Applications antitones

Concernant les applications antitones, les résultats sont moins nombreux. On peut néan-moins mentionner [Dacić, 1983] et [Baclawski and Björner, 1979]. A notre connaissance, les résultats présentés par la suite sont originaux dans la littérature concernant les dioïdes.

Propriété 1

• Si f est une application isotone et g une application antitone alors g ◦ f et f ◦ g sont antitones.

• Si g₁ et g₂ sont des applications antitones alors g₁◦ g₂ est isotone. • Soient D un dioïde complet, x, y ∈ D et g une application antitone. On a

   x ⊕ y º x x ⊕ y º y ⇒ g(x ⊕ y) ¹ g(x) ∧ g(y)

   x ∧ y ¹ x x ∧ y ¹ y ⇒ g(x ∧ y) º g(x) ⊕ g(y) .

Dans un premier temps, on met en évidence la structure des ensembles P_g et Q_g.

Proposition 3 Soient g : D → D une application antitone et D un dioïde complet. L’ensemble

Q_g (resp. P_g) est un demi-treillis supérieur complet (resp. demi-treillis inférieur complet) non vide selon l’ordre hérité de D.

Preuve : De toute évidence, > ∈ Q_g et Q_g est donc non vide. Considérons deux éléments

x, y ∈ Q_g, d’après le point trois de la remarque 1, on obtient g(x ⊕ y) ¹ g(x) ∧ g(y) et donc

g(x⊕y) ¹ g(x)⊕g(y). Or puisque x et y appartiennent à Q_g, on en déduit g(x) ¹ x et g(y) ¹ y d’où g(x) ⊕ g(y) ¹ x ⊕ y, et donc x ⊕ y ∈ Q_g, ce qui s’applique aussi aux sommes infinies. On prouve de la même façon que P_g est un demi-treillis inférieur : ε ∈ P_g (P_g est non vide) et

g(x ∧ y) º g(x) ⊕ g(y) º g(x) ∧ g(y) º x ∧ y.

¤

On caractérise maintenant la structure de l’ensemble F_g.

Proposition 4 Soient g : D → D une application antitone et D un dioïde complet. Si F_g est non vide, alors F_g est une antichaîne selon l’ordre hérité de D.

Preuve : Si F_g est un singleton alors il n’y a rien à prouver. Supposons qu’il existe deux points fixes de g, distincts, notés x et y, et comparables tels que x ≺ y. Par antitonie de g, on a

g(x) º g(y) et, puisqu’ils sont points fixes, x º y, ce qui contredit la supposition x ≺ y.

¤

Exemple 10 On considère une application antitone g : D → D et D un dioïde complet définis

par la figure 1.2 et les relations suivantes

g(>) = ε g(b) = c

g(a) = ε g(c) = a

Fig. 1.2: Diagramme de Hasse de l’ensemble D.

Les ensembles Q_g, P_g et F_g obtenus sont

Q_g = {>, a, b, d}

P_g = {ε, c}

F_g = ∅.

Dans cet exemple, l’application antitone g ne possède pas de point fixe.

Proposition 5 Soient g : D → D une application antitone et x ∈ D. On a

x ⊕ g(x) ∈ Q_g, x ∧ g(x) ∈ P_g. Preuve : On a toujours    g(x) ⊕ x º x g(x) ⊕ x º g(x) et l’antitonie de g implique

g(g(x) ⊕ x) ¹ g(x) ¹ g(x) ⊕ x.

De manière similaire, g(x) ∧ x ∈ P_g puisque g(g(x) ∧ x) º g(x) º g(x) ∧ x.

¤

Proposition 6 Soient g : D → D une application antitone, y ∈ P_g et z ∈ Q_g. Pour tout x ∈ D tel que x ¹ y (resp. x0∈ D tel que x0 º z), on a x ∈ P_g (resp. x0 ∈ Q_g).

Preuve : La preuve se déduit de l’antitonie de g :

x ¹ y ⇒ g(x) º g(y) º y º x

x⁰ º z ⇒ g(x⁰) ¹ g(z) ¹ z ¹ x⁰.

¤

Proposition 7 Si x est un point fixe d’une application antitone g : D → D, alors x est un

élément minimal (resp. maximal) de Q_g (resp. P_g).

Preuve : Soient x ∈ F_g, y ∈ P_g et z ∈ Q_g tels que y º x º z. Puisque g est antitone, on obtient

g(y) ¹ g(x) ¹ g(z) ⇒ y ¹ g(y) ¹ x ¹ g(z) ¹ z d’où y = x = z. On en conclut donc qu’il n’y a

pas d’élément de Q_g (resp. P_g) qui soit plus petit (resp. plus grand) que x.

¤

Dans la proposition suivante, inspirée par [Dacić, 1983, th. A], on montre que pour une application antitone g, le plus grand élément des points fixes de g2 = g ◦ g est l’image par g du plus petit élément de F_g2 (et vice-versa). On rappelle que g2 est isotone (cf. remarque 1) et donc que F_g2 est non vide (théorème 12).

Proposition 8 Soit g : D → D une application antitone. En notant u = Inf F_g2 et v = Sup F_g2, on a g(u) = v et g(v) = u.

Preuve :

g(u) = g( ^{^}

x∈F_g2)

x) º ^M

x∈F_g2

g(x) (1.16)

(g antitone ⇒ g(a ∧ b) º g(a) ⊕ g(b)).

Cependant, les éléments de {g(x)|x ∈ F_g2} sont aussi des points fixes de g2 puisque

g2(g(x)) = g(g2(x)) = g(x). On peut donc en déduire que g_|F

g2 (où g_|F

g2 dénote la restric-tion de g à l’ensemble F_g2) est une permutation1. Cette assertion se justifie quand on considère

x, y ∈ F_g2, x 6= y et g(x) = g(y), on obtient alors g2(x) = g2(y) et donc x = y ce qui est en contradiction avec l’hypothèse de départ. L’inégalité (1.16) se reformule ainsi

g(u) º ^M

y∈F_g2

y = v.

On a précédemment remarqué que g(x) avec x ∈ F_g2 est un point fixe. L’élément g(u) est donc également point fixe de g2. On a donc g(u) =^L_y∈F

g2 y = v. Cette dernière égalité nous

mène naturellement à g(g(u)) = u = g(v).

¤

Corollaire 2 L’élément u est un point post-fixe de g et l’élément v est un point pré-fixe de g.

Preuve : Il vient directement que g(u) º u et g(v) ¹ v puisqu’on a v º u (u et v sont toujours

comparables car F_g2 a une structure de treillis complet), g(u) = v et g(v) = u.

¤ Étant donné que g2 est isotone, les propositions 1 et 2 fournissent une méthode itérative pour le calcul de u et v.

Corollaire 3 Si u = v alors l’application g possède un seul point fixe u.

Preuve : On remarque tout d’abord que si u = v alors l’ensemble des points fixes de g2 n’est formé que d’un seul élément u. La proposition 8 nous montre que u ∈ P_g et v ∈ Q_g, on en déduit naturellement que si les deux éléments sont confondus alors ils forment un point fixe de

g. En outre, les points fixes de g sont aussi point fixes de g2 et puisque g2 ne possède qu’un point fixe alors u est l’unique point fixe de g.

Fig. 1.3: Diagramme de Hasse représentant les ensembles Q_g, P_g, F_g et F_g2 d’une application antitone g.

¤

Exemple 11 En reprenant l’application définie dans l’exemple 10, on obtient

g2(>) = a g2(a) = a

g2(b) = a g2(c) = ε

g²(d) = a g²(ε) = ε,

d’où F_g2 = {a, ε}. En accord avec la proposition 8 et le corollaire 2, les éléments u et v sont

définis par v = a et u = ε.

La figure 1.3 représente un treillis D et illustre les structures que peuvent prendre les ensembles Q_g, P_g, F_g et F_g2 lorsque g est une application antitone.

Systèmes (max, +)-linéaires

La classe des systèmes à événements discrets que nous étudions ici est celle qui met en jeu des phénomènes de synchronisation et de parallélisme. Ceux-ci se rencontre régulièrement dans les systèmes de production [Cohen et al., 1983], les systèmes de transport [Braker, 1993] [Lotito et al., 2005] et les systèmes informatiques [Boudec and P., 2001].

L’objectif de ce chapitre est de proposer un survol de la modélisation et de la commande des systèmes qui peuvent être appréhendés comme des systèmes linéaires sur la structure algébrique de dioïde.

Nous montrons tout d’abord qu’une sous-classe particulière des réseaux de Petri (voir [David and Alla, 1989] ou [Murata, 1989] pour un exposé plus complet sur les réseaux de Petri), les Graphes d’Événements Temporisés (GET), fournit une représentation graphique pertinente des systèmes considérés dans notre étude. On présente deux mises en équations des GET qui conduisent toutes deux à des modèles linéaires mais dans des dioïdes différents.

Ensuite, on se ramène à un modèle mathématique couramment utilisé par l’automaticien : la représentation d’état linéaire. Les conditions initiales de ces systèmes sont également évoquées. Ces systèmes disposent également d’une représentation entrées-sorties que nous décrivons.

Puis nous introduisons le dioïde Max

inJγ, δK dans lequel les trajectoires associées aux évé-nements sont manipulés comme des séries formelles. L’intérêt réside dans le fait que l’on peut alors représenter ces systèmes par leur fonction de transfert.

Ce chapitre se termine par un survol de la commande des systèmes (max, +)-linéaires. Nous exposons les commandes élaborées en les distinguant suivant le critère considéré, les objectifs de commande désirés et la structure de commande adoptée.

Fig. 2.1: Exemple de graphe d’événements temporisés.

2.1 Mise en équations de graphes d’événements temporisés