Application à l’adaptation de maillage

Approximation d’une fonction

Nous reprenons l’exemple du chapitre précédent paragraphe 3.5.2, page 63. Le maillage est adapté à une fonction à l’aide de métriques obtenues en utilisant l’estimation d’erreur [Hec08] présenté au chapitre 3 pour les dérivées d’ordre trois. Les dérivées troisièmes sont approchées par la méthode des moindres carrés et les métriques sont construites à l’aide de l’algorithme décrit au chapitre 3.

load "MetricKuate" load "deriveestroisieme" mesh Th=square(5,5,[(x−0.5)*2,(y−0.5)*2]); real x0,y0,c=2.,coef=10,cc=10; fespace Vh(Th,P1); fespace Wh(Th,P2); fespace Ph(Th,P0);

func f = tanh(c*(sin((5*y))−(2 * x)))+ (y*x*x)+ pow(y,3); for(int i=1;i<10;i++) { Vh fxxx,fxxy,fxyy,fyyy; derivee3MC(Th,f,[fxxx[],fxxy[],fxyy[],fyyy[]]); Vh m11,m12,m22; Wh f2=f; func err=(fxxx*x0*x0*x0+3*fxxy*x0*x0*y0 +3*fxyy*x0*y0*y0+fyyy*y0*y0*y0)*coef; MetricKuate(Th,150,0.0001,3,err,[m11[],m12[],m22[]],[x0,y0]); Th=adaptmesh(Th,cc*m11,cc*m12,cc*m22,IsMetric=1, hmin=0.00001,nbvx=1000000);

cout<<m11[].max<<" "<< m12[].max <<" "<< m22[].max <<endl; plot(Th,wait=0,ps="Th.eps"); plot(f2,wait=0,ps="isoD3cal.eps"); Ph eh = (abs(f2−f)); Ph leh= log10(eh); real[int] viso=[−9,−8,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1]; plot(leh,fill=1,wait=0,viso=viso,value=1,ps="lehD3cal.eps"); cout<<i<<"...."<<eh[].min<<" "<<eh[].max<<" "<<eh[].sum/eh[].n

<<" "<<int2d(Th)(eh)/Th.area<<" "<<Th.nt<<" "<<Th.nv<<endl; }

Les figures 4.1 et 4.3 montrent que les résultats sont comparables à ceux obtenus en utilisant les dérivées troisièmes exactes (figure 4.2). Malgré l’instabilité numérique constatée dans l’exemple précédent, ces résultats peuvent se justifier par le fait que le schéma est beaucoup plus précis à l’intérieur du domaine que sur la frontière. La différence entre les deux manières de prendre les valeurs de la fonction n’est pas très perceptible sur les figures 4.1 et 4.3 car la tendance générale est la même dans les deux cas, comme l’a montré l’exemple précédent.

Cependant, lorsque l’on se restreint à l’interpolée P1 éléments finis de la fonction

et que l’on prend les valeurs aux sommets et aux milieux des arêtes, le résultat est très peu précis comme le montre la figure 4.4. Ce qui est en conformité avec les résultats observés lors du calcul des dérivées.

IsoValue -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

FIG. 4.1 – Maillages adaptés en utilisant les dérivées troisièmes approchées par

moindres carrés avec valeurs prises aux sommets et iso-valeurs de l’erreur .

IsoValue -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

FIG. 4.2 – Maillages adaptés en utilisant les dérivées troisièmes exactes et iso-valeurs

IsoValue -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

FIG. 4.3 – Maillages adaptés en utilisant les dérivées troisièmes approchées avec valeurs

prises aux sommets et aux milieux des arêtes et iso-valeurs de l’erreur.

IsoValue -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

FIG. 4.4 – Maillages adaptés en utilisant les dérivées troisièmes avec valeurs prises aux

sommets et aux milieux des arêtes pour l’interpolée linéaire de la fonction et iso-valeurs de l’erreur .

riquement garantie que pour l’interpolation polynomiale de degré supérieur ou égale à trois. La résolution numérique d’EDP par éléments finis P3n’est pas très courante. Il ne

nous paraît donc pas primordial d’implémenter cette méthode pour la reconstruction de dérivées troisièmes.

4.3 Conclusion

Nous avons étudié la reconstruction de dérivées troisièmes par la méthode des moindres carrés. Sur l’exemple présenté, on a constaté un effet de l’anisotropie du maillage sur certaines dérivées troisièmes quant-à la consistance du schéma numérique. Les résultats numériques obtenus montrent que la méthode est moins stable pour le calcul des déri- vées troisièmes que pour celui de la matrice hessienne, lorsque les ordres de grandeur du pas de maillage sont les mêmes. Ce comportement nous semble lié aux ordres de grandeur des composantes de la matrice du système résolu par moindres carrés dans chacun des cas. Il reste à trouver des moyens de résoudre ces problèmes numériques.

Chapitre 5

Estimations d’erreur d’interpolation

de Lagrange

Sommaire

5.1 Introduction . . . 91 5.2 Interpolation Pn−1Lagrange d’un polynôme de degré n . . . 91

5.2.1 En dimension deux d’espace . . . 95 5.2.2 En dimension trois d’espace . . . 96 5.3 Estimation de l’erreur d’interpolation de Lagrange sur un simplexe 97 5.3.1 Evaluation de l’estimateur . . . 100 5.4 Conclusion . . . 104

5.1 Introduction

Les calculs effectués au chapitre précédent pour trouver une reconstruction des dé- rivées troisièmes par la méthode des moindres carrés ont soulevé des problèmes de convergence numérique de cette technique. Notamment sur des séquences de maillages anisotropes ayant un coefficient d’anisotropie variable. Des pertes de consistance ont été observées suivant l’anisotropie du maillage en corrélation avec l’anisotropie de la fonction.

Nous n’avons trouvé aucune référence dans la littérature en matière de reconstruc- tion des dérivées troisièmes pour comparer. Les problèmes soulevés par ces calculs sug- gèrent d’étudier davantage les estimateurs d’erreur d’interpolation de troisième ordre. Nous proposons dans ce chapitre une étude encore à l’état théorique des estimations d’erreur d’interpolation.

Nous présentons une caractérisation des normes Lp _{et H}1_{de l’erreur d’interpolation}

de Lagrange d’un polynôme de degré n par un polynôme de degré n − 1 sur des d- simplexes non dégénérés en dimension d quelconque.

En suite, nous proposons une estimation de l’erreur d’interpolation pour les éléments finis de Lagrange sur un simplexe. Estimation obtenue avec un développement de Taylor à l’ordre 3 sans calcul direct des dérivées troisièmes, en particulier pour l’interpolation de degré deux.

Cette nouvelle estimation d’erreur d’interpolation est faite dans le but d’amélio- rer la précision de l’estimateur d’erreur d’interpolation basée sur la matrice hessienne [Ala03] obtenue par un développement de Taylor à l’ordre deux. Cette dernière n’étant justifiée formellement que pour l’interpolation linéaire, notre nouvel estimateur est des- tiné à traiter directement les cas d’adaptation de maillage où la solution approchée de l’EDP est obtenue par éléments finis de Lagrange de degré deux, en se servant d’un cal- cul de matrice hessienne, moins coûteux et mois instable numériquement que le calcul des dérivées troisièmes présenté au chapitre précédent. Surtout en dimension trois où l’on passe d’un système linéaire à 9 inconnues pour la matrice hessienne à un système linéaire à 19 inconnues pour les dérivées troisièmes.