Donnons deux applications imm´ediates de la diagonalisation. SoitA∈Mn(R) une matrice diagonalisable.
1. Puissance d’une matrice, r´ecurrence lin´eaire.Si l’on a la relation (22), alors il suit imm´ediatement que
Ak =P∆kP−1.
Or ∆k est tr`es simple `a calculer :
Application : r´ecurrence lin´eaire. La diagonalisation est tr`es utilise pour calculer le r´esultat d’une suite r´ecurrente vectorielle : si la suite (xk)k∈N d’´el´ements de Rn est donn´ee par la relation de r´ecurrence
xk+1 =Axk, alors on montre facilement que
xk =Akx0.
Cas non homog`ene. On peut aussi consid´erer les suites satisfaisant des r´ecurrences du type :
xk+1 =Axk+b, (24)
o`u b est un vecteur fixe de Rn. La m´ethode suivante fonctionne si 1 n’est pas valeur propre de A (au moins dans ce cas devrions-nous dire). Il s’agit de d´eterminer v ∈ Rn un “point fixe” de la relation de r´ecurrence, i.e. un point satisfaisant :
v =Av+b.
Si 1 n’est pas valeur propre deA, cela est toujours possible car dans ce casA−I est injectif donc inversible, et on prendv =−(A−I)−1(b). Et dans ce cas, on observe qu’une suite (xn) satisfait (24) si et seulement si la suite de terme g´en´eral yn =xn−v satisfait
yk+1 =Ayk, ce que l’on sait calculer par la puissance de matrice !
2. Exponentielle de matrice.On se propose ici de donner un sens `a l’exponentielle d’une matrice carr´ee, qu’on notera exp(A), dans le cas o`u Aest sym´etrique r´eelle. Comme on sait que pour x r´eel, on a :
Grˆace au calcul pr´ec´edent, on peut voir que pour les matrices sym´etriques r´eelles A diago-nalis´ees comme dans (22), on a
N
Cela permet de voir qu’on a bien convergence (´el´ement par ´el´ement de la matrice) vers
∞
X
k=0
Ak k! =P
exp(λ1) 0 . . . 0 0 . .. ... ... ... . .. ... 0 0 . . . 0 exp(λn)
P−1.
Remarque 30. En fait, on peut d´efinir l’exponentielle de matrice de toute matrice carr´ee surR ouC(non n´ecessairement diagonalisable), mais cela est un peu plus d´elicat dans le cas g´en´eral (et c’est beaucoup plus difficile `a calculer). Et on peut ´etendre le proc´ed´e `a d’autres fonctions que la fonction exponentielle, en particulier aux fonctions enti`eres (c’est-`a-dire d´eveloppables en s´erie enti`eres avec rayon de convergence infini).
L’exponentielle de matrice a d’importantes cons´equences en th´eorie des ´equations diff´ eren-tielles vectorielles (souvent appel´eessyst`emes diff´erentiels). On montre que A´etant une ma-trice fix´ee, l’unique solution y (d´ependant du temps et `a valeurs dans Rn), de l’´equation diff´erentielle vectorielle :
y0 =Ay, avec condition initiale
y(0) =y0, est donn´ee par
y(t) := exp(tA)y0. Ce n’est pas sans rappeler le cas o`u y est `a valeurs r´eelles !
5 Espace vectoriel norm´ e
5.1 Evn et sa structure “topologique”
On rappelle que (R,+,·,≤) est l’unique “corps” totalement ordonn´e qui satisfait `a l’une des trois (et donc aux trois) propri´et´es suivantes
1. Tout ensemble non vide major´e poss`ede une borne sup´erieure, ou de mani`ere ´equivalente : si (xn) est une suite r´eelle croissante et major´ee (i.e. xn ≤xn+1, ∃M, xn ≤ M pour tout n∈N) alors il existe `∈R tel que xn→` lorsque n→ ∞.
2. Tout ensemble non vide ferm´e born´e est compact, ou de mani`ere ´equivalente : si (xn) est une suite r´eelle telle que xn ∈ [−M, M], M ≥ 0, alors on peut en extraire une sous-suite convergente (i.e. ∃(xnk),∃` ∈[−M, M] tels que xnk →` lorsque k → ∞).
3. Toute suite de Cauchy est convergente, ou de mani`ere ´equivalente : si (xn) est une suite r´eelle telle que pour tout ε > 0 il existe N =N(ε) de sorte que |xn−xm| ≤ ε pour toutm, n≥N, alors il existe` ∈R tel que xn→` lorsque n → ∞.
Remarque 31. (Q,+,·,≤)est un “corps” totalement ordonn´e, mais il ne satisfait `a aucune de ces trois propri´et´es. On dit que R est complet, localement compact et satisfait `a l’axiome de la borne sup´erieure.
On rappelle que dans Rd, on d´efinit la norme
∀x= (x1, . . . , xd)∈Rd, kxk∞ := max{|xi|, 1≤i≤d}.
Dans un espace vectoriel norm´e (E, N), on dit qu’une suite (xn) converge vers ¯x ∈ E si N(xn−x)→0 lorsque n→ ∞.
Lemme 8. On munit Rd de la norme k · k∞. Les boules ferm´ees B(0, R) :={x∈Rd, kxk∞≤R}
sont compactes.
D´emonstration du Lemme 8. On consid`ere une suite (xn) de B(0, R) et on note xn :=
(x1n, . . . , xdn). Comme (x1n) est une suite r´eelle telle que |x1n| ≤ R pour tout n ∈ N, on peut en extraire une sous-suite (x1n1
k
) convergente. A nouveau, la suite r´eelle (x2n1 k
) satisfait
|x2n1 k
| ≤Rpour toutk ∈Net on peut en extraire une sous-suite (x2n2 k
) convergente. On r´ep`ete d fois le proc´ed´e en remarquant que {ni+1k , k ∈ N} ⊂ {nik, k ∈ N}. De la sorte, on exhibe
¯
x = (¯x1, . . . ,x¯d) tels que xind k
→ x¯i lorsque k → ∞ pour tout i ∈ {1, . . . , d}, ce qui signifie exactement xnd
k →x¯ dans Rd au sens de la norme k · k∞ lorsque k → ∞.
Th´eor`eme 19. Dans Rd toutes les normes sont ´equivalentes.
D´emonstration du Th´eor`eme 19. Il suffit de montrer que toutes les normes de Rd sont
´
equivalentes `a la norme k · k∞.
Etape 1. Soit N une deuxi`eme norme de Rd. Avec les notations habituelles, on a N(x) ≤ N(x1,0, . . . ,0) +· · ·+N(0, . . . ,0, xd)
= |x1|N(e1) +· · ·+|xd|N(ed)
≤
N(e1) +· · ·+|N(ed) kxk∞, ce qui donne une premi`ere in´egalit´e.
Etape 2. Supposons par l’absurde que l’on n’a pas
∃C ≥0, ∀x∈Rd, kxk∞ ≤CN(x).
Cela signifie que
∀n≥1, ∃xn ∈Rd, kxnk∞> nN(xn)≥0.
On d´efinit yn :=xn/kxnk∞ qui satisfait donc
nN(yn)≤ kynk∞= 1, ∀n ≥1.
Par le lemme 8, on en d´eduit qu’il existe une sous-suite (ynk) et un vecteur ¯y∈Rd tels que ynk → y¯ dans Rd au sens de la norme k · k∞, et donc ´egalement au sens de la norme N d’apr`es l’´etape 1.
On en d´eduit d’une part k¯yk∞−1
=
kyk¯ ∞− kynk∞
≤ k¯y−ynk∞ →0, et donckyk¯ ∞= 1, ¯y6= 0.
On en d´eduit d’autre part
N(¯y)≤N(¯y−yn) +N(yn)≤Ck¯y−ynk∞+ 1/n→0, et doncN(¯y) = 0, ¯y = 0.
Corollaire 5. Dans Rd, les suites de Cauchy et les suites convergentes sont les mˆemes quelle que soit la norme consid´er´ee. Dor´enavant et en g´en´eral, on ne pr´ecisera plus la norme consid´er´ee dans Rd.
Corollaire 6. Tout espace vectoriel norm´e de dimension finie est complet : toute les suites de Cauchy sont convergentes.
D´emonstration du Corollaire 6.Soit (E, N) un evn de dimension finie. Une base (e1, . . . , ed)
´
etant choisie, celui-ci est isomorphe `a (Rd, ν) avec ν(x1, . . . , xd) := N
d
X
i=1
xiei .
Il suffit donc de montrer que (Rd,k · k∞) est complet. Consid´erons une suite de Cauchy (xn) deRd. Chaque composante (xin) est alors une suite de Cauchy r´eelle et est donc convergente.
On en d´eduit que la suite (xn) est convergente dans Rd.
Lemme 9. Soit E un evn. Il y a ´equivalence entre
1. E est complet (les suites de Cauchy sont convergentes).
2. Les s´eries normalement convergentes sont convergentes.
D´emonstration du Lemme 9. On ne d´emontre que l’implication (1)⇒(2) qui nous sera utile dans une prochaine section. On suppose donc que E est complet. Soit ((xn)) une s´erie deE normalement convergente au sens o`u
∞
X
k=1
kxkk<∞.
On rappelle que cela implique
∞
X
k=N
kxkk →0 lorsqueN → ∞.
On consid`ere maintenant la somme partielle Sn :=
n
X
k=1
xk.
On observe alors que pour m≥n, on a kSm−Snk=
m
X
k=n+1
xk ≤
∞
X
k=n+1
kxkk →0 lorsque n→ ∞,
ce qui signifie que (Sn) est une suite de Cauchy. On en d´eduit que la suite (Sn) est convergente dans E. On note
S:= lim
n→∞
∞
X
k=1
xk
cette limite.