3.3.1 cas simple : deux atomes dans le vide
Pour aller au-del`a des faibles non-lin´earit´es, les m´ethodes bas´ees sur les ´equations de
type Bloch-optique semblaient bien adapt´ees. L’id´ee ´etait la suivante : traiter de mani`ere
non-lin´eaire la propagation du laser incident dans le milieu atomique, puis d’en d´eduire `a
l’aide des ´equations de Bloch-optique les susceptibilit´es non-lin´eaires. De l`a, on d´eduit
l’in-dice effectif du milieu pour les champs multiplement diffus´es. En fait cette approche s’est
r´ev´el´ee insuffisante notamment parce que de cette fa¸con on n’obtient que les susceptibilit´es
`a la fr´equence du laser incident. Or, des atomes dont la transition atomique est satur´ee
´emettent ´egalement un spectre in´elastique (triplet de Mollow), qui se propage ´egalement
dans le milieu. La bonne approche consiste `a travailler, non plus avec les ´equations de
Bloch-optique, mais avec les ´equations de Langevin qui d´ecrivent enti`erement les op´erateurs
ato-miques coupl´es `a la fois aux champs incidents et aux fluctuations quantiques (les ´equations
de Bloch-optique ´etant d´eduites des ´equations de Langevin par moyennage sur les
fluctua-tions quantiques). On obtient ainsi facilement `a la fois la r´eponse atomique `a toutes les
fr´equences et les parties in´elastiques du spectre.
Une autre difficult´e est survenue quand on a voulu comparer, dans le cas de deux atomes
sans milieu, les r´esultats donn´es par les ´equations de bloch-optique `a deux atomes et ceux
donn´es par l’approche Langevin. Dans l’hypoth`ese de milieu dilu´e (distance entre atomes
tr`es grande devant la longueur d’onde optique), l’approche na¨ıve consisterait `a supposer
que les fluctuations quantiques pour chaque atome sont totalement d´ecorr´el´ees. En fait,
mˆeme si ces corr´elations sont tr`es faibles, de l’ordre de 1/kd, o`u d est la distance entre
les deux atomes) elles sont du mˆeme ordre de grandeur que le champ rayonn´e par un
atome vers l’autre. Elles ne peuvent donc pas ˆetre n´eglig´ees. Plus pr´ecis´ement, j’ai montr´e
comment les prendre en compte de mani`ere exacte pour retrouver les r´esultats donn´es par
les ´equations de Bloch-optique
6dans le cas d’une transition J
g= 0 → J
e= 1. Une grande
diff´erence avec le cas lin´eaire tient donc dans le fait que, mˆeme en milieu dilu´e, on ne peut
plus consid´erer les atomes individuellement pour calculer le champ et l’intensit´e diffus´es :
du fait des non-lin´earit´es, il s’´etablit des corr´elations quantiques entre les atomes.
Avec cette m´ethode, on a ainsi pu mettre en ´evidence le rˆole fondamental jou´e par le
spectre in´elastique (voir figure 3.5). Les courbes montrent le spectre in´elastique (triplet de
Mollow) de l’intensit´e rayonn´ee collectivement par les deux atomes. La courbe noire
corres-pond `a la partie isotrope (Ladder term), tandis que la courbe rouge correscorres-pond `a la partie
d´ependant de l’angle entre la direction d’observation et celle du laser incident (Crossed
term). Cette derni`ere est `a l’origine de l’augmentation d’intensit´e dans la direction arri`ere :
la r´etrodiffusion coh´erente. La fr´equence du laser correspond `a ∆ = 0 et les pointill´es vert
d´enotent la fr´equence de r´esonance de la transition. Les quatre figures correspondent aux
s = 2, δ = 0, c) s = 0.02, δ = 5Γ et d) s = 50, δ = 0. Si l’on compare a) et c),
pour lesquels la valeur de la saturation est la mˆeme, on voit imm´ediatement que le spectre
in´elastique est domin´e par les photons ´emis `a la fr´equence de la r´esonance atomique et que
la sym´etrie du triplet de Mollow ´emis par un atome unique est profond´ement modifi´ee. On
comprend bien dans ce cas que la partie in´elastique du terme Crossed va ˆetre bien plus
faible que celle du terme Ladder. Il s’ensuit que le facteur de sur-intensit´e dans la direction
arri`ere est nettement diminu´e dans le cas c) : 1.67 au lieu du facteur 2.
3.3.2 Cas d’un milieu atomique
Le but ultime serait de combiner les effets non-lin´eaires atomiques (incluant les effets
in´elastiques et les corr´elations quantiques) dans les m´ethodes diagrammatiques d´evelopp´ees
plus haut. Ce travail est toujours en cours, la difficult´e principale venant en fait des
corr´elations quantiques. N´eanmoins, si on se limite `a des diffuseurs “classiques” (i.e. pour
lesquels on n´eglige les effets quantiques en ne prenant en compte que la partie ´elastique), on
a pu ´etendre les m´ethodes diagrammatiques `a la fois pour une non-lin´earit´e arbitrairement
grande (i.e., incluant tous les ordres χ
(n)) et pour un nombre quelconque d’´ev`enements
non-lin´eaires. L’id´ee est que dans le r´egime de localisation faible, d’une part, on peut
toujours s´eparer les ´ev`enements de diffusion et la propagation et, d’autre part, les effets
d’interf´erences restent des corrections par rapport `a l’intensit´e moyenne dans le milieu.
Dans ce cas, le calcul du cˆone de r´etrodiffusion coh´erente se fait en deux ´etapes.
Dans un premier temps, on ´ecrit une th´eorie du transport radiatif non-lin´eaire,
c’est-`a-dire d´ecrivant l’intensit´e lumineuse, moyenn´ee sur le d´esordre, `a l’int´erieur d’un nuage
de diffuseurs non-lin´eaires. Dans cette approche, la description du milieu se fait `a l’aide
de grandeurs locales (libre parcours moyen, section efficace de diffusion) qui d´ependent
de mani`ere non-lin´eaire de l’intensit´e. Comme en chaque point, le champ est simplement
la somme du champ entrant et de tout ce qui est rayonn´e par le reste du milieu, on se
ram`ene ainsi `a une description auto-consistante de l’intensit´e en chaque point. Un point
important est de tenir compte proprement du caract`ere al´eatoire du champ diffus´e,
c’est-`a-dire que localement, il pr´esente des fluctuations gaussienne caract´eristiques d’un speckle.
Par exemple, comme le libre parcours moyen ℓ(I) en un point d´epend de mani`ere
non-lin´eaire l’intensit´e I en ce point, la valeur moyenne (i.e. sur les diff´erentes r´ealisations
du speckle) du libre parcours moyen hℓ(I)i en ce point est tr`es diff´erente de la valeur
ℓ(hIi). En pratique, on obtient alors un syst`eme d’´equations non-lin´eaires coupl´ees pour
l’intensit´e coh´erente et l’intensit´e diffuse en chaque point du milieu. La figure 3.6 montre
la comparaison entre cette th´eorie effective et le r´esultat des simulations de type
brute-force (i.e. calcul du champ pour chaque configuration al´eatoire des diffuseurs et moyennage
sur diff´erentes configurations). La situation (figure de gauche) correspond `a un nuage de
diffuseurs ´eclair´es par une onde plane et la figure de droite montre diff´erentes quantit´es
calcul´ees dans le milieu le long de l’axe du nuage (-1 correspond `a la face d’entr´ee et
−10 −5 0 5 10
∆/Γ
0
1
2
Γ
I
inel(
∆
)/(L+C)
−2 −1 0 1 2
∆/Γ
0.0
0.1
0.2
Γ
I
inel(
∆
)/(L+C)
−10 −5 0 5 10
∆/Γ
0
1
Γ
I
inel(
∆
)/(L+C)
−4 −2 0 2 4
∆/Γ
0
1
2
3
Γ
I
inel(
∆
)/(L+C)
a) b)
c) d)
Fig. 3.5 – Les courbes montrent le spectre in´elastique (triplet de Mollow) de l’intensit´e
rayonn´ee collectivement par les deux atomes. La courbe noire correspond `a la partie isotrope
(Ladder term), tandis que la courbe rouge correspond `a la partie d´ependant de l’angle entre
la direction d’observation et celle du laser incident (Crossed term). Cette derni`ere est `a
l’origine de l’augmentation d’intensit´e dans la direction arri`ere : la r´etrodiffusion coh´erente.
La fr´equence du laser correspond `a ∆ = 0 et les pointill´es vert d´enotent la fr´equence de
r´esonance de la transition. Les quatre figures correspondent aux valeurs suivantes de la
saturation et du d´esaccord : a) s = 0.02, δ = ω
L− ω
0= 0, b) s = 2, δ = 0, c)
s = 0.02, δ = 5Γ et d) s = 50, δ = 0. Si l’on compare a) et c), pour lesquels la valeur
de la saturation est la mˆeme, on voit imm´ediatement que le spectre in´elastique est domin´e
par les photons ´emis `a la fr´equence de la r´esonance atomique et que la sym´etrie du triplet
de Mollow ´emis par un atome unique est profond´ement modifi´ee. On comprend bien dans
ce cas que la partie in´elastique du terme Crossed va ˆetre bien plus faible que celle du terme
Ladder. Il s’ensuit que le facteur de sur-intensit´e dans la direction arri`ere est nettement
diminu´e dans le cas c) : 1.67 au lieu du facteur 2.
z L k −1 −0.5 0 0.5 1 z/l0 0 0.5 1 Ic(z) theory Ic(z)+Id(z) theory Ic(z)+Id(z) num. Ic(z) num.
Fig. 3.6 – Comparaison entre la th´eorie effective et le r´esultat des simulations de type
brute-force (i.e. calcul du champ pour chaque configuration al´eatoire des diffuseurs et
moyennage sur diff´erentes configurations). La situation (figure de gauche) correspond `a un
nuage de diffuseurs ´eclair´es par une onde plane et la figure de droite montre diff´erentes
quantit´es calcul´ees dans le milieu le long de l’axe du nuage (-1 correspond `a la face d’entr´ee
et +1 `a la face de sortie). Le param`etre de saturation est 0.5. Les courbes continues verte
et bleue correspondent aux simulations num´eriques (1500 diffuseurs, 5000 configurations
diff´erentes). La courbe bleue est l’intensit´e coh´erente (| < E > |
2) tandis que la courbe
verte est l’intensit´e totale (< |E|
2>). Les courbes noires et rouges sont le r´esultat de la
th´eorie auto-consistante. On voit que l’accord est tr`es bon, alors que l’on est d´ej`a dans
un r´egime fortement non-perturbatif (le r´esultat lin´eaire est donn´e par les courbes tiret´ees
bleues et vertes). Les courbes tiret´ees court noires et rouges montrent les mˆemes r´esultats
si on n’avait pas pris en compte le caract`ere al´eatoire du champ local.
−0.5 0 0.5
θ
ar/π
0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 −0.5 0 0.5 0.60 0.80 1.00 −0.5 0 0.5 0.35 0.40 0.45 0.50 −0.5 0 0.5 0.50 0.60 0.70α=0 α=0.2
α=0.4 α=0.6
bistatic coefficient
γ
Fig. 3.7 – Cˆones de r´etrodiffusion non-lin´eaire obtenus par calcul num´erique exact
com-par´es `a la th´eorie effective pour diff´erentes valeurs de la non-lin´earit´e α. La ligne pleine
donne les r´esultats exacts, la ligne tiret´ee donne l’intensit´e moyenne “Ladder” rayonn´ee
dans la direction θ (θ = 0 correspondant `a la direction de r´etrodiffusion). La ligne ligne
pointill´ee donne l’intensit´e totale dans la direction arri`ere (i.e. “Ladder”+”Crossed”). La
courbe suppl´ementaire pour α = 0.2 correspond `a l’intensit´e moyenne obtenue sans prendre
en compte le caract`ere al´eatoire (i.e. du speckle) du champ diffus.
diff´erentes). La courbe bleue est l’intensit´e coh´erente (| < E > |
2) tandis que la courbe
verte est l’intensit´e totale (< |E|
2>). Les courbes noires et rouges sont le r´esultat de la
th´eorie auto-consistante. On voit que l’accord est tr`es bon, alors que l’on est d´ej`a dans
un r´egime fortement non-perturbatif (le r´esultat lin´eaire est donn´e par les courbes tiret´ees
bleues et vertes). Les courbes tiret´ees court noires et rouges montrent les mˆemes r´esultats
si on n’avait pas pris en compte le caract`ere al´eatoire du champ local. L’effet est important,
ce qui renforce la solidit´e de notre description effective.
Dans un deuxi`eme temps, on peut calculer les corrections de localisation faible `a cette
intensit´e moyenne. Du fait du caract`ere non-lin´eaire du milieu, il y a un plus grand nombre
de blocs ´el´ementaires permettant de calculer les termes du type “crossed”. De plus, on a
pu montrer que l’on ne peut pas enchaˆıner ces blocs de mani`ere arbitraire, certaines
com-binaisons sont interdites car ne correspondant pas `a des processus physiques
7. Le r´esultat
est montr´e par la figure 3.7.
En conclusion, il faut noter que l’approche d´evelopp´ee ne s’applique pas seulement au
cas des diffuseurs ponctuels non-lin´eaires, mais aussi au cas de diffuseurs lin´eaires dans
un milieu homog`ene non-lin´eaire et ´egalement aux ondes de mati`eres dans des potentiels
d´esordonn´es. Dans ce dernier cas, l’interaction entre atomes, dans une approche type champ
moyen (´equation de Gross-Pitaesvskii), donne lieu `a un terme non-lin´eaire.
Dans le document
Transport quantique dans les systèmes complexes
(Page 66-71)