(a) Gradient de densité horizontale ∂ρ/∂x. (b) Gradient de densité verticale ∂ρ/∂y.
Figure A.4: Correlations pour un point de référence dans la couche de mélange. de l’interaction.
Lorsque le point d’interrogation est près du point de décollement, les deux ré-sultats produits par les gradients verticaux et horizontaux de densité indiquent que le choc est corrélé avec la couche de mélange. Les battements horizontaux du choc imposent donc un mouvement vertical de la couche de cisaillement. Enfin, lorsque le point d’interrogation est loin du point de séparation, les corrélations sur le choc diminuent en faveur de l’apparition de certaines structures circulaires symétriques par rapport au point d’interrogation. Ce résultat indique la présence des struc-tures tourbillonnaires dans la couche de mélange, lesquelles sont associées grâce aux mesures de pression à la paroi à des fluctuations à moyenne fréquence de la zone cisaillée.
A.3 Approche numérique
Un modèle de type RANS a été choisi pour les simulations numériques et l’analyse de stabilité. L’hypothèse sur laquelle l’étude numérique s’appuie est que les deux phénomènes instationnaires observés expérimentalement sont caractérisés par des fréquences inférieures aux fréquences typiques des structures qui caractérisent les effets de la turbulence. Cette hypothèse de séparation d’échelle de fréquence permet de modéliser l’impact des petites structures sur les plus larges à travers une viscosité turbulente µt.
Simulation numérique
Des calculs de type RANS avec un modèle de Spalart-Allmaras ont permis de simuler l’écoulement dans un domaine qui reproduit l’intégralité de la veine d’essai utilisée pour l’étude expérimentale.
Figure A.5: Composante horizontale de la vitesse. Ligne sonique en pointillée. Le résultat, présenté en figure A.5, est en accord avec les mesures PIV mais indique que l’écoulement est stationnaire : l’intégration en temps des équations n’est pas capable de reproduire les mouvements à basse fréquence de battement du choc ansi que les fluctuations observées expérimentalement dans la zone cisaillée.
Décomposition en modes globaux
Le résultat de la simulation RANS est ensuite considéré comme champ de base pour une analyse de stabilité : grâce à une linéarisation des équations on obtient la matrice Jacobienne, qui est donnée par :
J = ∂R ∂w w=w0 (A.1) où w0 est le vecteur qui représente le champ de base, solution des équations RANS. À partir de cette matrice nous considérons le problème aux valeurs propres :
J ˆw = λ ˆw (A.2)
Si au moins une des valeurs propres λ présente un taux d’amplification σ positif, alors l’écoulement est instable. Le spectre obtenu est représenté en figure A.6, où l’on peut observer que les valeurs propres de la matrice Jacobienne sont complètement stables : les instationnarités ne peuvent pas être liées à un mode global instable.
Toutes les valeurs propre à basses fréquences ont une partie réelle faible, et aucun mode ne peut être observé à la fréquence caractéristique du battement du choc. Parmi les valeurs propres stables à moyenne fréquence, certaines sont très proches de l’axe imaginaire : les modes globaux associés, représentés en figure A.7, sont des modes acoustiques, liés aux résonances du tuyau et non pas à la dynamique de la zone décollée.
A.3. APPROCHE NUMÉRIQUE 121
Figure A.6: Valeurs propres.
(a) Mode stable à f = 1290 Hz.
(b) Mode stable à f = 2340 Hz.
(c) Mode stable à f = 3500 Hz.
Figure A.7: Modes globaux stables.
Le Résolvant Global
Vu l’absence de modes globaux instables, la dynamique de l’interaction est de type amplificateur de bruit. Pour décrire le mécanisme de sélection de fréquences nous considérons le Résolvant Global, qui est définit par
R = (iωI − J)−1 (A.3)
où J est la matrice Jacobienne et I est la matrice identité. Le Résolvant Global existe pour chaque fréquence ω, car toutes les valeurs propres de J sont à partie réelle négative, et met en relation la réponse de l’écoulement ˆwquand il est soumis à un forçage externe ˆf à travers ˆw = Rˆf. Grâce à une décomposition en valeurs singulières de la matrice R on peut calculer le forçage (dit optimal), à une certaine fréquence, qui produit la réponse la plus énergétique de l’écoulement. En faisant cette opération pour toutes les fréquences ω on obtient la courbe de gain G(ω), qui représente le ratio entre l’énergie de la réponse obtenue par un forçage optimal et le forçage lui-même.
L’évolution en fréquence de la courbe de gain, donnée par la valeur propre la plus énergétique λ1 du Résolvant Global, est montrée en figure A.8. Cette courbe indique que l’interaction est très sensible aux basses fréquences, caractéristiques du battement du choc, et aux moyennes fréquences, caractéristiques des fluctuations de la couche de mélange.
(a) Fonction de gain, échelle logarithmique. (b) Gain premultiplié.
Figure A.8: Valeurs propres du Résolvant Global. Chaque λi représente le gain quand l’écoulement est forcé, à la fréquence f, avec un forçage optimal.
La figure A.8b montre le gain premultiplié, où l’on peut observer que la réponse la plus énergétique pour un forçage optimal à basse fréquence est obtenue pour f = 50 Hz. Cette réponse est représentée en figure A.9.
Figure A.9: Réponse optimale à fréquence f = 50 Hz.
La réponse est concentrée uniquement sur le choc, et indique qu’un forçage à basse fréquence est capable d’activer une réponse de l’écoulement qui est sur le choc. On peut observer des similarités entre la réponse optimale et le mode de Fourier obtenu expérimentalement à partir des images de strioscopie, représenté en figure A.3.
La figure A.10 montre la réponse obtenue quand l’écoulement est forcé à travers un forçage optimal à 4000 Hz, fréquence pour laquelle la courbe de gain de la figure A.8b est maximale.
La réponse n’est pas dans le choc comme dans le cas à basse fréquence, mais est plutôt concentrée dans la zone cisaillée, avec des structures circulaires périodiques qui commencent à partir du point de décollement. Un comportement similaire a déjà