Dans cette section, nous développons une application numérique de nos résultats, où nous fixons la fonction de coût à
c(a) =||a||22 (3.42)
ce qui correspond aux pertes Joules. Nous supposons de plus que le besoin en terme de puissance du consommateur suit une loi uniforme sur S, et nous étudions l’influence de différents para-mètres de notre problème.
Dans la suite, nous considérons que T = 2, c’est-à-dire que le consommateur a deux intervalles de temps et un besoin spécifique pour chaque intervalle.
29. Il est par exemple possible d’utiliser la Toolbox Matlab MPT (http://people.ee.ethz.ch/~mpt/3/) qui implémente cela.
3.4. Application numérique
3.4.1 Influence du biais b
Tout d’abord, nous illustrons le fait que même si un équilibre mixte existe pour tout nombre de messages M, il peut arriver que des cellules de la partition d’équilibre dégénèrent et que seule-ment un nombre fini borné de messages soit utilisé à l’équilibre. En Figure3.5, nous représentons pour le cas scalaire T = 1 le nombre de cellules qui ne dégénèrent pas à l’équilibre, c’est-à-dire le nombre de cellules qui ont un volume supérieur à 1% du volume total de la partition. Nous voyons que plus b est grand, plus le nombre de cellules maximal qui ne dégénèrent pas est petit, ce qui
nous permet de retrouver le résultat de [27] sur la taille maximale d’une partition d’équilibre.
Lorsque b tend vers 0, cette taille maximale augmente et la partition d’équilibre tend vers une discrétisation très fine de l’ensemble des besoins du consommateur.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40
Nombres de celulles dans la partition
Nombres de cellules utilisées (volume > 1% du volume total)
b = 0.01 b = 0.05 b = 0.1
Figure 3.5 – Nombre de cellules utilisées : pour trois valeurs du paramètre b différentes
(b ∈ {0.01, 0.05, 0.1}), nous représentons le nombre de cellules qui ne dégénèrent pas à l’équilibre en fonction du nombre de cellules total dans la partition d’équilibre. Une cellule ne dégénère pas si son volume est supérieur à 1% du volume total de la partition.
Deuxièmement, nous comparons les utilités espérées du consommateur et de l’agrégateur par rapport au cas sans communication, qui correspond à une partition d’équilibre avec un seul élément, et donc un seul message, ce qui ne donne pas d’information. Cette référence est très
importante car l’équilibre sans communication30
existe toujours et correspond au minimum que les agents peuvent atteindre. Nous voyons que les utilités des deux agents sont croissantes avec la taille de la partition : les agents préfèrent donc avoir le plus d’information possible. De plus, la présence d’une asymptote montre également qu’à partir d’une certaine taille de partition, augmenter le nombre de cellules n’amènent plus à des gains significatifs. Ce qui illustre bien la différence avec la quantification classique, pour laquelle augmenter le nombre d’éléments dans la partition amènera toujours à une utilité plus importante.
1 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Nombre de cellules dans la partition d’équilibre
Gains relatifs
Utilité relative Consommateur / b = 0.01 Utilité relative Aggregateur / b = 0.01 Utilité relative Aggregateur / b = 0.05 Utilité relative Consommateur / b = 0.05
Figure 3.6 – Gains relatifs des agents : en fonction de la taille de la partition, nous traçons
les utilités du consommateur et de l’agrégateur moyennées par l’utilité obtenue via une stratégie sans communication (ou de manière équivalente pour la partition d’équilibre à un élément). Ces utilités sont représentées pour deux valeurs du paramètre b : b ∈ {0.01, 0.05}.
3.4.2 Exemple de partitions et actions associées
Nous supposons ici que la capacité totale de charge du consommateur est de 22 kWh31
. Une
illustration d’une partition d’équilibre pour M = 5 messages est donnée en Figure 3.7. Nous
avons choisi b = 0.01. Ce paramètre étant petit, les actions choisies par l’agrégateur se trouvent très proche du centre des cellules auxquelles elles appartiennent, ce qui se rapproche du modèle de quantification vectorielle.
Nous montrons maintenant l’influence de la valeur du paramètre b sur la valeur des actions choisies par l’agrégateur. Nous considérons en Figure3.8les valeurs suivantes : b ∈ {0.01, 0.05, 0.1}, et l’équilibre partitionnel de taille M = 3. Comme nous le voyons, plus b augmente, plus les ac-tions de l’agrégateur ont tendance à se rapprocher de (0, 0). En effet, l’augmentation du paramètre b traduit le fait que, pour l’agrégateur, le coût réseau (représenté par la fonction c) a de plus en plus d’importance par rapport au besoin du consommateur. Ce coût augmentant, l’agrégateur donnera de moins en moins de puissance de charge au consommateur. De plus, quelque soit b, pour cette configuration nous observons à chaque fois trois profils similaires : une action don-nera une charge faible et égale sur les deux intervalles de temps (pour b = 0.05, le carré rouge correspondant à 4kWh en abscisse et en ordonnée), une action donnera une charge élevée sur le premier intervalle et une charge faible sur le deuxième (pour b = 0.05, le carré rouge corres-pondant à 11kWh en abscisse et 4.5kWh en ordonnée), et une dernière action donnera l’inverse
3.5. Conclusion du chapitre
Figure 3.7 – Exemple de partition d’équilibre en dimension 2 : nous représentons une
partition d’équilibre pour M = 5 messages. Le simplexe est découpé en 5 cellules, les croix représentent les actions associées à chaque cellule de la partition d’équilibre, qui correspondent à deux charges effectives pour les deux intervalles de temps. Par exemple, si le consommateur envoie le message associé à la cellule grise, l’agrégateur lui donnera 4kWh sur le premier intervalle de temps et 3.5kWh sur le deuxième intervalle de temps. Pour cette illustration, le paramètre b vaut 0.01.
(pour b = 0.05, le carré rouge correspondant à 4.5kWh en abscisse et 11kWh en ordonnée). Si on augmente le nombre de messages disponibles, ce type de profils pourra toujours exister, mais d’autres apparaîtront de sorte que l’ensemble réalisable sera « quadrillé » plus finement.
3.5 Conclusion du chapitre
Dans ce chapitre, nous avons considéré un modèle simple de communication sans coût entre deux agents et avec une asymétrie d’information. Le point central de ce modèle est l’hypothèse d’utilités distinctes entre les deux agents, ce qui amène à étudier le problème d’un point de vue stratégique. Une des différences fondamentales avec la quantification est que toutes les ressources de communication ne sont pas utilisées pour des stratégies d’équilibre. Nous avons de plus une méthodologie pour obtenir de manière numérique les stratégies d’équilibre et les utilités associées pour des dimensions relativement grandes.
Ce travail peut être généralisé sur beaucoup d’aspects, comme par exemple d’autres fonctions d’utilité, d’autres croyances sur la distribution de probabilité de l’état, ou un nombre d’agents plus important. Néanmoins, le cadre étudié est général et permet d’établir de nouvelles connexions
entre le modèle de jeu de signaux [27] et la quantification, et ouvre de nouveaux challenges qui
concernent la généralisation de la quantification vectorielle à des utilités distinctes ainsi que le problème général de codage de source et de codage canal quand l’encodeur et le décodeur n’ont pas la même utilité. De plus, le modèle est réaliste et permettra d’obtenir des résultats
numé-Figure 3.8 – Charges effectives versus biais (dimension 2) : le paramètre b appartient à {0.01, 0.05, 0.1}. Nous représentons les trois actions (de dimension 2) de l’agrégateur à l’équi-libre en fonction du biais b, pour un besoin de charge sur deux intervalles de temps pour le consommateur.
riques intéressants pour de grandes dimensions, que nous avons illustré ici en dimension deux. Cette façon de communiquer permet de penser les futurs réseaux de distributions d’électricité de manière nouvelle et d’utiliser les ressources de communication de manière optimale. Par exemple, un scénario pratique typique modélise le besoin du consommateur sur un intervalle de temps de douze heures avec une prise de décision toutes les trente minutes.
Chapitre 4
Transformation d’une structure
d’observation arbitraire à l’aide d’un
encodeur
« I shall look at you out of the corner of my eye, and you will say nothing. Words are the source of misunderstandings. »
– Citation du Renard, Le Petit Prince (1943), Antoine de Saint-Exupéry.
Dans ce chapitre, nous considérons un système avec un nombre d’agents quelconque supé-rieur à deux, qui jouent un jeu répété sur un grand nombre d’étapes. Au contraire des chapitres précédents, nous n’imposons pas de structure d’observation particulière et nous supposons que les agents observent les actions passées des autres agents via une structure d’information quel-conque. Le problème que nous considérons ici est de savoir comment transformer cette structure d’observation quelconque en une autre structure d’observation qui permet de caractériser les utilités d’équilibre du jeu répété associé au système. Pour cela, nous nous demandons comment concevoir un encodeur qui permettrait à tous les agents d’obtenir une nouvelle structure d’ob-servation. Nous nous concentrerons ici sur une structure qui garantit l’observation parfaite pour tous les agents des actions passées des autres agents. Cet encodeur, qui connaitra parfaitement les actions de tous les agents, aura pour but de compenser les erreurs que subissent les agents sur les observations des actions des autres agents. Nous cherchons à trouver le taux minimal qui garantit cela tout en étant robuste aux déviations d’un agent. Cela fera apparaître une nouvelle contrainte d’information.