Applications biharmoniques et morphismes biharmoniques

Une fonction biharmonique sur une vari´et´e riemannienne (M, g) (aussi dite fonction de stress) est une solution de l’´equation ∆2f = 0. L’op´erateur ∆2 s’appelle le bi-Laplacien. Ces fonctions jouent un rˆole essentiel dans l’´elasticit´e et l’hydrodynamique. D’autre part, les courbes ´elastiques, appel´ees elastica ont ´et´e introduites par L. Euler en 1744 [26] ; il s’agit des courbes qui extr´emisent la fonctionnelle de bi-´energie (voir ci-dessous) avec la contrainte que la longueur reste fixe. Dans cette partie on donne d’une fa¸con analogue aux parties pr´ec´edentes, la d´efinition des applications biharmoniques et des morphismes biharmoniques.

1.7. APPLICATIONS HARMONIQUES, BIHARMONIQUES ET MORPHISMES HARMONIQUES

D´efinition 1.7.15. Soit ϕ : (M, g) → (N, h) une application lisse entre deux vari´et´es riemanniennes et D un domaine compact de M . La bi-´energie de ϕ sur D est d´efinie par :

E²(ϕ) = ¹ 2

Z

D|τ(ϕ)|²v_g avec τ (ϕ) le champ de tension donn´e par (??).

Les points critiques de la fonctionnelle de bi-´energie E2 sont dits applications biharmo-niques.

L’´equation d’Euler-Lagrange associ´ee `a E² est τ²(ϕ) := Trace_g ∇^ϕ∇^ϕ− ∇^ϕ_∇M

τ (ϕ) − TracegR^N(dϕ, τ (ϕ))dϕ = 0 , (1.35) avec R^N le tenseur de courbure de (N, h) d´efini dans (1.7). Notons que

τ²(ϕ) = −J^ϕ(τ (ϕ)) o`u Jϕ est l’op´erateur de Jacobi associ´e `a ϕ.

Remarque 1.7.16. Il est clair que toute application harmonique est biharmonique, mais la r´eciproque n’est pas vrai. En g´en´eral il est difficile de trouver des exemples d’applications biharmoniques non-harmoniques. Les ´equations d’Euler-Lagrange est un syst`eme elliptique d’ordre 4 difficile `a r´esoudre explicitement et des th´eor`emes g´en´erals n’existent que dans des situations tr`es particuli`eres. Pourtant, il existe des exemples g´eom´etriques inattendus.

Exemple 1.7.17. [56] L’application de l’Exemple 1.5.12, dont les fibres sont les cercles de Villarceau, est une application biharmonique non-harmonique. On peut le v´erifier par un calcul direct.

Exemple 1.7.18. [9] On consid`ere la compos´ee de l’application de Hopf de R⁴ dans R³ avec l’inversion dans R³, explicitement

R4 −→ ^R3

(x, y) 7→ _(|x|2 ¹

+|y|2)2(|x|²− |y|², 2xy) ,

avec x, y ∈ C. Il s’agit d’une application semi-conforme biharmonique non-harmonique. Le sujet de biharmonicit´e des applications semi-conformes a ´et´e ´etudi´e dans [9] o`u on donne une relation entre la dilatation et la courbure moyenne des fibres qui caract´erise ces applications. On peut adapter aussi la d´efinition des morphismes harmoniques pour la biharmonicit´e :

1.7. APPLICATIONS HARMONIQUES, BIHARMONIQUES ET MORPHISMES HARMONIQUES

D´efinition 1.7.19. Une application ϕ : (M^m, g) → (Nⁿ, h) entre deux vari´et´es rieman-niennes est dite morphisme biharmonique si pour toute fonction biharmonique f d´efinie sur un ouvert de N , f : U ⊆ N → R, telle que ϕ−1(U ) = V non-vide, son pull-back par ϕ, f ◦ ϕ : V → R est aussi biharmonique sur V ⊆ M.

Exemple 1.7.20. [40] L’inversion donn´ee par Rn\ {0} −→ Rⁿ

x 7→ _|x|^x2 est un morphisme biharmonique si et seulement si n = 4 .

E. Loubeau et Y-L. Ou ont ´etudi´e la caract´erisation des morphismes biharmoniques dans [39] et [40]. On pr´esente ci-dessous un th´eor`eme qui g´en´eralise aux morphismes biharmoniques, la caract´erisation des morphismes harmoniques donn´ee dans le Th´eor`eme

1.7.8.

Th´eor`eme 1.7.21. [40] Soit ϕ : (M, g) → (N, h) une application lisse entre deux vari´et´es riemanniennes. Alors ϕ est un morphisme biharmonique si et seulement si ϕ est :

(i) semi-conforme, (ii) biharmonique,

(iii) 4-harmonique (une application ϕ est dite p-harmonique si elle est un point critique de la fonctionnelle de p-energie Ep donn´ee par Ep(ϕ) = ¹_pR

M|dϕ|^pvg o`u M est compact).

(iv)

|τ(ϕ)|⁴− 2∆λ²|τ(ϕ)|²+ 4∆λ²divhdϕ, τ(ϕ)i + n(∆λ²)² +2hdϕ, τ(ϕ)i(∇|τ(ϕ)|²) + |S|²= 0 ,

o`u S ∈ ⊙²ϕ⁻¹T N est la sym´etrisation de Traceg dϕ⊗∇^ϕτ (ϕ) et hdϕ, τ(ϕ)i(X) = hdϕ(X), θ(ϕ)i .

On remarque d’apr`es le Th´eor`eme 1.7.21 que les morphismes biharmoniques corres-pondent `a une classe d’applications semi-conformes biharmoniques tr`es limit´ee. Il est difficile d’expliciter des exemples `a partir de ce th´eor`eme. Dans le Chapitre 4, on in-troduit une g´en´eralisation naturelle des morphismes harmoniques (notons aussi qu’un morphisme harmonique n’est pas n´ecessairement un morphisme biharmonique). Ce qui nous ram`ene `a la construction d’une infinit´e d’exemples d’applications semi-conformes biharmoniques, non-harmoniques.

Chapitre 2

Une classe de fonctions

conjugu´ees r´eelles analytiques

On rappelle qu’il existe une in´egalit´e diff´erentielle de second ordre et trois ´equations diff´erentielles d’ordre 3 qui caract´erisent les fonctions admettant des conjugu´ees en di-mension 3. Toutes ces conditions sont conform´ement invariantes et il existe une liste exhaustive des op´erateurs d’invariants conformes en fonction desquels on peut expri-mer ces ´equations. Par contre, on remarque que ces ´equations sont tr`es compliqu´ees `a r´esoudre, ce qui motivie le probl`eme de trouver des m´ethodes plus pratiques pour en-gendrer des exemples.

Dans l’article [7], on caract´erise les fonctions conjugu´ees admettant une sym´etrie sph´erique ou cylindrique. En plus, les auteurs ont remarqu´e un ansatz qui permet d’en d´eduire des solutions `a partir d’une ´equation diff´erentielle en une fonction de deux variables. Pour-tant cette ´equation est aussi difficile `a r´esoudre, et il n’y avait que quelques solutions obtenues par des m´ethodes ad hoc.

Le but de ce chapitre est d’´etudier cet ansatz en caract´erisant des classes de solu-tions r´eelles analytiques. Pour cela, il faut surmonter des probl`emes alg´ebriques diffi-ciles qu’on expliquera dans la suite. Parmi les exemples obtenus, on trouve une famille contenant l’application de Hopf (Exemple 1.5.12), ainsi qu’une famille d’applications semi-conformes d´efinies enti`erement sur R³ qui ne sont pas des projections suivies par une application conforme dans le plan. En effet, tout morphisme harmonique (voir §1.7.2) est n´ecessairement de ce type, propri´et´e connue sous le nom Th´eor`eme de Bernstein pour les morphismes harmoniques [11].

2.1. UN ANSATZ POUR OBTENIR DES SOLUTIONS

2.1 Un ansatz pour obtenir des solutions

Rappelons que les applications semi-conformes `a trois variables r´eelles (x, y, z) d´efinies sur R<sup>3</sup> `a valeurs complexes sont les solutions de l’´equation

_∂ϕ ∂x