2.2 Décomposition fonctionnelle
2.2.7 Application des méthodes de décomposition fonctionnelle
2.2.7.2 Application au cas-test du choc thermique pressurisé
Le cas d’application présenté ici est celui du choc thermique pressurisé (PTS) décrit dans l’intro- duction. Trois variables aléatoires fonctionnelles sont étudiées : les transitoires de température, pression et coefficient d’échange. On considère un échantillon i.i.d. de n = 1000 triplets de transitoires. 1000 réalisations i.i.d. des 10 variables scalaires sont générées. Les 1000 covariables correspondantes, à savoir les critères de sécurité (CS), sont ensuite obtenues en évaluant le code CAST3M avec les 1000 jeux de paramètres (transitoires et variables scalaires). Chacune des trois variables fonctionnelles est décomposée séparément sur les bases présentées dans la section 2.2. La Figure 2.10 présente les RelMSE (critère C1
d)
des transitoires de température (à gauche), pression (au centre) et coefficient d’échange (à droite) en fonction du nombre de composantes dans la décomposition. Pour ce critère, les décompositions ACP et PLS donnent de bien meilleurs résultats que les autres décompositions sur l’ensemble des 3 variables. L’erreur d’approximation de l’ACP ou de la PLS avec 5 composantes est, par exemple, inférieure aux erreurs des ondelettes et paquets d’ondelettes avec 20 composantes. Comme attendu, l’ACP est meilleure que la PLS pour le critère Cd1. Dans la suite du traitement du cas PTS, on s’intéressera donc
5 10 15 20 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 Température Taille de la base d RelMSE ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 5 10 15 20 0.000 0.001 0.002 0.003 Pression Taille de la base d RelMSE ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Sans normalisation Normalisation 1 − maximun Normalisation 2 − écart−type Normalisation 3 − variance Méthode de Perrin et al. (2013)
5 10 15 20 0.0005 0.0010 0.0015 Coefficient d'échange Taille de la base d RelMSE ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
Figure 2.11 – Cas PTS : RelMSE des trois transitoires pour l’ACP simultanée sans normalisation, avec les trois normalisations proposées dans la section 2.2.4.3 et celle obtenue avec la méthode de Perrin et al. (2013).
On s’intéresse plus particulièrement aux décompositions ACP et PLS simultanées puisque l’objectif est de décomposer simultanément les trois variables fonctionnelles dépendantes. De plus, comme dans le cas analytique, on montre dans l’annexe C.1 que les décompositions simultanées (ACPS ou SPLS) permettent de mieux approcher les variables fonctionnelles que les décompositions simples (ACP ou PLS) sur chaque variable à nombre total de composantes égal.
On compare ici les trois mêmes facteurs de normalisation que ceux considérés dans le cas analytique (normalisation par le maximum, la variance et l’écart-type) ainsi que la normalisation obtenue en mini- misant l’erreur quadratique maximale (Perrin et al., 2013). La Figure 2.11 présente la RelMSE des ACPS réalisées avec chaque normalisation et sans normalisation (en bleu). Sans normalisation, le transitoire de pression est beaucoup mieux approché que les deux autres. En effet, l’ordre de grandeur de la pression est 107 alors que l’ordre de grandeur de la température est 102 et celui du coefficient d’échange est 104. L’ACP simultanée avec la normalisation 1 (i.e. la normalisation par le maximum des transitoires) favorise la température. En effet, la courbe de la RelMSE de cette méthode est bien inférieure à celle des autres normalisations pour la température, alors qu’elle est supérieure pour les autres transitoires. Cela s’explique par le fait que les variations entre courbes sont plus importantes sur ce transitoire que sur les deux autres. Les deux autres normalisations par la somme des écarts-types et la racine carrée de la somme des variances diminuent l’importance du transitoire de température. En effet, ces normalisations sont plus grandes pour des variables ayant des variations plus importantes. La normalisation estimée par la méthode de Perrin et al. (2013) avantage plus particulièrement la température et le coefficient d’échange. Pour comparer ces normalisations, on utilise l’erreur quadratique maximale, ε∞, définie dans
l’équation (2.6). Elle est représentée sur la Figure 2.12. L’APCS avec la normalisation 1 minimise cette erreur parmi les cinq courbes pour toutes les tailles de base sauf pour d = 2 où la normalisation obtenue avec la méthode de Perrin et al. (2013) minimise l’erreur maximale. La normalisation sélectionnée par l’algorithme de Perrin et al. (2013) dont l’objectif est de minimiser ε∞est sous-optimale, mais son erreur
est très proche de celle obtenue avec la normalisation 1. Les normalisations 2 et 3 donnent des résultats moins bons mais assez proches des deux normalisations pour des bases de plus de 5 fonctions. Sans normalisation, l’erreur ε∞ est beaucoup plus élevée. Au vu de ces différents résultats, on choisit
de sélectionner la normalisation 1 par le maximum de chaque variable pour le cas-test du choc thermique pressurisé.
Les décompositions SPLS et ACPS sont maintenant comparées selon leur qualité d’approximation des transitoires et d’explication de la covariable, à savoir le CS. La partie gauche de la Figure 2.13 présente le critère C2d, la variance expliquée par les deux décompositions fonctionnelles, en fonction de leur nombre
de composantes. La variance expliquée par la SPLS est plus faible que celle de l’ACPS (par définition de l’ACPS) mais, à partir de 5 composantes, la variance expliquée par la SPLS devient assez proche de la
5 10 15 20 0.000 0.010 0.020 Taille de la base d Erreur quadr atique maximale ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Sans normalisation Normalisation 1 Normalisation 2 Normalisation 3
Méthode de Perrin et al. (2013)
Figure 2.12 – Cas PTS : erreur quadratique maximale d’approximation des trois transitoires pour l’ACP simultanée sans normalisation, avec les trois normalisations proposées dans la section 2.2.4.3 et celle obtenue avec la méthode de Perrin et al. (2013).
variance expliquée par l’ACPS. Pour quantifier le lien entre les coefficients de la décomposition et le critère de sécurité, un métamodèle processus gaussien est estimé entre les coefficients, les variables scalaires en entrée de CAST3M et le CS. La partie droite de la Figure 2.13 représente le Q2du métamodèle pour les
deux décompositions. Comme attendu, la SPLS donne des Q2 plus élevés que l’ACPS quelle que soit la
taille de la base ; la SPLS fournit des composantes qui permettent de mieux expliquer le CS. Les valeurs des Q2obtenues sont élevées (> 0,8) quelle que soit la taille de la base ; cela peut s’expliquer par le fait
que le Q2ne tient pas seulement compte du lien entre les approximations des variables fonctionnelles et la covariable, mais aussi du lien entre les variables scalaires, qui ne sont pas approchées, et la covariable. La décomposition SPLS semble donc être un bon compromis puisqu’elle permet à la fois de bien approcher les transitoires et de conserver le lien entre les approximations des transitoires et le critère de sécurité.
Ainsi, la décomposition SPLS est retenue, pour la suite du traitement du cas-test PTS.
Enfin, on compare les transitoires de la base d’apprentissage et leurs approximations obtenues avec une décomposition SPLS de dix composantes, représentés sur la Figure 2.14. La tendance générale des transitoires de température est assez bien approchée ainsi que les 1000 premières secondes. La deuxième partie de l’intervalle est moins bien approchée. On remarque aussi un pic vers 1500 secondes sur les courbes approchées qui n’est pas présent dans l’échantillon d’apprentissage. Le transitoire de pression est globalement bien approché. Cependant, les approximations semblent moins variables autour de 1500 secondes que les courbes réelles. Enfin, le coefficient d’échange est bien approché avant 500 secondes. Au-delà, la variabilité de l’échantillon d’apprentissage n’est pas retrouvée dans l’échantillon approché.