Nesta seção será apresentada uma extensão do caso unidimensional introduzido na seção 2.4. Neste contexto, do ponto de vista prático, os expoentes de Lyapunov podem ser calculados por meio do método do mapa tangente (TanMap) [79]. Nesta abordagem, dado o sistema dinâmico descrito em (2.43), com condição inicial 𝑦0, e uma matriz identidade 𝐼𝑚
também 𝑚-dimensional, a primeira medida para avaliar o espectro de Lyapunov por meio do método (TanMap) consiste em avaliar divergências locais relativas aos 𝑚 vetores linearmente independentes e ortogonais escritos na forma [83]:
{𝛿1𝑦, 𝛿2𝑦, . . . , 𝛿𝑚𝑦} = {e1, e2, . . . , e𝑚} = I𝑚, (2.48)
onde os vetores são transformados por contínuas aplicações do mapa tangente associado às equações do movimento que caracterizam o sistema dinâmico. Os eixos do mapa tangente são definidos a partir das equações variacionais1 que determinam a evolução temporal após
linearização das equações de estado [83]:
˙
Φ(y, 𝑡) = J(y, 𝑡)Φ(y, 𝑡), (2.49)
onde J(y, 𝑡) é a matriz jacobiana provinda da linearização de f (y, 𝑡) do sistema dinâmico definido em (2.43), da seção 2.4, cujos elementos são dados por:
𝐽𝑖𝑗(y, 𝑡) =
𝜕𝐹𝑖(y, 𝑡)
𝜕𝑦𝑗(𝑡)
, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑚. (2.50)
Para calcular a taxa de divergência ou convergência em relação à trajetória fiducial, integra- se todo o sistema. Isto é, as equações de estado juntamente com as equações variacionais, por um determinado tempo 𝑇, a partir de y0, com Φ(y0) = I𝑚. O passo seguinte, é atualizar
os vetores-pertubação ancorados na trajetória fiducial após a transformação estimulada pela aplicação do mapa tangente, obtendo-se o primeiro expoente 𝛿(1)1𝑦 = Φ(y, 𝑇 )u(0)1 , sendo u(0)1 =
𝛿(0)1𝑦
||𝛿(0)1𝑦|| e o índice superior representa o estado atual da interação. Repetindo o processo 𝐾 vezes,
deve-se encontrar o maior expoente de Lyapunov via equação (2.51) [55],
𝜆1 = lim 𝐾→∞ 1 𝐾𝑇 𝐾 ∑︁ 𝑘=1 ln ||𝛿(𝑘)1𝑦||. (2.51)
À medida que o tempo evolui, o sistema tende a mudar continuamente, o que torna muito difícil ou quase impossível definir um eixo específico do espaço de estado como expansivo ou contrativo. Além da tendência de alinhamento dos vetores 𝛿1𝑦, 𝛿2𝑦, . . . , 𝛿𝑚𝑦 com a direção
mais expansiva do movimento, o que pode ocasionar erros numéricos. Este problema pode ser corrigido através do processo de Reortonormalização de Gram-Schimidt (GSR), que per- mite subtrair a contribuição da direção mais expansiva das demais direções do movimento, corrigindo o cálculo de todo o espectro de Lyapunov. O algoritmo para este procedimento é visto em (2.52) [83]: v(𝑘)1 = 𝛿(𝑘)1𝑦 u(𝑘)1 = v (𝑘) 1 ||v(𝑘)1 || v(𝑘)2 = 𝛿(𝑘)2𝑦 − ⟨𝛿(𝑘)2𝑦, u(𝑘)1 ⟩u(𝑘)1 u(𝑘)2 = v (𝑘) 2 ||v(𝑘)2 || .. . v(𝑘)𝑚 = 𝛿(𝑘)𝑚𝑦− ⟨𝛿(𝑘) 𝑚𝑦, u (𝑘) 1 ⟩u (𝑘) 1 − . . . − ⟨𝛿(𝑘)𝑚𝑦, u (𝑘) 𝑚−1⟩u (𝑘) 𝑚−1 u(𝑘)𝑚 = v (𝑘) 𝑚 ||v(𝑘)𝑚 || (2.52)
onde ⟨x, y⟩ denota o produto interno entre os vetores x e y. Segue-se que na 𝐾-ésima iteração o espectro de Lyapunov é dado por
𝜆𝑖 = lim 𝐾→∞ 1 𝐾𝑇 𝐾 ∑︁ 𝑘=1 ln ||v(𝑘)𝑖 ||, 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑚. (2.53)
Deve-se ressaltar que, a cada iteração, o mapa tangente dado por Φ(y, 𝑡) deve ser definido mais uma vez como a matriz identidade com o intuito de que a taxa de divergência ou convergência seja avaliada de forma correta na iteração seguinte. Vale lembrar que tal procedimento é válido tanto para o caso contínuo como para o caso discreto, fazendo a troca do índice 𝑡 pelo índice
𝑛 como também ter a cautela de continuar com o procedimento GSR em cada iteração para
Tendo apresentado essa revisão geral e os fundamentos básicos da teoria de sistemas não-lineares com especial destaque para o cálculo dos expoentes de Lyapunov, o capítulo seguinte fornece uma visão geral desses conceitos no âmbito do estudo do sincronismo entre sistemas, apresentando assim, a aplicação da metodologia alternativa para o cálculo dos expoentes de Lyapunov condicionais.
3 Sincronismo e expoentes condicionados
A pesquisa na área de sistemas dinâmicos não-lineares tem despertado um interesse crescente em diversas áreas, tais como: engenharia, matemática, física, biologia, ciências econômicas e biomedicina. Paralelamente a esse anseio de se estudar sistemas não linea- res, tem-se a teoria da sincronização de sistemas dinâmicos que vem ainda mais corroborar sobre a importância e por quê cada dia os cientistas se interessam cada vez mais por essa área da matemática.
Os primeiros a estudarem o tema da sincronização caótica foram Yamada e Fujisaka [85] em 1983, seguidos por Afraimovich et al. em 1986 [1]. Porém, Pecora e Carrol [56] foram os primeiros pesquisadores que, a partir de uma decomposição de um sistema dinâmico na configuração mestre-escravo (tal como definido mais adiante), adotaram a praxe de calcular os expoentes de Lyapunov condicionados. O nome desta importante métrica se deve ao fato de a equação variacional ser condicionada aos estados do sistema mestre. Isso significa que os expoentes ficam condicionados ao sinal enviado pelo mestre ao escravo [54, 81]. Assim, a equação variacional é obtida por meio da linearização do sistema escravo, sendo a matriz jacobiana calculada a partir de trajetórias do sistema mestre [56]. Esquemas de sincronização mestre-escravo semelhantes também foram investigados em [75, 76].
Os trabalhos de Pecora e Carroll [56, 58, 59] abriram caminho para várias pesquisas que envolvem caos e, com isso, deram indícios da possibilidade de comunicação segura [9, 13, 14, 34, 43, 46–48, 87], já que em seus trabalhos foi possível responder, com propriedades matemáticas, a um questionamento a cerca da obtenção sinais caóticos sincronizados em dois sistemas separados transmitindo somente uma parte do estado do primeiro para o segundo sistema.
A repercussão desses trabalhos foi imediata, suscitando várias aplicações dessa nova metodologia de sincronismo entre sistemas, como também métodos numéricos para estimar os expoentes de Lyapunov condicionados [19, 23, 63, 81]. Por outro lado, sistemas caóticos po- dem estar relacionados de formas mais gerais, caracterizando outras formas de sincronismo. Pyragas [64] propõe em seu trabalho que, se existir uma função suave, ou seja, continuamente diferenciável, o sincronismo é classificado como forte. No entanto, se existir um mapeamento contínuo porém não-suave, o sincronismo entre dois sistemas dinâmicos é dito fraco. Assim, o método dos falsos vizinhos mais próximos mútuos identifica somente sincronismo forte, motivando o desenvolvimento de métodos para detecção de instâncias mais gerais de sincro- nismo, em que o tipo deste pode ser classificado através do estudo dos expoentes de Lyapunov
condicionados [63].
Entretanto, Murali [46] investigou numericamente a comunicação segura com base nos sistemas caóticos heterogêneos com ruído de canal e com parâmetros sem identidade. Ele mostra que a sincronização fraca e a sincronização forte são dependentes dos sinais dos expoentes de Lyapunov condicionados dos sistemas caóticos acoplados, enquanto os trabalhos propostos por Cuomo e Oppenheim [13, 14] visam aplicar de forma simples o critério de Pe- cora e Carroll. Em particular, [32] apresenta uma proposta para sincronismo em comunicação óptica na qual é demonstrado que acoplamento de alta intensidade entre os sistemas dinâmi- cos acarreta expoentes condicionados de Lyapunov negativos e, com isso, tem-se a obtenção do sincronismo entre os sistemas. Outras propostas agora com expoentes de Lyapunov con- dicionados positivos [12, 43, 68, 88] também surgem como novas alternativas de sincronismo que pode ser visto por exemplo em [21], onde os autores se utilizam de combinação convexa. Antes de abordar de modo mais formal a definição de expoentes condicionados, apresenta-se a seguir algumas definições essenciais de sincronismo e suas variantes. As con- figurações mestre-escravo são então introduzidas, bem como configurações mais gerais de acoplamentos entre dinâmicas, o que é seguido pela abordagem das dinâmicas clonadas para cálculo dos expoentes de Lyapunov e as transformações necessárias para a respectiva aplica- ção no contexto dos expoentes de Lyapunov.