O desenvolvimento do raciocínio proporcional tem vindo a ser notado como um aspeto central mas problemático no ensino da Matemática (Norton, 2005). De facto, alguns aspetos relacionados com o ensino são indicados como condicionantes do desen- volvimento desta capacidade matemática. Por exemplo, Lamon (1995) verificou que raciocínio proporcional tem sido tipicamente ensinado como mais “um capítulo do manual de Matemática, no qual os símbolos são introduzidos antes de um trabalho sufi- cientemente aprofundado que permita a sua compreensão pelos alunos” (p. 167). A autora parece referir-se à ausência de um trabalho para compreensão da relação de pro- porcionalidade direta, em particular, da sua natureza a sua natureza multiplicativa, antes
39 da introdução das representações de razão (na forma de fração) e de proporção. No mesmo sentido, Yetkiner e Capraro (2009) indicam que a aprendizagem de procedimen- tos (algoritmo da multiplicação cruzada e divisão, também conhecida por regra de três) deve ser adiada até os alunos compreenderem os conceitos de proporção e de razão. Outras investigações indicam que os alunos usam estratégias de cálculo (como o algo- ritmo do produto cruzado) sem compreender o que é a relação de proporcionalidade direta (Cramer, Post e Currier, 1993; Post, Cramer, Harel, Kieran & Lesh, 1998; Spinil- lo, 2003).
Note-se que em Portugal e em outros países, o ensino da proporcionalidade dire- ta privilegia o procedimento da regra de três e a representação da equação (a incógnita x pode ocupar qualquer uma das quatro posições na equação) (Lesh et al. 1988; Monteiro, Serrazina & Barros, 2002; Robinson, 1981).
Para Stanley, McGowan e Hull (2003), a abordagem tradicional de ensino da proporcionalidade direta está ultrapassada e deve ser substituída por outra, pois o racio- cínio proporcional implica muito mais do que o uso da expressão e do produto cruzado ou regra de três. Os autores criticam esta abordagem pelo seu formalismo no uso de representações e de regras cujo significado os alunos não compreendem. Por seu lado, Greer (1997) diz ser necessário ultrapassar o treino de procedimentos e a verbali- zação de regras sem qualquer significado. E Smith III (2002), afirma que o ensino deve centrar-se nas ideias e limitar a rápida passagem para o cálculo.
Quando se procuram soluções para ultrapassar as dificuldades dos alunos não se deve ter a ideia de que existe uma só forma de ensinar, pelo que Koellner-Clark e Lesh (2003) alertam para o facto que nenhum documento produzido pela investigação poder ser considerado como suficientemente abrangente para constituir um guia de ensino da proporcionalidade direta. Por conseguinte, os vários contributos, mais ou menos rela- cionados, devem ser considerados na sua globalidade. Entre os vários contributos documentados na literatura salientam-se as ideias em torno da mobilização do conheci- mento informal de modo a que as dar significado à aprendizagem formal, a escolha cri- teriosa de problemas relevantes e o uso de múltiplas representações. Assim, o NCTM (2007) recomenda genericamente que deve ser dada oportunidade aos alunos para desenvolver o seu raciocínio proporcional na variedade de contextos pois a relação de proporcionalidade direta está presente em vários tópicos dos cincos grandes temas do programa.
d c b a
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A proposta de Baroody e Coslick (1998) indica três fases que devem ser consi- deradas no ensino das proporções: (i) conceptual, (ii) conectiva, e (iii) simbólica. A fase conceptual caracteriza-se pelo encorajamento no uso de estratégias informais numa grande variedade de problemas. Nesta fase deve ser fomentado o raciocínio qualitativo, a utilização de problemas variados e contextualizados na realidade e encorajamento os alunos a desenvolver estratégias próprias. A fase conectiva é definida como o desenvol- vimento do simbolismo proporcional apoiado no simbolismo com o que os alunos já conhecem. Nesta fase os autores aconselham que a noção de proporção seja desenvolvi- da através de problemas, recorrendo a desenhos de figuras e esquemas que ajudem a resolver problemas, desenvolvendo deste modo uma compreensão explícita sobre pro- porções enfatizando as características matemáticas das situações que envolvem relações de proporcionalidade direta. Finalmente, na fase simbólica, os alunos devem ser encora- jados a discutir as representações e a verificar se as suas respostas sobre as proporções estão corretas. Por seu lado, Cramer e Post (1993) destacam a importância da mobiliza- ção das estratégias intuitivas dos alunos de modo a suportar as estratégias multiplicati- vas durante o ensino formal da proporcionalidade direta.
Ben-Chaim et al. (1998) e Langrall e Swafford (2000), tendo por base o conhe- cimento sobre o tipo de problemas frequentemente usados durante o ensino da propor- cionalidade direta, alertam para a escolha criteriosa dos problemas a colocar aos alunos. Moseley (2005) refere que as estratégias e os conceitos dos alunos não vêm no manual mas são construídos a partir de problemas significativos. Yetkiner e Capraro (2009) discutem a importância da resolução problemas de proporcionalidade direta, que des- crevem fenómenos do mundo real pois estes permitem aos alunos a criação de imagens mentais ponderosas. Finalmente, Korth (2010) enfatiza que quando os alunos usam a capacidade de raciocínio proporcional na sua vida real, a matemática torna-se memorá- vel e reconhecem-lhe aplicabilidade.
Vários autores têm vindo a investigar a importância das representações múltiplas no desenvolvimento do raciocínio proporcional. Por exemplo, Kenney, Lindquist e Hef- fernan (2002) e Khoury (2002), exaltam a importância dos professores se focarem nas explicações que os alunos sobre o modo como chegam às suas respostas, quer sejam estas através de imagens, símbolos, tabelas entre outros. No seu estudo, Kenney et al. (2002) indicam que o sucesso na resolução de problemas de proporcionalidade direta, em crianças do 4.º ano, parece estar dependente do uso de imagens e tabelas. Por seu lado, Moseley (2005), Adjiage e Pluvinage (2007) e Yetkiner e Capraro (2009) argu-
41 mentam sobre a importância das múltiplas representações na resolução de problemas de proporcionalidade direta e consequentemente no desenvolvimento do raciocínio propor- cional. Moseley (2005) reporta que quanto mais cedo os alunos tiverem experiência como múltiplas representações maior é o seu conhecimento sobre a representações e sobre quando as usar. No entanto, esta orientação poderá não ser fácil de seguir pois, num estudo desenvolvido na formação inicial de professores, Ball (1990) verificou que quase todos futuros professores usam o algoritmo do produto cruzado e apenas alguns usam representações apropriadas.
A abordagem exploratória da proporcionalidade direta, baseada na exploração de regularidades, indicada por Silvestre (2006) e Ponte, Silvestre, Garcia e Costa (2010), pode dar continuidade ao trabalho iniciado nos primeiros anos de escolaridade. Deste modo são mobilizando alguns tópicos matemáticos em que esta relação está presente, explorando a natureza multiplicativa da relação de proporcionalidade direta, ampliando as experiências dos alunos nos diferentes tipos de problemas e diferentes representa- ções. Assim, o trabalho com regularidades e relações representa uma orientação para desenvolver os diferentes aspetos do raciocínio proporcional, em particular o sentido de covariação e de invariância, ao mesmo tempo que contribui para o desenvolvimento da capacidade de generalização dos alunos.
Não menos importante que as orientações referidas anteriormente, para desen- volver o raciocínio proporcional dos alunos, é o conhecimento aprofundamento dos pro- fessores sobre os aspetos que envolvem esta capacidade e como a desenvolver, sobre os tipos de problemas de proporcionalidade direta e sobre as estratégias e dificuldade dos alunos (Lamon, 1999; Spinillo, 1997). Em particular, precisam de compreender as dife- renças entre as estratégias aditivas e multiplicativas e que significam em termos de desenvolvimento do raciocínio proporcional (Sowder et al. 1998).
No presente estudo, com base na indicação de Ben-Chaim et al. (1998), que refe- re que os alunos devem ser encorajados a desenvolver o seu próprio conhecimento con- ceptual e dos procedimentos quando resolvem problemas, a construção da unidade da unidade de ensino e seu desenvolvimento, procura desenvolver nos alunos a compreen- são de que a relação de proporcionalidade direta tem uma natureza multiplicativa. Deste modo, os alunos podem melhorar a sua capacidade de distinguir esta relação de outras que não o são e desenvolver as estratégias multiplicativas com compreensão, mobili- zando o seu conhecimento intuitivo que envolve os procedimentos aditivos e multiplica- tivos (dobro, triplo e metade). Um desenvolvimento, sem criar um fosso entre as estra-
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tégias intuitivas e as estratégias multiplicativas, criando uma continuidade entre o que os alunos já sabem e que é esperado que aprendam. Se os alunos tiverem a oportunidade de comparar as estratégias de resolução de problemas, as suas próprias e a duas seus colegas, no âmbito da discussão das tarefas, podem ajudar à reflexão sobre a sofistica- ção das estratégias. É pois necessário tempo para que os alunos desenvolvem o seu raciocínio multiplicativo antes de se introduzir formalmente algoritmos (Van De Walle, 2007). Tal como defendem Ben-Chaim et al. (1998) os alunos devem ser encorajados a desenvolver o seu raciocínio proporcional estabelecendo conexões com a sua vida. Os alunos devem ter a oportunidade de desenvolver o raciocínio.
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