Application aux images de profondeur: lissage optimal

Le critère de lissage optimal permet d'évaluer les différentes possibilités de mise en application des méthodes de lissage.

Lissage sur un domaine borné ou sur un domaine infini

De manière évidente, l'extension de l'IP à un domaine infini, quelle que soit la manière de la réaliser, ne permet pas de satisfaire le

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critère de lissage optimal (on suppose bien sûr que le plan ne soit pas connu a priori). La figure 6.3 en apporte une illustration.

L'autre solution, c'est-à-dire l'application des méthodes de lissage pour un domaine borné, pose le problème de la fixation des conditions de bord. Celles-ci devraient être choisies pour satisfaire le critère de lissage optimal. Mais le choix n'est pas entièrement libre: il faut que le problème mathématique associé à la méthode de lissage soit posé correctement.

Conditions de bord pour E2

Dans le cas de la méthode E2, les conditions de bord peuvent être choisies de sorte à remplir parfaitement le critère d'optimalité qui a été défini. Il suffit d'utiliser les conditions de bord naturelles du problème de variation.

En effet, les conditions (6.15) et (6.16) sont vérifiées dans le cas où ˜f représente un plan. Par conséquent, un signal plan est invariant au lissage et, dans le cas d'un plan bruité de manière additive, le bruit est atténué par le lissage sans que le plan soit distordu.

Conditions de bord pour E1 et D

Le cas des deux autres méthodes ne peut pas être résolu de manière satisfaisante. En effet, pour que le problème lié au lissage soit posé correctement, il faut fixer, sur le bord, les valeurs de la fonction ˜f ou de sa dérivée dans la direction normale au bord. Par conséquent, un plan dont les valeurs au bord ne correspondent pas à ce qui a été fixé n'est pas invariant au lissage. Il n'existe donc pas des conditions de bord telles que le critère d'optimalité soit parfaitement rempli. Il faut se contenter d'une solution sous-optimale.

Solutions habituelles

Elles reposent sur une des deux alternatives suivantes, qui sont illustrées par des exemples pour le cas de la méthode D:

• fixer les conditions de bord à partir d'une valeur constante arbitraire. Par exemple, Ponce et Brady utilisent les conditions de bord adiabatiques (annulation de la dérivée dans la direction normale) [PoBr87]. Cai fixe le coefficient de conduction thermique à une valeur constante [Cai89]. La figure 6.4.b présente le cas des conditions de bord adiabatiques.

Lissage adapté à la détection des discontinuités 127

a) b) c)

Figure 6.4: Bruit résiduel pour différentes conditions de bord: comportement dans la direction normale au bord. (a) Bord fixé aux valeurs du signal non lissé. (b) Conditions adiabatiques. (c) Bord lissé indépendamment.

• fixer les conditions de bord à partir des valeurs du signal non lissé f . Par exemple, Trucco et Fisher fixent le coefficient de conduction thermique en fonction de f [TrFi92]. La figure 6.4.a montre le cas de condition d'égalité avec les valeurs du signal non lissé.

Chacune des alternatives a son inconvénient. Dans le premier cas, on ne peut pas éviter de déformer le signal dans la direction normale au bord. La deuxième solution empêche le lissage dans la direction tangentielle au bord.

Autre solution

La meilleure réponse que nous ayons trouvée au problème consiste à découpler le lissage dans les directions tangentielle et normale au bord. Ce découplage est réalisé de la manière suivante: le bord est traité séparément en tant que domaine unidimensionnel et la fonction unidimensionnelle lissée résultante est imposée comme valeurs de bord pour le signal bidimensionnel lissé ˜f . Voici, pour chacune des

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méthodes D et E1, la formulation mathématique de ces nouvelles conditions de bord.

Conditions de bord pour D

Elles sont imposées par la valeur de la fonction G( s,t )

F ( u,v,t ) = G( s,t ) (6.17) définie sur Γ par l'équation différentielle de diffusion à une dimension ∂t∂ G( s,t )= 1 2 ∂ 2 ∂s2G( s,t ) (6.18)

et la condition initiale d'égalité avec la fonction f

G( s,0 ) = f ( u,v ) (6.19) Conditions de bord pour E1

Elles sont imposées par la valeur de la fonction ˜g

˜f ( u,v) = ˜g( s ) (6.20)

définie sur Γ par le problème de variation

JΓ

[ ]

[ ]

[ ]

(

)

∫

g( s ) = f ( u,v ) (6.23) L'équation d'Euler du problème de variation (6.22)

˜g−λE1

2 d2

ds2 ˜g = g (6.24)

définit un problème équivalent.

Comportement des nouvelles conditions de bord

Les figures 6.4.c et 6.5.c montrent que les conditions de bord que nous proposons permettent un lissage longitudinal au bord sans déformation transversale du signal de source (plan).

On remarque cependant qu'une déformation du signal dans la direction transversale intervient localement, dans les coins du domaine. L'explication en est la suivante. Tant que le bord est rectiligne, le signal unidimensionnel, défini par la valeur du signal de source sur le bord, est une fonction affine. Il est donc invariant au

Lissage adapté à la détection des discontinuités 129 a) profil profil b) c)

Figure 6.5: Bruit résiduel pour différentes conditions de bord: comportement dans la direction tangentielle au bord. (a) Choix des profils. (b) Conditions adiabatiques. On remarque l'erreur importante aux bords gauche et droite, là ou la pente du signal dans la direction perpendiculaire au bord est importante. (c) Bord lissé indépendamment. On remarque une moins bonne atténuation du bruit sur les bords. On remarque aussi une erreur importante dans les coins, due au fait que le coin correspond à un changement de pente du signal unidimensionnel défini par le bord.

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lissage. Cette propriété n'est plus vérifiée dès que le bord forme une courbe. La déformation du signal par le lissage est d'autant plus élevée que la courbe est prononcée.

On remarque d'autre part que le lissage est moins efficace sur le bord.

Nous concluons de l'analyse du comportement de ces nouvelles conditions de bord qu'elles offrent une solution plus proche de la solution optimale que le font les approches habituelles.