Le probl`eme de l’´eprouvette est un grand classique en m´ecanique, il nous permet de voir le comportement de la m´ethode dans un cas de forte concentra- tion des contraintes et des d´eformations. En s’´eloignant ainsi des probl`emes `a solution r´eguli`ere, on met `a l’´epreuve les capacit´es de l’approche adaptative. En effet, une approche POD classique qui ne contient pas toutes les informa- tions ne marcherait pas dans ce cas. Les dimensions en mm de l’´eprouvette sont donn´ees sur la figure suivante (FIG. 2.4).
Grˆace aux conditions de sym´etrie, nous ne maillerons qu’un huiti`eme de cette ´eprouvette : pour cela, on impose des conditions de sym´etrie sur les
Fig. 2.4 – Dimensions en mm de l’´eprouvette.
bords Xmax, Ymin et Zmin (les d´eplacements selon les normales (resp. U1, U2
et U3 sont nuls). Une pression P (t) est impos´ee sur la surface Ymax. La courbe
de cette pression en fonction du temps sera donn´ee pour chaque cas ´etudi´e. Le probl`eme est repr´esent´e sur la figure (FIG.2.5), ainsi que sa discr´etisation avec les conditions de sym´etrie.
Le maillage est compos´e de 200 ´el´ements quadratiques `a 20 noeuds `a int´egration r´eduite (type c3d20r), et de 1553 noeuds.
Le mod`ele de comportement est ´elastoplastique avec ´ecrouissage isotrope lin´eaire dont la fonction seuil s’´ecrit `a l’aide de la contrainte de von Mises σM ises de la mani`ere suivante.
f (R, σM ises) = σM ises− R, o`u R = Hp + R0 (2.54)
o`u R0 est la limite d’´elasticit´e, p la plasticit´e cumul´ee, et H le module
plastique. Le vecteur param`etres contient les param`etres du mat´eriau : le module d’Young E, le coefficient de poisson ν, le module plastique H et la limite d’´elasticit´e R0. Ceux-ci sont d´efinis dans le tableau TAB. 2.1.
Sur cette ´eprouvette, nous imposons une pression P (t) = 128.8t.
Les param`etres de la m´ethode sont les coefficients ǫR= 0.05 et εP OD = 10−8.
Le domaine d’int´egration r´eduit est constitu´e de tous les ´el´ements en rouge que l’on peut voir sur la figure FIG.2.6
Fig. 2.5 – Maillage d’un huiti`eme de l’´eprouvette et conditions aux limites. ∗ ∗ ∗behavior gen evp
∗ ∗ elasticity isotropic
young 1.987515139180844e + 05 poisson 0.3
∗ ∗ potential gen evp ep ∗flow plasticity ∗criterion mises ∗isotropic linear R0 1.509522960403531e + 02 H 1.923844712160604e + 04 ∗ ∗ ∗return
Tab. 2.1 – D´efinition dans le code de calcul Z´eBuLoN des param`etres mat´eriau du mod`ele.
Nous pouvons trouver en figure (FIG.2.7) un exemple des sept modes em- piriques, et en figure (FIG.2.8), les cinq modes correspondant aux variables internes obtenus apr`es une premi`ere simulation en mod`ele d’ordre r´eduit sur ce mod`ele.
Les courbes de l’effort en fonction du d´eplacement obtenues pour la simu- lation de r´ef´erence ´El´ements Finis et la simulation APHR sont repr´esent´ees en figure FIG.2.9.
Fig. 2.6 – Domaine d’Int´egration R´eduit.
Fig. 2.8 – 5 modes correspondant aux variables internes obtenus apr`es une simulation APHR.
Ce probl`eme servira de fil conducteur tout au long du m´emoire afin d’illustrer les m´ethodes que nous proposerons. Dans les chapitres suivants, les valeurs de R0 et H changeant en fonction du type de simulation, nous pr´eciserons pour
chaque cas les valeurs utilis´ees. De mˆeme, les courbes de traction σ = f (ε) seront donn´ees pour chaque cas.
Mod`ele d’ordre r´eduit ´evolutif
pour une suite de simulations
Soit une suite de m simulations (S1, S2, ..., Sm) permettant d’obtenir une
suite de solutions (u1, u2, ..., um) repr´esentant l’´etat du syst`eme `a diff´erents instants, pour des valeurs du vecteur des param`etres {p}1,...,{p}m.
Effectuer une suite de simulations consiste `a tenir compte des r´esultats ant´erieurs (de u1 `a um−1) pour calculer une approximation de um `a l’aide
d’une base r´eduite compos´ee des vecteurs (ψ(n)k)k=1...s.
Les r´esultats ant´erieurs sont exploit´es pour r´eduire le coˆut de la simulation restant `a faire (Figure 3.1). Nous proposons de construire, au cours de la suite de simulations, un mod`ele d’ordre r´eduit ´evolutif, sans connaˆıtre de base r´eduite au commencement de la suite de simulations.
Fig. 3.1 – Suite de simulations produite avec le Mod`ele D´etaill´e. Remarques
• Dans un premier temps, nous nous limitons `a l’´etude formelle d’une suite de simulations sans que cette suite soit n´ecessairement relative `a un processus d’optimisation.
• Dans un second temps, nous traiterons une suite de simulations dans le cadre de la r´esolution de probl`emes inverses.
3.1
D´efinition d’un temps global
Suite `a un premier calcul ´El´ements Finis (Mod`ele D´etaill´e, not´e MD), nous obtenons une premi`ere r´eponse u1(X , t, {p}1). Nous pouvons effectuer un second calcul Mod`ele D´etaill´e qui donne une seconde r´eponse u2(X , t, {p}2). Une suite de calculs est alors une suite de Mod`eles D´etaill´es. Une r´eponse du syst`eme est ainsi simul´ee. La Figure FIG.3.2 repr´esente une suite de cal- culs produite en cours de processus d’optimisation avec une modification de param`etres.
Fig. 3.2 – Suite de calculs en cours de processus d’optimisation. L’objectif est de traiter l’ensemble des r´esultats de simulations u1`a um−1 comme ´etant un r´esultat s´equentiel global. Il nous semble donc judicieux d’introduire le concept d’un temps global tel que :
u(X , t′) = u
j(X , t′− t′j−1, {p}j), ∀t′ ∈]t′j−1, t′j] (3.1)
avec t′
j = t′j−1+ T o`u T = tf − t0 est la dur´ee d’une simulation.
Remarques
• Une suite de calculs conduit donc `a un axe de temps virtuel : l’in- terpr´etation de cette suite de simulations.
• La continuit´e par rapport `a la variable t′ n’est pas n´ecessaire pour
mettre en œuvre une m´ethode de r´eduction de mod`eles. Notation
Nous allons coupler les notations X(n) (qui d´ecrit une version de l’´etat X
due `a l’adaptation), et Xm (qui d´ecrit un ´etat X lors de la mi`emesimulation),
par la notation X(n,m).
Remarques
Nous avons maintenant le choix entre deux notations pour ´ecrire les r´eponses du syst`eme : um(X , t; {p}m) = k=s X k=1 ψ(n) k (X ) a (n,m) k (t; {p}m) (3.2)
Ou, plus simplement, grˆace `a l’introduction d’un temps global : u(X , t′) = k=s X k=1 ψ(n) k (X ) a (n) k (t ′) (3.3)
Ainsi reformul´e, nous pouvons directement appliquer la m´ethode APHR `a une suite de simulations.