuite dépendante du paramètre˜_h,

et une pondération constante sur la commande. Le schéma de contrôle est rappelé

sur la gure 2.3.

K(s, ρ) ^{G(s, ρ)}

W_e(s,h^˜) W_u(s)

-+

r(t) ^(t) u(t) y(t)

Figure 2.3 Boucle fermée du problème de sensibilité mixte dans le cas LPV

La connexion des fonction de pondération et du système mène à la forme

gé-nérale présentée sur la gure 2.4.

Pour chaque sommet ω

0

i

du nouveau polytope (déni par l'ensemble de

para-mètres [ρ,h]^˜), le système augmenté P

ω0

i

(s) est calculé à partir des pondérations et

du système G(s, ρ).

A la n de cette étape, on obtient un ensemble de systèmes sommets P

_ω0

i

qui

dénit la nouvelle représentation d'état polytopique continue du système. Ce

sys-tème est utilisé pour la synthèse du contrôleur lors de la prochaine étape.

y

u

z

w

K_ω0

i(s)

P_ω0

i(s)

Figure 2.4 Interconnexion du système et du contrôleur LPV

En utilisant le système obtenu à l'étape précédente, un contrôleur LPV

poly-topique est obtenu directement en appliquant la méthode présentée au chapitre

précédent, section 1.3, pour les systèmes à temps continu. Le contrôleur dépend

du même ensemble de paramètres que le système, c'est-à-dire [ρ,h]^˜.

On obtient alors un ensemble de contrôleurs dénis aux sommets du polytope

ω

0

i

. Pour une valeur précise du vecteur de paramètresρ, le contrôleur correspondant

est calculé par la combinaison convexe desN contrôleurs sommets, suivant :

A

K

(ρ,^˜h) B

K

(ρ,^˜h)

C

K

(ρ,h)^˜ D

K

(ρ,^˜h)

=

N0

X

i=1

α

i

(t)

A

K

(ω

0 i

) B

K

(ω

0 i

)

C

K

(ω

_i⁰

) D

K

(ω

_i⁰

)

(2.30)

N = 2n étant le nombre de sommets du nouveau polytope.

Le contrôleur obtenu est déni en temps continu, et peut s'adapter à une

va-riation de paramètres (à l'intérieur de leur intervalle de vava-riation considéré pour

la synthèse) en garantissant la stabilité et les performances souhaitées en boucle

fermée.

4- Discrétisation (exacte ou approchée) du régulateur LPV

La dernière étape concerne la discrétisation du contrôleur obtenu. Parmi les

méthodes décrites précédemment on utilise ici la méthode numérique classique

introduite dans la section 2.2, c'est-à-dire utilisant l'exponentielle de la matrice :

M

_K

=

A

K

(ρ,^˜h) B

K

(ρ,h)^˜

0 0

(2.31)

La représentation d'état du contrôleur discret est donc donnée par l'équation

2.5. MISE SOUS FORME LFR DISCRÈTE 41

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