Approche de la modélisation

La finesse de la physique et l’ensemble des outils mathématiques, inclus dans la modélisation vont dépendre de la précision voulue ainsi que du temps de calcul souhaité. Ainsi, la modélisation d’un matériau, d’une zone de transistor, de l’intégralité d’un transistor, ou encore la modélisation d’un circuit ne requièrent pas les mêmes outils numériques et les

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mêmes connaissances physiques. En effet, les phénomènes physiques à prendre en compte ne sont pas les mêmes. Dans le cas présent, nous aborderons uniquement l’approche unicellulaire des 3 puces IGBTs (figure II.21), ce qui veut dire que seuls les phénomènes physiques intrinsèques aux régions semi-conductrices de la puce nous intéressent.

Figure II.21 : Exemple d’une structure unicellulaire2D d'une puce IGBT pour la modélisation. La stratégie de modélisation adoptée s’inscrit dans une approche multi-échelle/multi-physique, illustrée en figure.II.22. Donc, ce qui nous importe le plus, ce sont les équations de transport de charges et les équations qui régissent l’aspect thermique ainsi que les méthodes numériques associées que nous serons amenées à exploiter par l’intermédiaire du logiciel TCAD SENTAURUS.

Figure II.22 : Approche multi-physique/multi-échelle pour la modélisation

Modèle de Dérive Diffusion (équation de transports, de continuité, poisson) Modèle thermodynamique (équation dit de température « lattice temperature »)

Modèle compact

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II.2.1.2 Modèle de dérive-diffusion

L’équation de Boltzmann joue un rôle majeur dans la compréhension théorique des “phénomènes de transport”, c’est à dire de la réponse d’un système maintenu dans des conditions extérieures de déséquilibre (différence de potentiel, de température, de concentration ou vitesse, imposées entre deux points). Son développement est très bien détaillé par [89]. L’équation de Boltzmann est particulièrement complexe à résoudre dans son intégralité. En outre, la modélisation des dispositifs électroniques ne nécessite généralement pas une description détaillée des mécanismes microscopiques du transport [90] [91]. De fait, des modèles ont été élaborés en tenant compte de nombreuses approximations sur certains termes de l’équation de Boltzmann. Ces modèles permettent une souplesse d’utilisation ainsi qu’une réduction significative du temps de calcul.

Nous rappelons succinctement, dans ce paragraphe, le modèle de Dérive-Diffusion qui peut être déduit de l’équation de Boltzmann par la méthode des moments. Le modèle de Dérive-Diffusion s’exprime par les équations suivantes :

 Equations de densité de courant ⃗ :

⃑⃑⃑⃗ | | ⃑⃑⃑⃑⃗ | | ⃑⃗ (Eq. II.1) ⃑⃑⃑⃗ | | ⃑⃑⃑⃑⃗ | | ^⃑⃑⃑⃗ (Eq. II.2) | | | | (Eq. II.3)

Les indices et sont respectivement associés aux trous et aux électrons. représente la constante de diffusion. correspond à la mobilité des trous et des électrons. La mobilité effective lie la vitesse de dérive , qui correspond à la vitesse moyenne des porteurs de charge, avec le champ électrique = µE. Dans les expressions du modèle de dérive diffusion, elle se rattache au modèle de Drude [77].

 Equations de continuité :

| | ⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃗ ^{(Eq. II.4)} | | ⃑⃑⃗ ⃑⃑⃑⃗ ^{(Eq. II.5)}

Les indices n et p sont respectivement associés aux électrons et trous. et représentent la densité des électrons et des trous. est liée aux taux de génération et recombinaison de paires électron-trou (modèle SRH-Auger). Il est à préciser que les mobilités

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des porteurs et dépendent également de la concentratation des porteurs respectifs et de la température. Ainsi, l’ensemble des équations précédentes est couplé à l’équation de poisson :

( | ⃑⃗|) | | (Eq. II.6) En conclusion le modèle dérive diffusion utilisé pour la modélisation sous le logiciel TCAD-SENTAURUS, est un système d’équations regroupant l’approximation de l’équation de Boltzmann, et de l’équation de Poisson. Nous avons utilisé différents modèles électrothermiques aussi bien pour la simulation en statique qu’en dynamique (annexe B).

II.2.1.3 Maillage de la géométrie

Dans une simulation par éléments finis, la structure est modélisée par un maillage, dont la définition s'appuie sur deux objets géométriques. Le premier est un découpage du domaine géométrique occupé par la structure en sous-domaines de formes simples. Ces sous-domaines sont tridimensionnels (volumes), bidimensionnels (surfaces) ou unidimensionnels (lignes), selon la théorie dans laquelle on se place (par exemple, phénomène thermique 3D, ce sont des volumes, phénomènes électriques, il s'agit de surfaces ou de lignes). Dans notre cas, le maillage sera uniquement bidimensionnel. Le deuxième objet est une liste de points particuliers, situés aux sommets des sous-domaines ainsi que, quelques fois, au milieu de leurs arêtes : les nœuds (figure II.23).

Figure II.23 : Deux maillages plans avec leurs nœuds.

Un sous-domaine muni de ses nœuds et de leurs fonctions de base s'appelle un élément fini, ou simplement élément ; les éléments sont les "briques" à l'aide desquelles on modélise le produit. En pratique, les logiciels de simulation possèdent des bibliothèques d'éléments dans lesquelles l'utilisateur peut piocher, qui se distinguent notamment par leurs topologies et le nombre de leurs nœuds (figure II.24) ; l'utilisateur peut généralement spécifier la forme des éléments en positionnant leurs nœuds afin de s'adapter à la géométrie à modéliser, et le logiciel adapte automatiquement la définition des fonctions de base de façon transparente pour l'utilisateur.

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Figure II.24 : Quelques types d'éléments bidimensionnels courants.

Le maillage est ainsi constitué d'un nuage de nœuds, ainsi que d'éléments s'appuyant sur ces nœuds ; la plupart des logiciels peuvent assister l'utilisateur en construisant automatiquement un maillage à partir d'un domaine géométrique, issu par exemple d'un fichier smesh. Il faut pour cela leur indiquer le type et la taille des éléments, ce qui nécessite de bien comprendre l'influence de ces paramètres. Schématiquement, le maillage joue deux rôles essentiels dans la simulation.

Premièrement, il détermine le modèle géométrique de la structure, obtenu en réunissant les différents sous-domaines. Deuxièmement, il détermine également la résolution spatiale de la structure, et donc de la précision du résultat, par l'intermédiaire des fonctions de base. Avec un maillage très fin de la structure, nous aurons un résultat plus proche de la réalité, mais la résolution sera très longue. A l’inverse un maillage relâché aura comme conséquence un résultat approximatif, mais une résolution rapide. Ainsi, le maillage influe fortement sur la pertinence des résultats et doit donc être réalisé avec soin.

II.2.1.4 Calcul

Pour utiliser un logiciel de simulation par éléments finis, il faut modéliser la structure (c'est-à-dire réaliser un maillage) et l'action de son environnement (c'est-à-dire lui appliquer des efforts extérieurs et des déplacements imposés). Il faut également choisir un modèle du comportement électrique du matériau, et l'attribuer aux éléments du maillage. A partir de ces modèles, le logiciel effectue ensuite un calcul qui se décompose en trois étapes:

1. Le logiciel construit un système d'équations, correspondant aux équations d'équilibre des nœuds et aux déplacements nodaux imposés, en exploitant les données des modèles : c'est le prétraitement

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2. Le logiciel résout ce système d'équations en adéquation avec la résolution spatiale de la structure.

3. Le logiciel reconstruit alors les résultats qui lui sont demandés (il s'agit par exemple du champ électrique, potentiel électrique…) et, le cas échéant, les traite afin de les tracer à l'écran : c'est le post-traitement.

Le calcul est automatisé et s'effectue sans intervention de l'utilisateur ; il est cependant nécessaire de connaître son fonctionnement pour deux raisons. Premièrement, la théorie qui le sous-tend repose sur des hypothèses qui introduisent des restrictions supplémentaires sur les modèles : par exemple, le mode de calcul des intégrales sur les éléments n'est valable qu'à certaines conditions sur la forme de ceux-ci, et le non-respect de ces conditions entraîne au mieux un message d'erreur, au pire des résultats faux.

Deuxièmement, le post-traitement (la dernière étape) peut parfois altérer les résultats de façon significative, en masquant certaines anomalies caractéristiques ; or, ces anomalies sont justement un symptôme d'une modélisation non pertinente (mauvais maillage), et le fait de les masquer peut compliquer singulièrement l'analyse critique des résultats, sans pour autant rendre ceux-ci plus représentatifs de la réalité.