Application aux mots Sturmiens

∩ Am =^\ n∈_N (L(G_n)∩ Am) =    \ n∈_N m≤n L(G_n)∩ Am    | {z } =Lm(u) par le point(ii) ∩    \ n∈_N m>n L(G_n)∩ Am    | {z } ⊇Lm(u) par la Remarque 3.4 =L_m(u). Ainsi, on obtient L=L(u).

3.1.1 Application aux mots Sturmiens

Rappelons qu'un mot binaire inni u est dit Sturmien si sa fonction de complexité en facteurs est telle que p(n) =n+ 1 pour tout n∈_N.

Les graphes de Rauzy des mots Sturmiens peuvent être caractérisés. Une description de ceux-ci va être développée dans cette section.

Lemme 3.11. Les mots Sturmiens sont récurrents.

Démonstration. Procédons par contraposition. Considérons un mot inni u non récurrent. Par dénition, il existe un facteurwdeuapparaissant un nombre ni de fois dansu. Ainsi, il existe une dernière occurrence de w dans u. Décomposons le mot u en préxe et suxe apparaissant avant et après cette occurrence. On le note

u=u⁰wv

où u⁰ ∈ A^∗, v ∈ AN et w /∈ L(v). En particulier, si l'on note n = |w|, étant donné que

L(v)⊆L(u)mais que w∈L(u)\L(v), on a p_v(n)< p_u(n).

Si le mot v est ultimement périodique, on a v =tz^ω avec t, z ∈ A⁺. Ainsi, on obtient

u=u⁰wtz^ω =t⁰z^ω

où t⁰ =v⁰wt et u est également ultimement périodique. La fonction de complexité en fac-teurs p_u deu est donc bornée et u n'est pas Sturmien.

Dans le cas contraire, par le Théorème 2.2 de Morse et Hedlund, la fonction de com-plexité en facteurs p_v dev est strictement croissante, c'est-à-dire

n+ 1 ≤p_v(n)< p_u(n)

Lemme 3.12. Soient un mot Sturmien u et un nombre naturel n. Le mot u a exacte-ment un facteur spécial à gauche de longueurn et un facteur spécial à droite de longueur

n. De plus, le mot u contient au plus un seul facteur bispécial de longueur n et dans le cas de son existence, il est neutre.

Démonstration. La fonction de complexité en facteurs deuest telle que p(n) =n+ 1pour tout n ∈_N. Ainsi, pour tout n ∈ _N, les première et secondes diérences s(n) etb(n) sont respectivement égales à

s(n) = p(n+ 1)−p(n) = n+ 2−(n+ 1) = 1

et

b(n) =s(n+ 1)−s(n) = 1−1 = 0.

Or, par le Lemme 3.11, le mot u étant récurrent, on a LS_n⁰(u) = LSn(u) et

BS_n⁰(u) =BS_n(u). Ainsi, par le Théorème 2.21, on a

1 = s(n) = ^X w∈RSn(u) (d⁺(w)−1), et 1 = s(n) = ^X w∈LSn(u) (d⁻(w)−1).

Dès lors, étant donné que le mot u est binaire et récurrent, dans les égalités précédentes, les termes de chaque somme sont égaux à 0 ou à 1. On en déduit qu'il n'y a qu'un seul facteur spécial à droite de longueur n et un seul facteur spécial à gauche de longueur n

dans u. Ensuite, remarquons que le mot u n'a au plus qu'un seul facteur bispécial, cela a lieu lorsque les facteurs spéciaux à droite et à gauche coïncident. Dans ce cas, il est nécessairement neutre. En eet, par le Théorème 2.21, nous avons

0 = b(n) = ^X w∈BSn(u)

m(w).

Ainsi, si nous notons w⁰ l'unique facteur bispécial de w, on a 0 =m(w⁰).

Dénitions 3.13. Un sous-graphe d'un graphe G = (V, E) est un graphe G⁰ = (V⁰, E⁰)

déni tel que V⁰ ⊆V et E⁰ =E∩(V⁰×V⁰).

Une composante fortement connexe d'un graphe orienté G = (V, E) est un sous-graphe

G⁰ = (V⁰, E⁰) de G où V⁰ est un sous-ensemble maximal de sommets de V tel que, pour tous u, v ∈V⁰, il existe un chemin allant deu à v.

Lemme 3.14. Pour tout n ∈_N, le graphe de Rauzy G_n d'ordre n d'un mot inni u

récurrent est fortement connexe.

Démonstration. Considérons deux n÷uds v, w∈G_n. Par dénition, les n÷udsv etw sont des facteurs de longueur n de u. Dès lors, vu que u est récurrent, les facteurs v et w

apparaissent une innité de fois dans u. Le mot u peut donc être décomposé comme suit :

u=u0wu1vu2wu3vu4· · · .

Considérons le mot z =vu₂w∈L(u). On a

|z|=|vu₂w|=|v|+|u₂|+|w|=n+|u₂|+n= 2n+|u₂| ≥n.

Ainsi, il existe un chemin de longueur |z| −n =n+|u₂| dans G_n débutant dans le n÷ud correspondant au préxe de longueur n de z et aboutissant dans le n÷ud correspondant au suxe de longueur n dez. Or, par dénition, les préxes et suxes de longueur n dez

sont respectivement v et w. De la même façon, le facteurz⁰ =wu₁v permet de démontrer l'existence d'un chemin de w à v dans Gn.

Remarquons que si le mot u n'est pas récurrent, il contient un préxe exceptionnel

u⁰. Dès lors, si l'on note n =|u⁰|, il n'existe aucun arc aboutissant dans le n÷ud du graphe de Rauzy Gn lui correspondant, car il n'existe aucune lettre a ∈ A telle que au⁰ soit un facteur de longueur n+ 1 deu.

Proposition 3.15. Soient un mot Sturmien u, un entier naturel n ainsi que v et w

les uniques facteurs de u de longueur n spéciaux à gauche et à droite respectivement. Le graphe de Rauzy G_n est de l'une des deux formes suivantes :

• Si v = w, alors G_n est composé de deux boucles disjointes autour du n÷ud cor-respondant à v =w.

• Si v 6=w, alors G_n a trois branches : une reliant v à w et deux reliant w à v. Démonstration. Étant donné que le facteur v (resp. w) est un facteur spécial à gauche (resp. à droite) du mot binaire u, il est représenté dans le graphe G_n par un n÷ud ayant un degré entrant (resp. sortant) égal à2. On a

et .

Par le Lemme 3.11, le motuest récurrent et il ne peut donc pas y avoir de facteur ayant une valence à gauche égale à 0. Dans le graphe de Rauzy, cela se traduit par le fait qu'aucun n÷ud ne peut avoir un degré entrant nul. De plus, le Lemme 3.14 stipule que le grapheG_n

• Si v = w, tout n÷ud de G_n à l'exception de w a un degré entrant égal à 1 et un degré sortant égal à 1. De plus, le facteur w est bispécial car il a des degrés entrant et sortant égaux à deux.

.

Ainsi, l'unique façon de connecter les n÷uds deG_nest de créer deux boucles disjointes autour de w. En eet, en débutant dew, nous aboutissons dans un autre n÷udw⁰ en utilisant son unique arc entrant. Pour en sortir nous utilisons son unique arc sortant. Ainsi, nous dirons que ce n÷ud w⁰ est condamné. En sortant de w⁰ nous suivons le même procédé pour chaque n÷ud visité diérent de w. Vu que le graphe G_n est fortement connexe, ce chemin aboutit de nouveau dansw. Ainsi, lorsque nous arrivons de nouveau dans w, nous avons condamné une partie des n÷uds et créé une boucle autour dew. Or, les seconds arcs entrant et sortant dewdoivent obligatoirement être utilisés. Dès lors, nous pouvons réitérer le procédé en utilisant le second arc sortant dewjusqu'à l'utilisation, par connexité, de tous les n÷uds deG_net le retour dansw. Qui plus est, cette boucle est disjointe de la première, étant donné que les sommets de la première boucle furent condamnés.

• Siv 6=w, alors le n÷ud v, ayant un degré entrant égal à 2 et un degré sortant égal à 1, est distingué du n÷ud w, ayant un degré entrant égal à 1 et un degré sortant égal à 2. On a

et .

Il existe dès lors deux façons de connecter v et w. En eet, rappelons que comme précédemment, les autres n÷uds ont un degré entrant et un degré sortant égaux à 1 et considérons un arc sortant du n÷udw. Par le même procédé, nous allons condamner des n÷uds diérents de w etv jusqu'au moment où nous revenons soit à v soit à w. Considérons le premier cas. Nous avons donc créé une branche de w à v et devons sortir de v par son unique arc sortant. Si nous aboutissons de nouveau dans v après le parcours d'autres n÷uds diérents de w, alors il n'y aura aucun arc dev àw et le grapheG_n n'est pas connexe, ceci est absurde par le Lemme 3.14. Ainsi, nous créons une branche de v à w. Ensuite, nous sortons du n÷ud w et devons utiliser les arcs restants, en particulier l'arc entrant dans le n÷ud v. Dès lors, le parcours se termine env en ayant créé une nouvelle branche dewàv. En conclusion, cette première façon consiste à relier v à w et ensuite de relier les deux arcs sortants de w au deux arcs entrants de v.

Considérons maintenant le second cas qui consiste à créer une première boucle en w. Nous devons continuer le parcours en utilisant le second arc sortant de w. Le sommet

w est dès lors condamné car tous ses arcs ont été utilisés. Ainsi, nous allons aller de

w à v et ensuite créer une boucle en v. Ce parcours n'admet donc aucun chemin de

Cette technique de caractérisation des graphes de Rauzy des mots Sturmiens pour-rait être adaptée à d'autres mots dont la fonction de complexité en facteurs adopte certaines formes particulières. Lorsque la première diérence s est connue, il existe un nombre ni de possibilité de graphes de Rauzy correspondants. Une étude similaire des graphes de Rauzy est faite dans l'article [1] et l'article de conférence [5] dans le cas où la fonction de complexité en facteurs est telle que lim

n→+∞ p(n)

n = 1.