Chapitre 1. Autour des diviseurs d’un entier
1. Du tableur…
2.3 Application à la recherche d’entiers hautement composés
Une première application possible : on peut rechercher à l’aide de cette fonction ndiv les nombres qu’on appelle hautement composés, et qui ont été introduits par Ramanujan dans un mémoire rédigé en 1915. Mais sans doute vaut-il mieux commencer par la définition d’un tel nombre :
Un entier naturel strictement supérieur à 1 est dit hautement composé lorsqu’il possède strictement plus de diviseurs que n’importe quel entier qui le précède.
Ces nombres sont en quelque sorte l’exact contre-pied des nombres premiers : ceux-ci ont un minimum de diviseurs et ceux-là en ont un maximum.
Cherchons les nombres hautement composés inférieurs ou égaux à 100, en employant pour commencer une méthode graphique. Le tableur permet facilement d’avoir en colonne A la liste des entiers compris entre 2 et 100, nommée xx, et en colonne B la liste du nombre de leurs diviseurs, nommée yy.
Il reste à représenter graphiquement le nuage de points d’abscisse xx et d’ordonnée yy. On remarquera le point mobile, astreint à se déplacer sur la grille, qui permet de lire les maxima de la courbe précédente.
En conclusion, les nombres hautement composés inférieurs ou égaux à 100 sont : 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48 et 60.
Certains, comme 24 et 60, sont un peu plus célèbres que d’autres : les 24 heures du jour ou le système de numération en base 60 des babyloniens ont probablement été choisis précisément pour leur grand nombre de diviseurs. Il se trouve qu’ils sont hautement composés…
Évidemment une recherche systématique peut être entreprise avec l’écriture d’une fonction :
L’idée est de parcourir tous les entiers de 2 à n en déterminant combien ils ont de diviseurs. À chaque étape, on compare le nombre des diviseurs de l’entier considéré avec le maximum de ce nombre de diviseurs mémorisé dans une variable l.
Si un entier a un nombre de diviseurs qui dépasse strictement le maximum l en cours, c’est qu’il est hautement composé : on le mémorise alors dans la liste list et on met à jour le nouveau maximum dans l.
On obtient les résultats suivants, le dernier au bout d’un temps non négligeable :
Comme pour les nombres premiers, la répartition des nombres hautement composés semble relativement imprévisible. À quoi ressemblent ces nombres ? Qu’est-ce qui peut permettre de les reconnaître ?
Pour répondre, même partiellement, à ces questions, cherchons à factoriser dans une nouvelle page Tableur & Listes les nombres obtenus : on sauvegarde la dernière liste obtenue dans une variable l et on la copie dans la colonne A, puis on la factorise dans la colonne B. Dans la colonne C est rappelé le nombre de diviseurs du nombre hautement composé correspondant.
Quelques remarques peuvent alors être faites sur les nombres hautement composés.
Tout d’abord sur les facteurs premiers qui interviennent dans les décompositions, 2, puis 2 et 3, puis 2,3 et 5, puis 2, 3, 5 et 7 etc. : chaque nombre premier depuis 2 est utilisé, sans saut. Par exemple, on ne rencontre pas 24327, d’où le 5 aurait été omis.
D’autre part, dans chaque décomposition, les exposants de ces nombres premiers – toujours en partant de 2 – sont décroissants, jusqu’à la valeur 1 incluse, sauf pour 4 et 36 qui se terminent l’un et l’autre sur un exposant 2. Ainsi 5040 2 432 5 7 donnent des exposants 4, 2, 1 et 1, conformes à nos prévisions.
À bien y regarder, une partie de ces remarques s’explique très simplement. En effet, un nombre comme 3 × 53 × 72 possède (1 + 1) × (3 + 1) × (2 + 1) = 24 diviseurs. Mais le nombre 2 × 33 × 52 est clairement plus petit (chacun des facteurs premiers est remplacé par un plus petit) et possède le même nombre de diviseurs puisque les exposants des facteurs premiers n’ont pas changé.
Mais on peut encore diminuer le nombre en conservant les mêmes exposants mais en les mettant dans l’ordre décroissant, les plus grands réservés aux plus petits facteurs premiers. On arrive à :
23 × 32 × 5…
qui est un nombre hautement composé… à savoir 360…
Nous admettrons que le dernier exposant vaut 1, sauf pour les nombres hautement composés 4 et 36 (ce résultat est démontré en annexe).
Les considérations précédentes nous autorisent à énoncer le résultat suivant.
Théorème
Si un nombre N est hautement composé, il s’écrit sous la forme : Np11p22 ... pnn.
où la suite 1, 2,...,n est une suite d’entiers naturels décroissante et où pi désigne le ie nombre premier (p1 = 2, p2 = 3, etc.)
Remarquons qu’à cause de cet exposant 1 final, les seuls nombres hautement composés qui sont des carrés sont 4 et 36. De même une puissance de 2, à part 2 et 4, ne peut pas être un nombre hautement composé. Les nombres hautement composés, excepté 2 et 4, sont donc forcément des multiples de 68. Évidemment, comme souvent en arithmétique, la réciproque du théorème est fausse : tout nombre de la forme précédente n’est pas forcément hautement composé. Ainsi 24 × 33 × 5 = 2160 remplit parfaitement les conditions du théorème mais… n’est pas un nombre hautement composé, d’après la liste que nous avons établie9.
En d’autres termes, le théorème donne la « tête » des candidats possibles. Ou encore il donne le moyen de reconnaître à coup sûr un nombre qui ne sera pas hautement composé, comme par exemple 5 × 7 × 113.
Quelques propriétés sur les nombres hautement composés L’ensemble des nombres hautement composés est infini.
Démonstration
Soit k un entier quelconque.
L’ensemble des entiers naturels possédant k diviseurs est non vide : il contient par exemple 2k–1. Ce sous-ensemble de possède donc un plus petit élément, qui par définition est un nombre hautement composé.
On établit donc une bijection entre l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble des entiers hautement composés, ce qui prouve qu’il y a une infinité non dénombrable d’entiers hautement composés.
Une autre approche est possible pour cette démonstration. Soit n un entier hautement composé. Si on considère l’entier 2n, on sait qu’il possède strictement plus de diviseurs que n : plus précisément, l’ensemble des diviseurs de n est strictement inclus dans l’ensemble des diviseurs de 2n.
De deux choses l’une.
Ou bien 2n est hautement composé, ou bien il existe au moins un entier strictement compris entre n et 2n qui possède autant de diviseurs que 2n. Le plus petit de ces entiers est par définition hautement composé.
Bref, on a prouvé10 qu’il existe forcément un autre entier hautement composé entre n et 2n : en d’autres termes, l’ensemble des entiers hautement composés est infini.