4.9 Applications aux EDFs
4.9.1 Applications Numériques
Exemple 4.9.1 [24]
On considère l’équation de Begley-Torvik suivante
D2y (x) + D32y (x) + y (x) = 1 + x;
avec les conditions :
y (0) = y0(0) = 1: La solution est donnée par la formule suivante
y (x) = 1 + x:
Exemple 4.9.2
On considère l’équation di¤érentielle fractionnaire linéaire non-homogène suivante y(m)(x) + Dm y (x) + y (x) = Pm 1(x) ; 2 [0; 1[
avec les conditions :
y (0) = y0(0) = ::: = y(m 2) = 1; et Pm 1(x) est un polynôme de degré m 1 tel que
Pm 1(x) := 1 + x + x2+ ::: + xm 1:
Cette équation est convertie à l’équation suivante
pmF (p) pm 1y (0) pm 2y0(0) + ::: + py(m 2)(0) + y(m 1)(0) +p mF (p) pm 1y (0) pm 2y0(0) + ::: + py(m 2)(0) + y(m 1)(0) p + F (p) = 1 p+ 1 p2 + ::: + 1 pm 1 + 1 pm:
En utilisant les conditions initiales, on trouve pmF (p) Pm 1(p) + p2F (p) Pm 1(p) p + F (p) = 1 pPm 1 1 p : Donc, F (p) pm+ pm + 1 = 1 pPm 1 1 p + 1 p Pm 1(p) + Pm 1(p) : D’où F (p) = 1 pPm 1 1 p : On sait que L 1 1 pPm 1 1 p ; x = Pm 1(x) :
71
Finalement, la solution exacte est donnée par la formule y (x) = 1 + x + ::: + xm 1:
Remarque 4.9.1 Dans l’exemple 4.9.2, si m = 2 et = 12;on obtient l’équation de Beglay- Torvik.
Exemple 4.9.3 [24]
On considère l’équation di¤érentielle fractionnaire linéaire non-homogène suivante D y (x) + y (x) = 2x 2 (3 ) x1 (2 ) + x 2 x; avec y (0) = 0; 0 < 1: Donc, y (x) = x2 x est la solution exacte.
Exemple 4.9.4 [24]
On considère l’équation di¤érentielle fractionnaire linéaire homogène suivante D y (x) + y (x) = 0;
avec
y (0) = 1; y0(0) = 0; < 2: Donc la solution exacte est donnée par
y (x) = E ( x ) :
Exemple 4.9.5 [24]
On considère l’équation di¤érentielle fractionnaire d’oscillation suivante y00(x) aCD y (x) by (x) = 8;
avec
y (0) = y0(0) = 0; 1 < 2: Donc, la solution exacte est donnée par la formule suivante
y (x) = 8x2 1 X n=0 1 X k=0 bnakx(2 )k+2n ((2 ) k + 2 (n + 1) + 1) n + k k :
Exemple 4.9.6 [24] On considère le système : 8 < : D x (t) ty0(t) + x (t) (1 + t) y (t) = 0; y (t) sin t = 0 avec 0 < 1:
avec les conditions initiales
x (0) = 1; y (0) = 0: si = 1; alors x (t) = t sin t + e t:
Si 0 < < 1; la solution exacte est donée par x (t) = 2t +1 1 X n=0 1 X k=0 ( 1)n+k(k + 1) t2k tn +1 ((n + 1) + 2k + 3) + tn ((n + 1) + 2k + 2) + E ( t ) = 2t +1 1 X k=0 ( 1)[k2] k 2 + 1 t kE ; +k+2( t ) + E ( t ) et y (t) = sin t; où [:] est la partie entière d’un nombre réel.
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CONCLUSION GENERALE
Dans cette thèse de Doctorat, nous avons fait une extension sur les espaces métriques en présentant des nouvelles structures de type S*. Puis, nous avons donné quelques nouvelles propriétés ainsi que certains résultats originaux liés à ces structures. Nous nous sommes aussi intéressés au calcul fractionnaire en présentant une étude analytique puis nous avons présenté une étude numérique. Nous avons commencé par étudier certains problèmes aux limites d’ordre arbitraire. En particulier, nous avons démontré des résultats sur l’existence et l’unicité, (ou uniquement l’existence) des solutions de ces problèmes fractionnaires au sens de Caputo avec des conditions intégrales de type Riemann-Liouville. Dans cette partie, nous avons, en premier lieu, proposé une autre équivalence intégrale pour les problèmes posés, puis nous avons établi des conditions assurant l’existence et l’unicité de solutions pour les problèmes considérés. Puis, dans une autre partie essentielle, nous avons développé d’autres conditions pour assurer l’existence d’une solution au moins. Les résultats trouvés sont basés sur les estimations intégrales d’ordre fractionnaires, la théorie des points …xes, la théorie des opérateurs ainsi et d’autres lemmes techniques due à Kilbas, Srivastava, etc... A la …n de ce projet, nous nous sommes intéressés à l’étude théorique de quelques transformations intégrales, puis nous avons présenté quelques résultats numériques sur les EDFs.
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