Après avoir calculé les écoulements stationnaires qui ont permis de caractériser le champ de base, on s’intéresse maintenant à la simulation d’écoulements instationnaires turbulents qui met en évidence le phénomène de tremblement. Ce phénomène est représentatif des instabilités que l’on cherche à simuler et à retrouver dans le chapitre 8 par une analyse de stabilité.
Les simulations numériques de type URANS (Unsteady RANS) consistent à résoudre les équations de Navier-Stokes moyennées instationnaires, sans modification du modèle
de turbulence par rapport au cas stationnaire. Le traitement statique de Reynolds induit une séparation d’échelles et ne permet de représenter que des phénomènes instationnaires basses fréquences de l’ordre de la centaine de Hertz.
L’approche URANS sous-entend ainsi qu’il y a un découplage entre l’instationnarité du champ moyen et la turbulence. D’autre part, l’hypothèse d’ergodicité de la turbulence (qui permet de remplacer la moyenne d’ensemble par une moyenne temporelle) n’est plus valide lorsque l’écoulement moyen est instationnaire.
Les conditions des écoulements qu’on va examiner sont les mêmes que précédemment : un nombre de Mach M = 0.73, un nombre de Reynolds basé sur la corde du profil et l’état à l’infini amont Re = 3.106 et une incidence α = 3.5.
On a mené les calculs instationnaires sur le maillage de type C-H, avec le profil OAT15A qui est formé de deux blocs.
Le premier écoulement turbulent qu’on va étudier est l’écoulement instationnaire avec le modèle de turbulence Spalart-Allmaras.
5.4.1
Modèle de turbulence Spalart-Allmaras
Une série de calculs a été menée dans les conditions aérodynamiques déjà décrites. La figure (5.10) montre l’évolution des iso-valeurs du nombre de Mach au cours d’un cycle. On constate que la différence entre ces quatre figures n’est pas évidente. Ceci permet de déduire que le mouvement du tremblement est assez faible.
Une autre représentation de ce faible mouvement de tremblement pour le modèle de Spalart-Allmaras pour l’incidence α = 3.5 et M = 0.73, peut être donnée en examinant la figure (5.11). Cette figure compare les lignes de niveaux du nombre de Mach au cours d’un cycle de tremblement. Chaque couleur dans cette figure, représente un instant. La différence entre les lignes est très faible. Ce qui confirme le faible mouvement de l’oscillation au cours d’un cycle avec ce modèle de turbulence Spalart.
Il est apparu que l’entrée en tremblement avec le modèle de Spalart-Allmaras est très tardive. Le phénomène de tremblement peut être obtenu si on augmente encore l’incidence.
5.4.2
Modèle de turbulence (k − ω) de Wilcox
En choisissant maintenant, le modèle (k −ω) de Wilcox comme modèle de turbulence, on effectue une série de calcul. La figure (5.12) illustre le phénomène de tremblement dans un écoulement transsonique autour du profil OAT15A à Mach M = 0.73, Reynolds Re = 3 × 106 et α = 3.5. Au cours d’une période d’oscillation, plusieurs instants
apparaissent décrivant le mouvement du choc et le décollement. Ces sept instants sont représentés au cours d’une période du phénomène, ils sont décrits de la manière suivante :
Dans les phases b à d, l’onde de choc est repoussée vers l’amont du profil, en même temps que le décollement croît. A l’instant e, on constate que le décollement du pied de choc remonte par rapport à l’instant précédent. Les instants f, g, h et a se caractérisent par le mouvement de l’onde vers le bord de fuite du profil.
(5.12), l’écoulement semble en effet décollé.
Il apparaît clairement, à l’analyse de cette dynamique, que la prédiction correcte du tremblement transsonique nécessite l’utilisation d’un modèle de turbulence correctement sensible aux conditions aérodynamiques imposées.
Avec ce modèle de turbulence (k −ω) de Wilcox, le mouvement est clair et le tremblement est bien caractérisé. Entre autre, on illustre cela par la figure (5.13), qui met en évidence les lignes des isovaleurs de la composante de la vitesse, dans la position du choc la plus amont et la position du choc la plus avale.
5.5
Conclusion
Le premier objectif de cette partie est d’appliquer les différents outils numériques choisis, qui vont permettre, entre autre, de représenter les oscillations du choc sur un profil et de calculer le champ de base correspondant. On souligne les performances du logiciel elsA pour effectuer ce type de simulation.
De plus, il ressort des calculs instationnaires avec les deux modèles de turbulence (en fixant les mêmes données aérodynamiques : incidence α = 3.5, M = 0.73 et Re = 3.106)
que le tremblement est mieux caractérisé avec le modèle (k − ω) de Wilcox qu’avec le modèle de Spalart-Allmaras. En effet, avec ce dernier, l’entrée en tremblement est tardive. Par ailleurs, dans la suite de cette thèse, on ne va pas choisir le modèle de Spalart- Allmaras comme modèle de turbulence de base. Non seulement parce qu’il ne caractérise pas le tremblement, mais aussi, parce que la linéarisation du modèle de Spalart n’était pas disponible dans elsA au départ de ce travail.
En plus, pour la suite de cette étude, le maillage de type C va être choisi. En effet, le code analytique qui génère ce type de maillage permet de le créer selon les besoins. On peut obtenir plusieurs profils et gérer convenablement plusieurs zones du maillages. Enfin, après avoir déterminé le champ de base, on s’intéressera à la linéarisation des équations de Navier-Stokes. En effet, ces équations sont fortement non-linéaires à cause du terme de convection. L’extraction explicite de la matrice jacobienne (∂R
∂W) est l’objectif du chapitre suivant.
(a)
(b)
Figure 5.5 – Plages d’isovaleurs du nombre de Mach pour le calcul d’écoulement sta- tionnaire avec modèle Spalart-Allmaras. Incidence α = 3.5 , Mach M = 0.73 et Reynolds Re = 3 × 106
(a)
Figure 5.6 – Evolution de la norme L2 des résidus de l’équation Navier-Stokes en fonction des itérations au cours d’un calcul stationnaire avec le modèle de turbulence Spalart-Allmaras
(a)
(b)
Figure 5.7 – Plages et lignes d’isovaleurs du nombre de Mach pour le calcul d’écoulement stationnaire avec modèle (k − ω) de Wilcox. Incidence α = 3.5 , Mach M = 0.73 et Reynolds Re = 3 × 106.
(a)
Figure 5.8 – Distribution de coefficient de pression cp pour le calcul d’écoulement sta-
tionnaire avec le modèle (k − ω) de Wilcox. Incidence α = 3.5 , Mach M = 0.73 et Reynolds Re = 3 × 106 pointillés bleu :expérience de Jacquin [23]
(a)
Figure 5.9 – Evolution de la norme L2 des résidus de l’équation Navier-Stokes en fonction des itérations au cours d’un calcul stationnaire avec le modèle de turbulence (k − ω) de Wilcox
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 5.10 – Les iso-valeurs du nombre de Mach pour un calcul URANS avec le modèle Spalart-Allmaras, une incidence α = 3.5 , un nombre de Mach à l’infini M = 0.73 et Reynolds Re = 3 × 106.
Figure 5.11 – Comparaison des lignes des iso-valeurs du nombre de Mach au cours d’un cycle de tremblement ; modèle de Spalart-Allmara ; incidence α = 3.5 , Mach M = 0.73 et Reynolds Re = 3 × 106.
(a)
(b) (c)
(d) (e)
(f) (g)
Figure 5.12 – (k − ω) de Wilcox : Visualisation du phénomène de tremblement dans l’écoulement transsonique autour d’un profil OAT15A de type C-H à M = 0.73, α = 3.5 et Re = 3.106 : huit instants successifs au cours d’une période du phénomène : planche d’isovaleurs de nombre de Mach avec des lignes de courant proches de la paroi.
(a)
(b)
Figure 5.13 – Lignes des isovaleurs de la vitesse : (a) la position la plus avale et (b) la position la plus amont du choc ; calcul URANS avec le modèle (k − ω) de Wilcox. M = 0.73, α = 3.5 et Re = 3.106