d’apprentissage du chapitre 3

1 ( ) 2.

La fonction f n’est donc pas définie en 1 mais elle admet une limite finie en 1.

Graphiquement, on remarquera que le point de coordonnées (1 ; –2) n’appartient pas à la courbe représentant f  bien que l’on puisse penser le contraire.

Corrigé des exercices

d’apprentissage du chapitre 3

a) L’expression x

est un quotient donc on est amené à détermi-ner la limite du numérateur et du dénominateur. On a lim

x x Par quotient, on obtient ^lim

x fonction rationnelle x x

x x

− est un quotient dont le numérateur et le dénominateur

O

l’expression du quotient pour lever l’indétermination. Les trinômes de degré 2, x x²+ −x 2 et x 1−x² admettent tous les deux 1 pour racine, ils sont factorisables par x−1.

D’une part x²+ −x 2 a pour discriminant ∆ =9 et pour racines 1 et −2 d’où x²+ − = −x 2 (x 1)(x+2).

D’autre part 1−x²= −(1 x)(1+ = − −x) (x 1 1)( +x).

Finalement x x x sinx et de travailler par comparaison après s’être ramené à déterminer des limites de fonctions rationnelles.

Pour x∈

R

^, − ≤1 sinx ≤1 puis 3x²− ≤1 3x²+sinx ≤3x²+1. De plus, pour

donc par le théorème des gendarmes, lim x

f) L’expression 1 ² 3

2

−cos ( x) x

est un quotient dont on cherche la limite en 0. Le numérateur et le dénominateur tendant vers 0 en 0, on est amené à transformer l’expression. On sait que, pour tout a∈

^{, 1}−cos²a=sin²a numérateur et du dénominateur de cette nouvelle forme conduit à nouveau à une indétermination mais on sait que lim

X

puis, par composition avec Y x

=sin(x ) Finalement, par produit par 9, on obtient lim

x

La fonction f est une fonction polynomiale donc lim lim

x f x x x

→−∞( )= →−∞ ⁴ = +∞

et lim lim

x f x x x

→+∞( )= →+∞ ⁴= +∞ .

La recherche d’une fenêtre peut être facilitée dans un premier temps par l’uti-lisation de GeoGebra. Une fois cette recherche effectuée, on peut proposer par exemple la fenêtre ci-dessous avec le graphique correspondant.

Exercice 5

Réponse C qu’il s’agit ici d’une preuve mais, s’il n’y a pas de démonstration du résultat demandée, on peut s’appuyer sur une conjecture du résultat obtenue par exemple à la calculatrice ce qui peut permettre aussi de conclure.

  Réponse B remarquera ici qu’une conjecture du résultat à l’aide de la calculatrice nécessite de prendre des valeurs de x suffisamment grande pour ne pas proposer une conclusion erronée. numérateur ne s’annule pas. Il existe donc deux asymptotes verticales d’équation

x = −1 et x =1.

  Réponse D

S’il n’y a pas de démonstration du résultat demandé, on peut conjecturer le résultat à l’aide de la calculatrice. Pour une preuve, on remarque que

f x x x

d’où lim

x f x

→ =

0 ( ) 2 et en choisissant f ( )0 =2 on prolonge la définition de f à

R

en construisant une fonction continue en 0 ainsi qu'on le verra dans le chapitre suivant. composition avec X

=x1

composition avec X

=x1

 a) En s’appuyant sur la représentation graphique de f, il semble que :

▶ f soit définie sur

R

^{\ { }2  ;}

▶  Ꮿ_f admette une asymptote verticale d’équation x=2.

On peut éventuellement conjecturer la présence d’une autre asymptote, une asymptote oblique.

b) En complétant la graphique par le tracé de la droite ∆ la droite d’équation y= +x 3, il apparaît que Ꮿ_f semble en effet avoir une autre asymptote, à

O O

5 10 15

–5 –2 –4

–6 2 4 6 8 10

 La fonction f est une fonction rationnelle définie par

f x x x x

x x

( ) ( )( )

= − + − .

− +

2 5 2

2 9 10

2 2

Le dénominateur 2x²−9x+10 a pour discriminant ∆ =1 et pour racines 2 et 5

2 donc f est définie sur

privé de ces deux valeurs. La fonction f est donc définie sur D= −∞ ∪

 

∪ ∞

 

 +

; 2 2; 5 ;   .

2 5

2 On note que la conjecture émise à la question 1 était fausse.

Pour déterminer les limites en

−∞

^{et de} +∞, on remarque que pour tout x D∈ ,

f x x x x

x x

( )= − − + .

− +

2 3 9 10

2 9 10

3 2

2 On a alors lim lim lim

x f x x x x

x

→−∞( )= →−∞2 = →−∞x = −∞

2

3 2

et, de façon analogue on obtient lim lim

x f x x x

→+∞( )= →+∞ = +∞ .

Pour déterminer les limites en les zéros du dénominateur, on travaille par quotient en déterminant les limites du numérateur et du dénominateur.

On a lim

x x x x

→ − − + = − <

2

3 2

2 3 9 10 4 0 et lim

x x x

→ − + =

2

2 2 9 10 0 ainsi, pour conclure par quotient, il est nécessaire de préciser le signe du dénominateur au voisinage de 2.

x

−∞

^{2 5}

2 +∞

Signe de 2x²−9x+10 +

0

−

0

+

On peut donc préciser la limite du dénominateur en 2, à savoir

puis on obtient par quotient lim x

2 donc le numérateur et le dénominateur s’annulent en 5

2 . Le calcul des limites par quotient conduit donc à une indétermination que l’on va lever en transformant l’expression de f.

En remarquant que 2 9 10 2 2 5 cohérent avec les constations effectuées précédemment. C’est même une preuve du résultat. On peut donc affirmer que la droite ∆ est asymptote à Ꮿ_f en −∞

et en +∞ .

c) Les positions relatives de la courbe Ꮿ_f et de la droite ∆ sont données par le deux courbes ne se coupant pas.

On a lim

2 ( ) et, graphiquement, on peut en déduire la présence d’une asymptote verticale d’équation x =2.

Pour déterminer les limites en −∞ et en +∞  , on remarque que f est une fonction rationnelle que l’on peut écrire sous la forme f x x x

x x

résultats, on ne peut pas en déduire l’existence d’asymptote sans raisonnement supplémentaire.

Comme lim remarque que l’on aurait pu raisonner en écrivant

lim lim lim De façon analogue, on a lim

x d x

Graphiquement, d x( ) représentant l’écart géométrique entre la courbe Ꮿ_f et la droite ∆, il apparaît que la distance mesurée verticalement entre les deux courbes est inférieure à une unité de longueur sur l’ensemble S. On peut remarquer que, comme la droite∆ est asymptote à Ꮿ_f au voisinage de −∞ et de +∞  , il est logique de retrouver une distance entre les deux courbes inférieure à 1 au voisinage de −∞ et de +∞ .

c) Pour x ≠2, d x( )=

( )

1

2 or 2(x−2)²>0 sur

^{\ 2}

{ }

^{donc d x( )>0}

Graphiquement, le signe de d x( ) nous donne les positions relatives de la courbe Ꮿ_f et de la droite ∆ donc Ꮿ_f et ∆ ne se coupent pas et Ꮿ_f est strictement au-dessus de ∆ sur −∞; 2 et sur 2 ;  + ∞.

  La fonction f est une fonction rationnelle donc f est dérivable sur son ensemble de définition.

Formule utilisée : u v

vu uv v







^,= '− '

2 . Pour x ≠2,

f x

x x x x x x

x

'( )= ×

(

−

)

^×

(

⁻

)

⁻

(

^{− +}

)

^×

⁽

⁻

⁾

− 1

2

2 6 12 2 6 9 2 4

2

2 2 3 2

(( )

=

(

−

)

^×

(

⁻

(

⁻

)

⁻

(

^{− +}

)

4

2 3 2

2 2 3 6 2 6 9

      

( )

x x x x x x

))

(

^{x 2}−

)

⁴

d’où ′ = − − + −

− = − + −

f x x x x x +

x

x x x

x

( ) ( )( )

( ) (

2 6 12 9

2

6 12 9

3 2

4

3 2

1 1)³

. Comme (x−3)(x²−3x+ =3) x³−6x²+12x−9, on en déduit que

′ = − − +

f x x x− x

x

( ) ( )( )

( )

3 3 3 .

2

2 3

Le trinôme x²−3x+3 a un discriminant strictement négatif donc il ne s’annule pas sur

et, pour tout x∈

^{, x2}−^3x+³ est du signe de x². Par suite,

x²−3x+ >3 0 sur

^.

On a donc le tableau de signe suivant :

x

−∞

^{2 3 +∞}

Signe de x – 3 – –

0

⁺

Signe de x – 2 –

0

^{+ +}

Signe de f’ (x) + –

0

⁺

La fonction f est donc strictement croissante sur −∞  ; 2 strictement , décroissante sur ]2 ; 3] et strictement croissante sur ^{3 ;} + ∞  ^.

En résumé, on a :

x

−∞

^{2 3 +∞}

Variations de f

+∞ +∞ +∞

−∞

⁹₂

O

2 4

4 + 2 2

5 –1

1

–1 –2

2 3 4 5 6

x = 2 Ꮿ_f

4 – 2 2

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