Application : sph´ero¨ıdes inter-p´en´etrables al´eatoirement dispers´es

suppos´es plus repr´esentatifs d’un mat´eriau granulaire que les exemples pr´ec´edents. La phase solide est constitu´ee de sph´ero¨ıdes (ellipso¨ıdes avec sym´etrie de r´evolution), dispos´es et orient´es al´eatoirement selon une loi isotrope. Les grains sph´ero¨ıdaux sont autoris´es `a s’inter-p´en´etrer afin de former un squelette solide. Au sein d’une r´ealisation, les sph´ero¨ıdes sont tous identiques pour

0.001 0.01 0.1 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 erreurrelativesurK11

rayon

Fig. 2.8: Erreurs relatives sur la perm´eabilit´e d’un r´eseau cubique de sph`eres, par rapport aux r´esultats de r´ef´erence de Sangani et Acrivos [87]. Comparaison des calculs par FFT sur une grille de 64³ (⊙) ou 128³ (), des r´esultats de Jung et Torquato [53] (∗) et Wiegmann [105] sur une grille de 40³ (+) ou 240³ (×).

simplifier l’´etude param´etrique. Le mat´eriau est p´eriodique, c’est `a dire qu’un grain qui intersecte la fronti`ere du VER est continu´e par p´eriodicit´e de l’autre cˆot´e du VER. Les r´ealisations de microstructures pr´esent´ees dans cette section comprennent entre 100 et 600 grains. `A la diff´erence de la section de validation, les sph´ero¨ıdes sont “brutalement” voxelis´es et la viscosit´e de r´ef´erence est choisie ´egale `a la viscosit´e du fluide. `A l’aide du logiciel d’analyses d’images 3D ImageJ⁶, les connexit´es de la phase solide et de la phase fluide sont syst´ematiquement v´erifi´ees. De nouveau, seule la translation d’ensemble de la phase solide doit ˆetre bloqu´ee, et on choisit donc d’imposer des gradients de pression pour ne pas devoir optimiser de multiplicateurs de Lagrange.

Un exemple de r´ealisation est illustr´e Fig. 2.9 pour des sph´ero¨ıdes prolates (allong´es) avec un rapport d’aspect de 2. Cette r´ealisation, discr´etis´ee sur une grille de 256³ voxels, contient 200 sph´ero¨ıdes prolates de demi-grand axe 32 voxels et demi petit-axe 16 voxels. Au regard de la section de validation Fig.2.8, la discr´etisation est ainsi suffisament fine pour obtenir une estimation de la perm´eabilit´e avec une erreur de l’ordre du pourcent. La porosit´e de la r´ealisation est de 44.1%. La composantev₁ du champ de vitesse optimal illustr´ee Fig. 2.9correspond `a un calcul avec une viscosit´e de fluideµ= 1, un gradient de pression macroscopique impos´eα=e<sub>1</sub> et une taille physique de la cellule de p´eriodicit´e ´egale `a 1. Dans ce syst`eme d’unit´e, la borne surK₁₁ est 1.432×10⁻⁴.

De tels calculs posent la question de la repr´esentativit´e : les domaines simul´es contiennent ils assez de grains ? En toute rigueur, pour r´epondre `a cette question, une ´etude statistique sur de nombreuses r´ealisations devrait ˆetre men´ee pour une porosit´e fix´ee, avec des domaines de plusieurs tailles. `A cause des limitations de m´emoire vive des ordinateurs dont nous disposons (4Go), nous sommes restreints `a des grilles de discr´etisation de≈300³ voxels. Si nous voulons garder la mˆeme finesse de discr´etisation, ne pouvons malheureusement pas pousser l’´etude sur des domaines de tailles beaucoup plus grandes que dans l’exemple ci-dessus.

En d´epit de cette question, une ´etude syst´ematique est men´ee pour estimer l’influence du rap-port d’aspect des grains sur la perm´eabilit´e. Trois raprap-ports d’aspects de sph´ero¨ıdes sont ´etudi´es : 1 (sph`ere), 5 (prolate) et 1/5 (oblate). Pour comparer la perm´eabilit´e d’un milieu compos´e de sph`eres p´en´etrables `a celle d’un milieu compos´e de sph´ero¨ıdes p´en´etrables, on d´ecide que toutes les particules ont le mˆeme volume. Par ailleurs, toutes les valeurs des perm´eablit´es pr´esent´ees dans la suite sont normalis´ees par le carr´e du rayon dessph`eres. Les grilles de discr´etisation sont

6imagej.nih.gov/ij/

(a) phase solide (b) vitesse

Fig.2.9: Milieu granulaire de synth`ese (a) La phase solide, en gris est compos´ee de 200 prolates (rapport d’aspect 2). (b) Composante v<sub>1</sub> du champ de vitesse optimal pour une grille de 256<sup>3</sup> voxels. Les zones de tr`es faible vitesse sont transparentes.

de 240³ voxels, le rayon des sph`eres est d’environ 23,4 voxels, et la taille des oblates et prolates fix´ee afin que toutes ces particules aient le mˆeme volume.

Dans cette ´etude, 90 r´ealisations de milieux compos´es de sph`eres p´en´etrables ont ´et´e simul´ees : 10 r´ealisations de 200 sph`eres, 10 r´ealisations de 250 sph`eres, ..., 10 r´ealisations de 600 sph`eres.

De mˆeme, 110 r´ealisations de milieux compos´es de sph´ero¨ıdes prolates (resp. oblates) avec un rapport d’aspect de 5 (resp. 1/5) ont ´et´e simul´ees : 10 r´ealisations de 100 prolates (resp. oblates), etc..., jusqu’`a 600 grains. Pour chacune de ces 310 r´ealisations, trois calculs sont men´es (α=e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub> ete<sub>3</sub>) pour d´eterminer le tenseur de perm´eabilit´e. Chaque calcul implique 240<sup>3</sup>×6≈83.10<sup>6</sup> degr´es de libert´e et environ 500 it´erations avant d’atteindre le crit`ere de convergence du solveur gradient conjugu´e.

Les r´esultats sont pr´esent´es Fig.2.10. Pour chaque r´ealisation, on ne montre que la moyenne des termes diagonaux du tenseur de perm´eabilit´e. Si une tendance nette apparaˆıt pour chacun des trois types de grains, les r´esultats montrent une dispersion relativement importante. Dans l’id´eal, il aurait fallu simuler des domaines contenant plus de grains. Remarquons que pour l’ho-mog´en´eisation de la perm´eabilit´e le VER doit ˆetre plus grand que pour l’hol’ho-mog´en´eisation des modules en ´elasticit´e lin´eaire. En effet, pour les mˆemes r´ealisations, en attribuant un comporte-ment ´elastique lin´eaire isotrope aux grains solides avec un module de compressionκ_s= 1 et un coefficient de Poisson ν_s = 0,25, les calculs par la m´ethode FFT pr´esent´ee dans [20] montrent que le module de compression homog´en´eis´e Fig. 2.11 pr´esente une dispersion beaucoup plus faible. Une observation approfondie du champ de vitesse Fig. 2.9montre que l’´ecoulement ne se fait que par tr`es peu de passages pr´ef´erentiels, ce qui peut expliquer la dispersion importante des r´esultats en perm´eabilit´e.

Les perm´eabilit´es pr´esent´ees Fig.2.10suivent tout de mˆeme une tendance bien marqu´ee. Pour le choix de correspondance entre la taille des sph´ero¨ıdes et des sph`eres qui est fait ici (mˆeme volume), les assemblages de sph`eres sont les plus perm´eables et les assemblages d’oblates les moins perm´eables. Ces calculs permettent aussi de montrer que les bornes ´etablies au chapitre 1 pour les assemblages de sph`eres p´en´etrables surestiment tr`es fortement (environ un ordre de grandeur) les r´esultats num´eriques. Ce fait est remarquable, car les bornes pr´esent´ees au chapitre1 comportent tout de mˆeme une information statistique riche (fonctions de corr´elation

`

a trois points). Au contraire, en ´elasticit´e lin´eaire, les fractions volumiques seules (fonctions

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

p er m ´ea b il it ´e

porosit´e

Prager [78](1.72) Weissberg et Prager [104](1.91) Doi [31](1.75) Berryman et Milton [11](1.87) Kuwabara [59] (3.28) K^v

Happel [47] (3.28) K^m

Fig.2.10: Perm´eabilit´e intrins`eque de sph`eres ou sph´ero¨ıdes inter-p´en´etrables. Pour la m´ethode FFT ; ronds verts : sph`eres, triangles rouges : prolates avec rapport d’aspect 5, carr´es bleus : oblates avec rapport d’aspect 1/5. Courbes grises : bornes sup´erieures pour des sph`eres in-terp´en´etrables. Courbes vertes : estimations pour des sph`eres non p´en´etrables. La perm´eabilit´e est normalis´ee par le carr´e du rayon des sph`eres, tous les grains ayant le mˆeme volume.

de corr´elation `a un point) permettent souvent d’attendre une pr´ecision de l’ordre de quelques pourcents.

Ces remarques illustrent un fait bien connu : la perm´eabilit´e est une grandeur physique beaucoup plus sensible `a l’organisation de la microstructure que la raideur ´elastique.

A titre d’ouverture, remarquons Fig.` 2.10que les estimations propos´ees par Kuwabara [59]

et Happel [47] pour la perm´eabilit´e d’un assemblage de sph`eres imp´en´etrables (mais fixes) sont bien plus proches des r´esultats num´eriques que les bornes du chapitre1. Partant de ce constat, le chapitre3 a notamment pour but d’´etendre ces estimations aux grains avec une orientation privil´egi´ee.

Trois remarques pour conclure ce chapitre :

1 La m´ethode FFT de discr´etisation et optimisation de la polarisation peut ˆetre d´eclin´ee pour le cadre variationnel simplifi´e (2.36). L’id´ee est la mˆeme : explorer les espaces de champs de force constants par voxels sur la phase solide et nuls sur la phase fluide. L’optimisation des degr´es de libert´e conduit alors `a l’inversion d’une matrice sym´etrique mais non d´efinie positive, qui correspond simplement `a l’application de l’op´erateur de Green d’ordre 2 (mˆeme dans le cas de multiples particules avec translation et rotation ind´ependantes !).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

κ

/κ

porosit´e

Fig. 2.11: Module ´elastique de compression homog´en´eis´e κ^hom pour les r´ealisations dont la perm´eabilit´e est pr´esent´ee Fig. 2.10. La phase solide est ´elastique lin´eaire isotrope avec un module de compression κ_s = 1 et un coefficient de Poisson ν_s = 0,25. Pour la m´ethode FFT ; ronds verts : sph`eres, triangles rouges : prolates avec rapport d’aspect 5, carr´es bleus : oblates avec rapport d’aspect 1/5. Courbes vertes : sch´ema auto-coh´erent avec des sph`eres.

Une impl´ementation de cette m´ethode a ´et´e r´ealis´ee, tr`es similaire `a celle pr´esent´ee ici et beaucoup plus simple en pratique. Les tests de cette m´ethode simplifi´ee ont montr´e qu’elle permet effectivement de donner des bornes sur la perm´eabilit´e, comparables bien que l´eg`erement sup´erieures `a celles obtenues par la m´ethode de polarisation. Chaque it´eration est plus rapide

`

a calculer et le nombre de degr´es de libert´e r´eduit puisque l’on discr´etise un champ de tenseur d’ordre 1 (la force) au lieu d’un champ de tenseur d’ordre 2 (la polarisation).

L’inconv´enient de cette m´ethode simplifi´ee est que le syst`eme `a inverser est mal conditionn´e et le nombre d’it´erations pour converger 10 `a 20 fois plus ´elev´e que pour la m´ethode bas´ee sur la polarisation. La raison fondamentale est que le champ de force optimal est singulier : il comporte une distribution de forces surfaciques `a l’interface solide-fluide, qui ne peut pas bien ˆetre captur´ee par une discr´etisation en champs constants par voxel. Num´eriquement, on observe ainsi une concentration du champ de force sur les voxels qui bordent l’interface solide fluide.

Il est int´eressant de remarquer que cette “distribution” de force surfacique n’est pas constante, contrairement au champ test (1.73) propos´e par Doi [31] pour ´etablir la borne (1.75). La m´ethode simplifi´ee peut donc ˆetre aussi vue comme une source d’inspiration pour chercher une nouvelle forme analytique de champ de force test.

2 Les applications potentielles du cadre variationnel de Hashin et Shtrikman (2.33) et (2.29) ne se cantonnent ni aux m´ethodes num´eriques, ni aux conditions aux limites p´eriodiques. Tout comme dans le chapitre1, on peut envisager de construire des bornes en utilisant des champs de force et de polarisation tests analytiques. Cependant, au regard des propri´et´es de (anti-)sym´etrie des op´erateurs de Green d’ordre 3 et 4, on pressent que le champ de polarisation constant sur la phase solide optimum est ... nul.

3 Une des applications les plus int´eressantes de la m´ethode FFT est son utilisation sur des microstructures voxelis´ees r´eelles obtenues par des techniques d’imagerie tridimensionnelle. Pour les g´eomat´eriaux `a grains fins, les micro-tomographes actuels, qui ont une r´esolution de l’ordre de 0,25µm, ne permettent pas de r´esoudre les pores. Les techniques d’imagerie par un microscope

´electronique `a balayage coupl´e `a des ablations par faisceau ionique (FIB/SEM) permettent de descendre `a une r´esolution de 10nm. Avec cette r´esolution, les pores d’un calcaire `a grains fins sont bien r´esolus [74] et ainsi qu’une fraction des pores dans les mat´eriaux argileux (c.f. th`ese de Yang Song, LML, 2014).

Outre l’obtention d’images de qualit´e, suffisamment r´esolues et convenablement align´ees, plusieurs probl`emes se posent. Comment segmenter la phase de pores ? Cette ´etape est bien sou-vent beaucoup plus complexe qu’un simple seuil sur le niveau de gris des images et requiert une v´eritable expertise. Ainsi, bien que disposant des images 3D brutes du r´eseau poreux de la craie de Haubourdin pr´esent´ees dans [74], nous n’avons pas ´et´e en mesure de r´ealiser une segmenta-tion satisfaisante. Par exemple, pour un plan de secsegmenta-tion donn´e, il est difficile de diff´erencier la phase solide de la section en cours de la phase solide qui est vue par transparence `a travers les pores, qui correspond `a d’autres plans : une segmentation trop brutale aurait alors tendance `a remplacer une partie du pore par du solide.

Enfin, lorsque la microstructure est prˆete `a ˆetre utilis´ee par la m´ethode FFT, comment g´erer les conditions aux limites ? En effet, la sensibilit´e aux conditions aux limites est beaucoup plus grande en perm´eabilit´e qu’en ´elasticit´e lin´eaire : une reproduction p´eriodique de la microstructure qui, elle, ne l’est pas, peut compl`etement ou partiellement couper les passages pr´ef´erentiels de circulation du fluide. Pour palier ce probl`eme, avan¸cons deux pistes. La premi`ere est d’ajouter une couche de fluide (d’´epaisseur `a d´eterminer) sur la face du domaine orthogonale au gradient de pression, `a la mani`ere d’un essai exp´erimental de mesure de perm´eabilit´e. La deuxi`eme est de consid´erer une reproduction sym´etrique de la structure dans les 3 directions de l’espace et d’appliquer les conditions aux limites p´eriodiques sur cette structure sym´etris´ee. Il faudrait alors exploiter les propri´et´es de sym´etrie de l’´ecoulement et des transform´ees de Fourier pour ne pas devoir utiliser 2³ fois plus de degr´es de libert´e, au prix d’une plus grande complexit´e de l’impl´ementation num´erique.

* *

*

Estimations microm´ ecaniques de la perm´ eabilit´ e

R´esum´e :L’objet de ce chapitre est de proposer des estimations analytiques ou semi analytiques de la perm´eabilit´e d’un milieu poreux. Dans un premier temps, l’inad´equation des sch´emas d’ho-mog´en´eisation classiques bas´es sur le probl`eme d’Eshelby est soulign´ee. D`es lors, les estimations se basent sur la d´efinition de cellules perm´eables ´equivalentes et leur utilisation dans un sch´ema auto-coh´erent. La perm´eabilit´e ´equivalente est d´etermin´ee par la r´esolution d’un probl`eme auxi-liaire sur une cellule compos´ee de solide et de fluide dans un domaine born´e, dont la g´eom´etrie est adapt´ee au milieu poreux d´ecrit. Une cellule `a g´eom´etrie sph´erique est d’abord pr´esent´ee, avec prise en compte du glissement `a l’interface solide-fluide. Ensuite, des g´eom´etries cylindriques

`

a section elliptique ou sph´ero¨ıdales sont consid´er´ees pour tenter de capturer les effets d’ani-sotropie des grains solides. Des r´esolutions exactes (lorsque possible) et des encadrements par des m´ethodes ´energ´etiques des probl`emes auxiliaires sont ´etablies `a l’aide de diverses m´ethodes comme l’utilisation de la repr´esentation de Papkovich-Neuber combin´ee aux harmoniques en co-ordonn´ees sph´ero¨ıdales ou les transformations conformes du plan complexe et le d´eveloppement en s´erie enti`ere des fonctions holomorphes. L’utilisation des cellules perm´eables ´equivalentes est enfin illustr´ee pour la mod´elisation de l’effet Klinkenberg et de la perm´eabilit´e relative.

Sommaire

3.1 Sch´emas bas´es sur une inclusion dans un milieu infini . . . . 48 3.1.1 Sch´emas bas´es sur le probl`eme d’Eshelby . . . . 48 3.1.2 Sch´emas bas´es sur l’´ecoulement de Stokes autour d’une particule . . . . 51 3.2 Cellules perm´eables ´equivalentes sph´eriques . . . . 53 3.2.1 Probl`eme(s) auxiliaire(s). . . . 53 3.2.2 Perm´eabilit´e ´equivalente du motif morphologique sph´erique . . . . 54 3.3 Cellules ´equivalentes cylindriques de section elliptique . . . . 57 3.3.1 Description g´eom´etrique de la cellule ´equivalente . . . . 57 3.3.2 Repr´esentation par les potentiels complexes . . . . 58 3.3.3 Exemple : ´ecoulement entre deux cercles concentriques . . . . 59 3.3.4 Transformation conforme de Joukowski . . . . 60 3.3.5 Perm´eabilit´e de la cellule ´equivalente elliptique . . . . 61 3.4 Cellules ´equivalentes sph´ero¨ıdales. . . . 62 3.4.1 Description g´eom´etrique de la cellule ´equivalente . . . . 62 3.4.2 Ecoulement axisym´etrique´ . . . . 65 3.4.3 Ecoulement tridimensionnel´ . . . . 68 3.4.4 Encadrements de la perm´eabilit´e ´equivalente . . . . 70

45

3.4.5 Discussion : effet des conditions aux limites . . . . 71 3.4.6 Perm´eabilit´e d’assemblages de grains anistropes inter-p´en´etrables . . . . 76 3.5 Estimations bas´ees sur l’´ecoulement de Poiseuille . . . . 78 3.5.1 Ecoulement de Poiseuille avec glissement aux parois . . . . 78 3.5.2 D´efinition d’une cellule perm´eable ´equivalente. . . . 79 3.6 Mod´elisation de l’effet Klinkenberg . . . . 80 3.6.1 Mod`ele bas´e sur l’´ecoulement de Poiseuille. . . . 80 3.6.2 Mod`ele bas´e sur les cellules perm´eables ´equivalentes sph´eriques . . . . 82 3.7 Perm´eabilit´e relative et pression de perc´ee . . . . 83 3.7.1 Mod`ele bas´e sur l’´ecoulement de Poiseuille. . . . 84 3.7.2 Mod`ele bas´e sur les cellules perm´eables ´equivalentes sph´ero¨ıdales ? . . . . . 87

Au chapitre 2ont ´et´e pr´esent´es un cadre variationnel et une m´ethode num´erique pour l’ho-mog´en´eisation de la perm´eabilit´e qui empruntent des concepts initialement introduits dans le cadre de l’homog´en´eisation de l’´elasticit´e lin´eaire. Il est alors tentant de continuer `a pousser l’analogie entre ces deux domaines pour ´etablir des estimations microm´ecaniques analytiques de la perm´eabilit´e.

Cependant, l’homog´en´eisation de la perm´eabilit´e et celle de l’´elasticit´e pr´esentent des diff´erences fondamentales. En ´elasticit´e lin´eaire, les lois de comportement ont la mˆeme nature aux ´echelles micro et macro : la loi de Hooke. Au contraire, pour la perm´eabilit´e, l’´ecoulement est d´ecrit `a l’´echelle micro par les ´equations de Stokes ; tandis qu’`a l’´echelle macro il est d´ecrit par la loi de Darcy. Par ailleurs, dans un probl`eme d’homog´en´eisation les conditions aux limites cin´ematiques sont lin´eaires par rapport `a la position (ξ =E·z) en ´elasticit´e, alors qu’elle sont uniformes en vitesse (v =V) en perm´eabilit´e. De plus, pour la perm´eabilit´e les conditions aux limites sont de natures diff´erentes aux deux ´echelles. `A l’´echelle microscopique, les conditions aux limites sur une surface sont imposables sur toutes les composantes du vecteur vitesse ou du vecteur contrainte σ·n, tandis qu’`a l’´echelle macroscopique les conditions aux limites sont uniquement imposables sur la pression ou sur le fluxv·nde la vitesse. Enfin, l’´ecoulement micro fait intervenir une condition d’annulation de la vitesse ou de glissement `a l’interface solide-fluide.

L’homog´en´eisation de la perm´eabilit´e implique donc d’une part unchangement d’ordre tensoriel dans les grandeurs reli´ees par les lois de comportement, d’autre part uneinterversion du rˆole des champs statiques et cin´ematiques. Enfin, l’homog´en´eisation de la perm´eabilit´e fait intervenir un rapport de tailles caract´eristiques : de par la condition d’adh´erence, la taille caract´eristique de fluctuation de la vitesse est la taille des pores, tandis celle de fluctuation du gradient de pression est gouvern´ee par la structure macroscopique de l’´ecoulement. Ainsi, la perm´eabilit´e varie avec le carr´e de la taille des pores, tandis que les modules ´elastiques ne font pas intervenir de taille caract´eristique en l’absence d’effets d’interface.

D`es lors, certaines id´ees `a la base des sch´emas d’homog´en´eisation classiques en ´elasticit´e (Hooke→Hooke) ou en perm´eabilit´e pure (Darcy→Darcy) ne sont plus appropri´ees pour l’ho-mog´en´eisation Stokes→Darcy de la perm´eabilit´e. La section 3.1 illustre l’inad´equation d’une transposition directe des sch´emas d’homog´en´eisation bas´es sur le probl`eme d’Eshelby. Une des raisons principales est que ce type de sch´ema bas´e sur la solution d’un probl`eme avec conditions aux limites report´ees `a l’infini ne permet pas de rendre compte de la distance caract´eristique de variation de la vitesse dans les pores. Or, tandis que les modules ´elastiques ne d´ependent pas d’une taille caract´eristique, la perm´eabilit´e y est tr`es sensible comme mentionn´e ci dessus.

Pour tenir compte de la taille des pores, il faut alors d´efinir un probl`eme auxiliaire sur un motif morphologique qui d´ecrit de mani`ere simplifi´ee la g´eom´etrie `a l’´echelle d’un pore et/ou

Pour tenir compte de la taille des pores, il faut alors d´efinir un probl`eme auxiliaire sur un motif morphologique qui d´ecrit de mani`ere simplifi´ee la g´eom´etrie `a l’´echelle d’un pore et/ou