Figure 5.1 – Photographie de l’essai Bennewart de fatigue-flexion
Figure 5.2 – Schéma de l’essai Bennewart + éprouvette en flexion (zone hachurée)
Figure 5.3 – Représentation schématique de l’essai Bennewart symétrisé – Le centre du repère est le
centre de la rotule M.
Figure 5.4 – Schéma de la semelle en flexion sur l’essai Bennewart
Figure 5.5 – Plan de la pièce support constitutive de l’essai Bennewart sur laquelle est collée la jauge
de contrainte
Figure 5.6 - Mesure de la force résultante engendrée par l’empilement de plaques sollicitée en
flexion sur l’essai Bennewart avec la cellule mise en place
– Cartographie des déformations de Green Lagrange E
11Figure 5.9 - Calcul par éléments finis d’une semelle ‘parallélépipédique’ testée sur l’essai Bennewart
Introduction générale
Ce mémoire de thèse est consacré à l’étude des points suivants :
Modélisation du comportement hyperélastique incompressible-viscoélastique-endommageable d’un caoutchouc styrène butadiène SBR chargé en silice
Modélisation hyperélastique compressible-viscoélastique d’une polyuréthanne cellulaire Etude de l’influence des charges de silice sur le renforcement et l’endommagement Etude du comportement en fatigue du SBR chargé de silice
Contexte industriel
Ce travail de thèse a été initié grâce à un contrat (CIFRE) entre le Centre Technique du Cuir, de la Chaussure et de la Maroquinerie (CTC) et le Centre des Matériaux de L’Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris (CDM). Il s'intègre dans un projet plus global concernant la mise en œuvre d'un outil de conception de semelle de chaussure. Cet outil doit permettre de prévoir le comportement et la tenue en fatigue d’une semelle. Il fait intervenir un code de calcul par éléments finis associé à un post-processeur. Il a pour but d’assurer l'optimisation de la phase de conception d'une chaussure.
Les géométries critiques conduisant à l’endommagement prématuré de la semelle seront écartées après un essai ‘virtuel’ de fatigue. Le nombre de prototypes et d’essais mécaniques devrait être sensiblement réduit. Le test actuellement utilisé dans le milieu industriel de la chaussure pour tester sa capacité à résister à
l’amorçage d’une fissure en fatigue est un test de flexion. Ses conditions limites sont censées se rapprocher de la flexion du pieds. Il est appelé l’essai Bennewart – Fig. 1 - et sera souvent mentionné au cours de ce
mémoire.
Notons que l’instrumentation de cet essai a été entreprise au cours de la thèse. Il est désormais possible de mesurer la force résultante sur la semelle.
Figure 1 – Photographie de l’essai Bennewart de fatigue-flexion
fissure
propagée
‘corrosif’, ou sous des radiations U.V. Bref, nous ne nous intéressons pas au vieillissement de ces matériaux. Le mémoire de thèse présente les résultats obtenus sur deux types d’élastomères : un caoutchouc styrène butadiène chargé de silice dit SBR et un polyuréthanne réticulé cellulaire dit PU.
Plus généralement, il fournit une méthodologie de travail aboutissant à la modélisation du comportement et à l’établissement d’un critère de durée de vie sur un matériau donné.
Les lois de comportement et les critères d’endommagement en fatigue identifiées sur les matériaux cités plus haut peuvent être recalés sur d’autres matériaux élastomères.
Contexte scientifique
La demande industrielle du Centre Technique du Cuir, qui vise à modéliser le comportement d’une semelle élastomère et à prévoir sa durée de vie à l’amorçage d’une fissure s’intègre dans la thématique de recherche du groupe Comportement des Polymères, dirigé par R.Piques et co-dirigé par L.Laiarinandrasana pour la partie numérique, du Centre des Matériaux.
L’équipe a déjà travaillé sur la modélisation hyperélastique d’élastomères et sur le comportement en fatigue de caoutchouc naturel chargé de noir de carbone [André, 1998]. Cette étude est donc tout à fait dans la continuité des recherches.
Les atouts essentiels de ce travail sont l’élargissement des possibilités de modélisation numérique du
comportement des élastomères. Des lois de comportement hyperélastique-viscoélastique-endommageable ont en effet été mises en œuvre dans le code de calcul ZéBuLoN développé au Centre des Matériaux dans le cadre de ce travail. Cette étude à également conduit à l’amélioration des connaissances de l’influence des charges de silice sur le renforcement et l’endommagement du matériau.
Démarche scientifique
L’expérience développée au laboratoire dans les dix dernières années ainsi que la prise en compte de la demande industrielle nous ont permis de proposer la démarche suivante:
- identification d'une loi de comportement
La loi permet de calculer l'état local de contrainte et de déformation dans une structure sollicitée (semelle, éprouvette axisymétrique de fatigue)
L'identification de la loi est faite à partir d'essais simples de traction et de compression. Les trajets de chargements sont variables, les vitesses également.
Sa validité est ensuite testée par la modélisation d’essais plus complexes tels que la sollicitation en traction-compression et en torsion d’éprouvettes axisymétriques entaillées.
- identification d'un critère de durée de vie
Le critère de durée de vie à l’amorçage d’une fissure est établi à partir de la corrélation entre un état de contrainte (ou de déformation) et un nombre de cycles à l'amorçage d'une fissure.
Les essais d'endurance sont effectués sur des éprouvettes axisymétriques entaillées sollicitées en traction-compression et en torsion. Ces essais nous permettent d'imposer des chargements variés aux matériaux. La synthèse des résultats fait apparaître les paramètres mécaniques influant sur l’amorçage d’une fissure. Elle met donc en avant les critères mécaniques pertinents pour décrire l’endommagement en fatigue des matériaux. Ces deux étapes de travail conduisent, d’une part, à la connaissance de l’état de contrainte et de déformation, à partir de la loi de comportement identifiée, et d’autre part, à l’estimation du nombre de cycles à l'amorçage d’une fissure en fonction du chargement mécanique local, grâce au critère défini.
Idéalement, la mise en place d’une loi de comportement adaptée et d’un critère de durée de vie pertinent doit donc permettre de prévoir la durée de vie de la structure semelle testée sur l'essai Bennewart.
Une attention particulière est portée sur l’influence des charges de silice contenus dans le SBR sur le comportement et sur l’endommagement de ce matériau.
Plan
Le mémoire résume les étapes essentielles qui ont permis d’aboutir à l’objectif décrit.
La première étape concerne la modélisation du comportement mécanique. Elle a nécessité un travail important : caractérisation du comportement mécanique et identification des lois de comportement. Une grande partie du rapport lui est donc attribué.
La seconde étape concerne le comportement en fatigue des matériaux.
Les éléments de bibliographie spécifiques et nécessaires à la description du travail et à la discussion des résultats se trouvent dans les parties discutées elles-mêmes.
CHAPITRE 1 –
Propriétés physico-chimiques du SBR chargé de silice et du PU cellulaire
La composition et la microstructure des matériaux est intéressante à étudier. Leurs connaissances permet de préciser certaines propriétés physiques ou mécaniques.CHAPITRE 2 -
Comportement mécanique – Résultats expérimentaux
Un large gamme d’essais mécaniques simples est effectuée :- Traction uniaxiale - Compression uniaxiale - Compression eudiométrique - Traction plane
Les trajets de chargements sont variables : - Chargement monotone
- Relaxation
- Chargement cyclique Les vitesses varient également.
Ces essais permettent d’identifier des loi des comportement adaptées au SBR et au PU.
Des essais mécaniques mettant en jeu des sollicitations plus complexes sont également décrits. Ils permettent de valider la loi de comportement.
Une étude complémentaire est menée sur l’influence des charges de silicecontenues dans le SBR. Leur influence sur le comportement mécanique est étudiée. Le rôle qu’elles jouent dans l’endommagement du matériau est également observé à travers des essais mécaniques et des essais de traction in situ menés sur le SBR.
Deux annexes sont consacrées à l’étude de l’influence de la mise en forme sur les comportements du SBR et du PU. L’étendue de la dispersion du comportement selon la mise en forme (calandrage, moulage, injection) permet de confirmer ou d’infirmer la possibilité de calculer, par éléments finis, la réponse d’une éprouvette de SBR injectée avec une loi de comportement identifiée à partir du comportement des plaques calandrées de ce même matériau.
CHAPITRE 3 –
Modélisation du comportement mécanique
Quelques modèles qui nous semblent adaptés à la description du comportement du SBR charge de silice et du PU cellulaire sont présentés :
- Modèles hyperélastiques incompressibles (cas du SBR) et compressibles (cas du PU) - Modèles d’endommagement (cas du SBR)
- Modèles élasto-plastiques (ou plasto-élastiques) - Modèles viscoélastiques
Deux approches de modélisation de la viscoélasticité ont été mises en pratique : l’approche par intégrale héréditaire et l’approche par variables internes.
Les modèles hyperélastiques incompressibles et compressibles, un modèle d’endommagement et deux approches viscoléastiques sont alors mis en oeuvre dans le code de calcul développé au Centre des Matériaux (code ZéBuLoN [Zset, 1998]). Les modèles plastiques ne sont pas considérés dans le cadre de ce travail. L’identification des paramètres des lois adaptées au SBR et au PU est alors menée.
Elle s’appuie sur les résultats de traction et compression uniaxiale (monotone, cyclique et de relaxation). La démarche consiste à étudier l’influence des paramètres sur les valeurs des contraintes simulées, à choisir les essais mécaniques représentatifs, et à optimiser successivement les paramètres des lois.
La validation de la loi consiste à simuler des essais complexes. Les éprouvettes axisymétriques faiblement et fortement entaillées sont sollicitées en traction-compression et torsion. Le matériau qui constitue l’éprouvette subit donc un chargement multiaxial. Les valeurs globales mesurées expérimentalement sont alors comparées aux valeurs globales obtenues avec le calcul par éléments finis des éprouvettes.
CHAPITRE 4 - Comportement en endurance du SBR chargé de silice
De nombreux essais de fatigue sont effectués sur deux types d’éprouvettes axisymétriques entaillées (faiblement et fortement). Ils permettent de solliciter les matériaux dans des conditions différentes. Deux paramètres varient : l’élongation maximale imposée au matériau et l’élongation moyenne.
Les faciès de rupture et plus particulièrement les zones d’amorçage sont observées. Ce travail nous donne des informations précieuses sur les mécanismes d’endommagement et sur l’influence des charges ou des défauts de surface. La dispersion importante des résultats peut alors être expliquée.
La totalité des essais d’endurance est ensuite synthétisée sur différents diagrammes de fatigue. Cette synthèse fait apparaître les paramètres mécaniques critiques de l’endommagement du matériau en fatigue. Le critère de durée de vie à l’amorçage d’une fissure peut alors être déterminé.
CHAPITRE 5 – Application industrielle : l’essai Bennewart ‘virtuel’
Ce chapitre applique les résultats mis au point au cours des chapitres précédents à l’essai de flexion sur semelles que constitue l’essai Bennewart.
Une étude cinématique est tout d’abord nécessaire pour connaître le chargement global appliqué à la semelle à travers cet essai.
La machine est ensuite instrumentée. La force résultante sur la semelle peut être mesurée. Cet essai devient alors un outil quantitatif pour étudier le comportement cyclique et la résistance à la fatigue des matériaux élastomères.
Ne disposant pas de semelles constituées des matériaux que nous avons étudiés, nous testons alors des éprouvettes parallélépipédiques.
Liste des notations utilisées
Notations tensorielles
A
tenseur d'AlmansiC
tenseur droit de Cauchy-Green ou tenseur des dilatationsB
tenseur gauche de Cauchy-GreenE
tenseur de Green-LagrangeF
tenseur gradient de la transformation ou application linéaire tangenteF
e partie élastique de la décomposition multiplicative du tenseur gradient de la transformationF
a partie anélastique de la décomposition multiplicative du tenseur gradient de la transformationD
tenseur eulérien de vitesse de déformation.
E
tenseur lagrangien de vitesse de déformationH
tenseur de KirchoffK
tenseur de Piola-Kirchoff 1 ou tenseur de BoussinesqS
tenseur de Piola-Kirchoff 2 ou tenseur de Piola-LagrangeS
e partie élastique du tenseur de Piola-Kirchoff 2S
a partie anélastique du tenseur de Piola-Kirchoff 2T
tenseur de CauchyNotations scalaires
Cij coefficients d’élasticité de la loi de Rivlin généralisée C0 configuration initiale
Ct configuration actuelle
d variable de dommage
d terme de saturation du dommage e énergie interne par unité de masse
E module d’Young
E1 déformation nominale de Green Lagrange Enorm max déformation normalisée maximale
Enorm min déformation normalisée minimale
Epmax déformation de Green Lagrange principale maximale de Green Lagrange
fa paramètre de la loi de dissipation - loi viscoélastique (approche par variables internes) f0 pourcentage volumique de porosité
gi paramètres ‘poids des temps de relaxation’ - loi viscoélastique (approche fonctionnelle) G(t) terme de relaxation du module de cisaillement
I1 1er invariant du tenseur des dilatations I2 2ème invariant du tenseur des dilatations I3 3ème invariant du tenseur des dilatations
K1 contrainte nominale (mixte, de Piola-Kirchoff n°1) K contrainte de Piola-Kirchoff n°1
K(t) terme de relaxation du module de compressibilité mi coefficients d’élasticité de la loi de Mooney Mc masse molaire moyenne entre nœuds Ni nombre de cycles à l’amorçage d’une fissure r apport volumique de chameur
R rapport de charges
V/V0 variation de volume W potentiel hyperélastique
Enorm amplitude de déformation normalisée
EII second invariant du tenseur amplitude de déformation Knorm amplitude de contrainte normalisée
terme d’évolution du dommage élongation nominale
coefficient de Poisson
température
i paramètres ‘temps de relaxation’ - loi viscoélastique (approche fonctionnelle) dissipation volumique d’énergie
Chapitre 1
Propriétés physico-chimiques
du SBR chargé de silice
et du PU cellulaire
Ce premier chapitre décrit les matériaux de l’étude d’un point de vue physico-chimique. Il commence par une brève
introduction sur les élastomères. Les rappels indispensables à la bonne compréhension du travail sont faits.
Les matériaux que nous étudions sont ensuite situés dans le domaine plus vaste des matières utilisées pour
fabriquer les semelles de chaussures.
Le troisième paragraphe s’attache à la description du premier type de matériau étudié : le caoutchouc styrène
butadiène (SBR) de la nuance A (nuance la plus étudiée) : composition, microstructure. Il présente également les
différentes géométries d’éprouvettes qui seront utilisées lors de la caractérisation de son comportement mécanique,
ainsi que leur mise en forme respective.
Le quatrième et dernier paragraphe décrit le deuxième type de matériau étudié : le polyuréthanne réticulé cellulaire
PU de nuance A.
L’annexe 1A décrit les microstructures et les compositions des deux autres nuances de SBR : les nuances B et C. Rappelons que la nuance B est dite de qualité ‘supérieure’ et la nuance C de qualité ‘inférieure’, selon la classification du fournisseur. La nuance A, la plus étudiée, est de qualité ‘intermédiaire’.
1.1 - Les élastomères – Généralités
Les élastomères appartiennent à la famille des thermodurcissables ou hauts-polymères. Ils sont généralement définis comme étant des polymères réticulés qui présentent un état caoutchoutique à la température ambiante, très supérieure à la température de transition vitreuse (Tg) du polymère.
A une température inférieure à Tg, l’élastomère est dans l’état vitreux : les chaînes sont figées les unes par rapport aux autres. Ces interactions proviennent des liaisons de type Van des Waals et hydrogène, dont les énergies sont respectivement de l’ordre de 4 kJ/mol et de 20 à 40 kJ/mol.
A une température supérieure à Tg, ces liaisons sont détruites. Les chaînes sont donc souples et non figées les unes par rapport aux autres. Les nœuds de réticulation empêchent toutefois l’écoulement. Un nouvel état de la matière est ainsi défini : l’état caoutchoutique [Flory et al., 1943], [Verdu, 1997].
Enfin, à très haute température, le matériau se dégrade.
Les particularités physiques décrites ci-dessus conduisent à un comportement mécanique particulier aux élastomères : l’élasticité entropique. Le matériau déformé présente une énergie d’origine entropique très supérieure à son énergie interne. Ainsi, la force de rappel est due à la diminution d’entropie (l’alignement des chaînes entraîne la diminution du nombre de conformations possibles) et non à l’augmentation de l’énergie interne. Prenons l’exemple d’un élastomère étiré. Si l’on augmente la température, la force de rappel augmente. En d’autres termes, la température permet au matériau de retrouver un état d’entropie plus élevé : les chaînes se replient sur elles-mêmes et la force de rappel augmente. Notons que ce comportement peut être modifié par l’ajout de charges [Clément, 1999].
La composition d’un élastomère industriel est souvent complexe et tenue secrète. On trouve en général, en plus du polymère initial, des charges (0 à 95%), un agent de réticulation, souvent le soufre et éventuellement un péroxyde, un activateur (souvent l’oxyde de zinc), un accélérateur, des
plastifiants (souvent d’origine pétrolière), des agents de protection ( rôle vis à vis de l’oxygène, de l’ozone, de la lumière, ..), etc…[IFOCA, 1990]. L’agent de vulcanisation permet de créer des nœuds chimiques (par liaisons covalentes) entre les chaînes polymères de façon à former un réseau
tridimensionnel. Les charges peuvent être renforçantes, semi-renforçantes ou diluantes (inertes). Le caractère renforçant varie avec la nature de la charge, sa taille, sa morphologie, mais aussi ses interactions physiques et chimiques avec la matrice.
Des additifs particuliers sont ajoutés dans les polyuréthannes tels des catalyseurs, des agents tensioactifs (pour la fabrication des mousses), des agents d’expansion, des extenseurs de chaînes.
1.2 - Les élastomères dans les semelles
Les matériaux utilisés dans les semelles doivent être capables de subir de façon réversible des déformations importantes, de résister au fluage en compression, aux coupures dues à la flexion de la semelle et à l’abrasion [Zanni, 1995]. Ils doivent également résister aux UV, au vieillissement par l’ozone et par l’oxygène, et aux agressions chimiques.
Outre le cuir, deux types de matériaux répondent au cahier des charges :
- les thermoplastiques : PVC (polychlorure de vinyl) , TR (segments alternés de polybutadiène ou polyisoprène et polystyrène) , EVA (éthylène - vinyle acétate ), …
- les thermodurcissables : NR (natural rubber) , SBR (butadiene styrene rubber) , CR (polychloroprene rubber) , NBR (butadiene-acrylonitrile rubber), …
La première classe de matériaux est peu résistante à la thermoabrasion car les chaînes polymères ne sont pas réticulées. La deuxième classe présente des propriétés mécaniques plus intéressantes. C’est à cette dernière qu’ appartiennent les matériaux sélectionnés pour cette étude. Il s’agit d’un caoutchouc styrène butadiène (SBR) chargé de silice et d’un polyuréthanne réticulé (PU) de densité 0.6.
1.3 - Le SBR chargé de silice
Le caoutchouc styrène butadiène (SBR) est utilisé de façon courante pour la fabrication des semelles de chaussures de ville.
Trois nuances de caoutchouc Styrène Butadiène chargé ont été choisies et étudiées. Ces trois nuances sont appelées SBR A (SBR 32860), SBR B (SBR 32963), SBR C (SBR 32726.18). La nuance A est spécifiée par le fournisseur de qualité et de coût courants et moyens, la nuance B de qualité et de coût supérieurs, la nuance C de qualité et de coût inférieurs.
Le travail a porté essentiellement sur la nuance « moyenne » : la nuance A. C’est cette nuance qui est décrite dans le mémoire. Les résultats obtenus sur les deux autres nuances (essais mécaniques, identification des lois de comportements) sont détaillés dans les annexes du mémoire.
Généralités
La formule développée de la chaîne polymère correspond à une alternance de groupes styrène et butadiène. Elle s’écrit :
-(CH
2-CH)
x--- (CH
2-CH=CH-CH
2)
y-
Ce polymère subit une réaction de vulcanisation par le soufre, à une température d'environ 180°C. Le matériau obtenu est alors constitué d'un réseau tridimensionnel de chaînes polymères reliées entre elles par des nœuds chimiques. Ces pontages se font grâce au soufre.
La littérature indique que la température de transition vitreuse (Tg) du SBR est de l’ordre de –50°C. Les liaisons rencontrées dans la chaîne sont de type covalent. Leur énergie est de l’ordre de 400 kJ/mol. Ces chaînes peuvent être coupées par l’oxygène, par l’ozone ou par la température. La liaison simple C --- C est en rotation libre. Les chaînes peuvent ainsi avoir différentes conformations. De plus, les liaisons faibles de type hydrogène n’existant pas à température ambiante (Tamb>>Tg) entre les chaînes, ces dernières sont flexibles. Ainsi, non étirées, elles forment des pelotes.
La composition des SBR étudiés nous a été tenue secrète. Cependant, l’analyse quantitative par dispersion de longueur d’ondes (WDS) d’une surface représentative (1 mm2) du SBR A fait apparaître la composition suivante – Fig. 1.1 -.
Figure 1.1 – Composition du SBRA - Analyse par WDS d’une zone de 1 mm
2Ces analyses sont rapportées plus précisément à la page 10 de ce mémoire.
Mise en forme
L’étude du comportement mécanique du SBR et de ses propriétés de résistance à l’amorçage d’une fissure en fatigue nécessite la sollicitation de différentes éprouvettes. Le tableau de la Fig. 1.2
schématise les éprouvettes utilisées lors de cette étude, et explicite leur mise en forme. Les ‘lanières’ et