Approche bayésienne pour un processus auto-excité

Un processus auto-excité est un processus qui dépend d’une intensité. Aﬁn d’appliquer

l’ap-proche bayésienne sur les PAE, on considère l’intensité du processus pour trouver la densité du

processus considéré. On peut considérer cette densité comme étant une distribution

d’échan-tillonnagef(X|θ). En choisissant une distributiona priorisurθ,π(θ), et en utilisant les travaux

de Robert [62], il s’avère que le point le plus critique et le plus critiquable de l’analyse

bayé-sienne est le choix de la loi a priori. Une fois cette loi a priori connue, l’inférence peut être

conduite en minimisant le coût a posteriori, en calculant les régions de plus forte densité a

posterioriou en intégrant les paramètres pour obtenir la distribution prédictive.

Ainsi, une fois la loia prioridéﬁnie, on peut déterminer la distribution jointe, la distribution

marginale, la distributiona posteriori et la distribution prédictive. Les paramètres sont ensuite

estimés.

Exemple II.4. –

Insua et al. [69] supposent qu’un nouveau pneumatique de vélo suit un processus de Poisson

homogène de paramètres λ, puisqu’il est supposé ne pas se détériorer pendant un intervalle de

temps[0, T]. Nous supposons de plus que les perforations se produisent de façon aléatoire. Alors,

à chaque événement, w

, i= 1, . . . , n, lorsque une crevaison se produit dans l’intervalle [0, T],

il est réparé mais celui-ci peut être plus enclins à de nouvelles crevaisons du fait de l’usure. On

ajoute alors µ

au paramètre du processus de Poisson homogène λ. On obtient un exemple très

II.5 Analyse bayésienne des processus stochastiques

simple d’un processus auto-excité, où sa fonction de vraisemblance est donnée par :

Y

i=1



λ+

ⁱ

X

⁻¹ j=1

µ



e

⁻^λT

^P

ⁿi=1−µi(T−wi)

.

On considère la loi gamma comme une loi a priori pourλ etµ

, et la loi a posteriori correspond

à une loi conditionnelle par rapport à tous les paramètres et elle appartient à la famille de la

loi gamma.

Chapitre III

Processus de Mino

Ce chapitre a pour objet l’étude d’un processus auto-excité, dont l’intensité dépend

d’une fonction réponse particulière. On s’intéresse au problème de l’estimation des

paramètres. La méthode du maximum de vraisemblance est utilisée et la qualité des

estimations est étudiée sur des données simulées.

1 Introduction

En 2001, Hiroyuki Mino [19] a considéré une intensité d’un processus ponctuel auto-excité

qui dépend seulement du dernier événement, i.e un processus auto-excité de mémoire 1. Il

a estimé les paramètres de cette intensité en utilisant l’algorithme EM par la méthode du

maximum de vraisemblance.

2 Définition

Le processus de Mino est le processus ponctuel auto-excité (PAE)_{N(t), t≥⁰}^{de mémoire}

1 [19] dont l’intensité est déﬁnie par :

oùh(t) est la fonction :

h(t) = 1 +αe

⁻^βt

, t≥⁰. (III.2)

On a donc :

λ(t) = µ1 +αe

⁻^β⁽^t⁻^wN(t))

, avec µ >0 , α≥ −^{1 et} β ≥⁰. (III.3)

Supposons que l’on observe les sauts du processus dans une fenêtre de longueurT.

Soit w

N(t)

la date du N(t)

`eme

saut.

Ainsi, on a :

pourt∈[0, w

₁

],λ(t) =µ(1 +αe

−βt

),

pourt∈^]w

, w

], λ(t) = µ1 +αe

−β(t−w1)

,

...

pourt∈^]w

i−1

, w

i],

λ(t) =µ1 +αe

−β(t−wi₋1)

,

...

et pour t∈^]w

N(T)

, T], λ(t) =µ1 +αe

⁻^β⁽^t⁻^wN(T))

.

Remarques :

• Siα = 0, λ(t) = µet on a un processus de Poisson homogène.

• ^Siα >0, λ(t) est croissant et on dit que le processus est excité.

• ^Si−¹≤α <0,λ(t) est décroissant et on dit que le processus est inhibé.

Les ﬁgures III.1 et III.2 donnent des représentations de l’intensité pour diﬀérentes valeurs de

µ, α, β. Ces représentations sont obtenues à partir de simulations de w

, . . . , w

N(T)

, dates de

sauts d’occurrence du processus.

III.2 Définition

Figure III.1– Représentation de l’intensité d’un processus excité :α = 1,µ= 100,β = 250

et T = 0.1 ms

Figure III.2– Représentation de l’intensité d’un processus inhibé : α = ₋0.5, µ = 100,

β = 250 et T = 0.1 ms

Proposition III.1. – Soit un PAE de mémoire 1, d’intensité (III.3) observée du processus

dans une fenêtre [0, C]. Alors les interarrivées T

, i= 1, . . . , N(C) sont des variables aléatoires

indépendantes identiquement distribuées de loi :

P r(T

> t) = expn

−µ^ht+^α

β

1₋e

⁻^βt

^io. (III.4)

Preuve : D’après le théorème 6.3.4, p. 314, de Snyder & Miller [20] on a :

La probabilité de survie des interarrivées peut s’écrire :

P r[t

≥T

|t

=T

, . . . , t

n−1

=T

n−1

]

= P

_w_n_|_w₁_,...,w_n₋₁

(T

₁

+_{· · ·}+T

|T

₁

, T +T

₂

, . . . , T

₁

+T

₂

+_{· · ·}+T

_n₋₁

).

Comme on a un processus de mémoire 1, d’après le théorème 6.3.3, p. 313 de Snyder & Miller

[20], on obtient :

P r[t

≥T

|t

₁

=T

₁

, . . . , t

_n₋₁

=T

_n₋₁

] = P

_w_n_|_w_n₋₁

(T

₁

+. . .+T

|T

₁

+. . .+T

_n₋₁

)

= exp

"

−

Z

T1+...+Tn T1+...+Tn−1

λ(µ, n−^1;T

+. . .+T

n−1

)dµ

#

.

D’aprés (III.5) et le théorème 6.3.3, p. 313, de Snyder & Miller [20], on obtient :

P r[t

≥T

|t

=T

, . . . , t

n−1

=T

n−1

] =exp

"

−

Z

Tn 0

f(n−¹, λ)dλ

#

,

et donc

P r[t

≥T

|t

₁

=T

₁

, . . . , t

_n₋₁

=T

_n₋₁

] =P r[t

≥T

.

On en conclut que les interarrivées sont indépendantes.

On a :

P r(T

> t) = P(N[w

_i₋₁

, w

_i₋₁

+t] = 0).

Par déﬁnition, on a :

P(N(w

i−1

, w

i−1

+t) = 0) = exp₋^Z

^wⁱ⁺^t wi

λ(u)du

= exp

(

−

Z

wi−1+t wi₋1

µ(1 +αe

⁻^β⁽^u⁻^wi−1)

)du

)

= exp

(

−µ

t+ ^α

β

1₋e

⁻^βt

⁾

.

III.3 Simulation des interarrivées du processus de Mino

Proposition III.2. – Un processus de Mino est un processus auto-excité de mémoire 1 dont

la densité de la loi de probabilité desduréesinter−arrivÃ©es est :

f(t) =µ(1 +αe

⁻^βt

) exp

(

−µ

t+^α

β

1₋e

⁻^βt

⁾

. (III.6)

On se propose dans la suite d’étudier en détails cette loi.

3 Simulation des interarrivées du processus de Mino

Pour simuler les dates de saut du processus, on propose de simuler les interarrivées. On

utilise la méthode d’inversion dont on rappelle le principe ci-dessous.

La méthode d’inversion pour simuler les réalisations d’une variable aléatoire repose sur le

résultat suivant :

Proposition III.3. – Soit Y une variable aléatoire de loi F alors F(Y) est une variable

aléatoire de loi uniforme sur [0,1] et réciproquement.

Preuve :

Supposons Y de loi F et calculons la loi de F(Y). P r(F(Y) _≤ y) = P r(Y ≤ F

−1

(y)) =

F(F

−1

(y)) =y donc F(Y) est bien une loi uniforme sur [0,1]. Réciproquement, P r(Y ≤y) =

P r(F(Y)_≤F(y)) =F(y) si F(Y) suit une loi uniforme sur [0,1] donc Y est de loi F.

Ainsi, pour obtenir une réalisation de Y de loiF, il suﬃt de tirer u, un nombre entre [0,1]

et de calculer F

−1

(u). Dans notre situation, on ne peut calculer F

−1

de manière explicite et

F

−1

(u) est la solution en t de l’équation :

−^log(1_µ⁻^u⁾⁾⁺t+ ^α

β(1₋e

⁻^βt

) = 0, (III.7)

dont on peut approcher la solution par une méthode itérative.

On pose :

φ(t) = ^log^u

µ +t+ ^α

alors

φ

^′

(t) = 1 +αe

⁻^βt

≥⁰.

Doncφ(t) est croissante est strictement croissante pour tout α6⁼−^1.

De plus, φ(0) <0 et lim

t→+∞

φ(t) = +_∞, donc l’équation III.7 admet une solution unique. Pour

approcher cette solution, on peut appliquer le schéma itératif suivant : Partant d’un valeur

initialet

(0)

, tant que _||t

(p+1)

−t

(p)

||> ε, ε étant une valeur ﬁxée arbitrairement petite,

on détermine :

t

⁽^p⁺¹⁾

=t

⁽^p⁾

− ^φ⁽^t

(p)

)

φ

′

(t

(p)

)^.

En général, cet algorithme converge vite.

L’étape d’initialisation peut s’eﬀectuer en approximant 1₋e

−βt

par βt.

On résout l’équation :

logu

µ +t(1 +α) = 0,

on obtient :

t

(0)

=₋ ^log^u

µ(1 +α)^,

Pourα =₋1, on pourra prendre ₋^log^u

µ .

Alors pour simuler des réalisations d’une variable aléatoire de loi de Mino on utilise l’algorithme

1. Génération d’un variable aléatoire uniform U sur [0,1].

2. – si α6⁼−^1,t

=

−logU µ(1+α)

,

– sinon,t

=

−logU µ

.

3. On calcule :

– A

=

logU µ

+t

+

α β

(1₋e

−βti

),

– B

= 1 +αe

−βti

.

III.4 Loi de Mino

4. t

_i₊₁

Approche bayésienne pour un processus auto-excité

Un processus auto-excité est un processus qui dépend d’une intensité. Aﬁn d’appliquer

l’ap-proche bayésienne sur les PAE, on considère l’intensité du processus pour trouver la densité du

processus considéré. On peut considérer cette densité comme étant une distribution

d’échan-tillonnagef(X|θ). En choisissant une distributiona priorisurθ,π(θ), et en utilisant les travaux

de Robert [62], il s’avère que le point le plus critique et le plus critiquable de l’analyse

bayé-sienne est le choix de la loi a priori. Une fois cette loi a priori connue, l’inférence peut être

conduite en minimisant le coût a posteriori, en calculant les régions de plus forte densité a

posterioriou en intégrant les paramètres pour obtenir la distribution prédictive.

Ainsi, une fois la loia prioridéﬁnie, on peut déterminer la distribution jointe, la distribution

marginale, la distributiona posteriori et la distribution prédictive. Les paramètres sont ensuite

estimés.

Exemple II.4. –

Insua et al. [69] supposent qu’un nouveau pneumatique de vélo suit un processus de Poisson

homogène de paramètres λ, puisqu’il est supposé ne pas se détériorer pendant un intervalle de

temps[0, T]. Nous supposons de plus que les perforations se produisent de façon aléatoire. Alors,

à chaque événement, w

, i= 1, . . . , n, lorsque une crevaison se produit dans l’intervalle [0, T],

il est réparé mais celui-ci peut être plus enclins à de nouvelles crevaisons du fait de l’usure. On

ajoute alors µ

au paramètre du processus de Poisson homogène λ. On obtient un exemple très

II.5 Analyse bayésienne des processus stochastiques

simple d’un processus auto-excité, où sa fonction de vraisemblance est donnée par :

Y



λ+

X

µ



e

P

.

On considère la loi gamma comme une loi a priori pourλ etµ

, et la loi a posteriori correspond

à une loi conditionnelle par rapport à tous les paramètres et elle appartient à la famille de la

loi gamma.

Chapitre III

Processus de Mino

Ce chapitre a pour objet l’étude d’un processus auto-excité, dont l’intensité dépend

d’une fonction réponse particulière. On s’intéresse au problème de l’estimation des

paramètres. La méthode du maximum de vraisemblance est utilisée et la qualité des

estimations est étudiée sur des données simulées.

1 Introduction

En 2001, Hiroyuki Mino [19] a considéré une intensité d’un processus ponctuel auto-excité

qui dépend seulement du dernier événement, i.e un processus auto-excité de mémoire 1. Il

a estimé les paramètres de cette intensité en utilisant l’algorithme EM par la méthode du

maximum de vraisemblance.

2 Définition

Le processus de Mino est le processus ponctuel auto-excité (PAE){N(t), t≥0}de mémoire

1 [19] dont l’intensité est déﬁnie par :

oùh(t) est la fonction :

h(t) = 1 +αe

, t≥0. (III.2)

On a donc :

λ(t) = µ1 +αe

, avec µ >0 , α≥ −1 et β ≥0. (III.3)

Supposons que l’on observe les sauts du processus dans une fenêtre de longueurT.

Soit w

la date du N(t)

saut.

Ainsi, on a :

pourt∈[0, w

],λ(t) =µ(1 +αe

),

pourt∈]w

, w

], λ(t) = µ1 +αe

,

...

pourt∈]w

, w

λ(t) =µ1 +αe

,

...

et pour t∈]w

, T], λ(t) =µ1 +αe

.

Remarques :

• Siα = 0, λ(t) = µet on a un processus de Poisson homogène.

• Siα >0, λ(t) est croissant et on dit que le processus est excité.

^P

Le processus de Mino est le processus ponctuel auto-excité (PAE)_{N(t), t≥⁰}^{de mémoire}

, t≥⁰. (III.2)

, avec µ >0 , α≥ −^{1 et} β ≥⁰. (III.3)

pourt∈^]w

pourt∈^]w

et pour t∈^]w

• ^Siα >0, λ(t) est croissant et on dit que le processus est excité.

• ^Si−¹≤α <0,λ(t) est décroissant et on dit que le processus est inhibé.

Figure III.2– Représentation de l’intensité d’un processus inhibé : α = ₋0.5, µ = 100,

−µ^ht+^α

1₋e

^io. (III.4)

+_{· · ·}+T

+_{· · ·}+T

λ(µ, n−^1;T