Application à l’élasto-plasticité

Dans le but d’illustrer notre méthode, nous nous intéressons à une section d’éprouvette 3D en forme d’os en tension. Un tel test est usuellement utilisé pour caractériser la dureté des matériaux métalliques [110]. L’éprouvette fait 100 mm de long, le ligament est large de 5 mm et l’épaisseur vaut 2,5 mm comme résumé sur la Figure 5.10 (haut). Un comportement élasto-plastique est considéré avec un écrouissage mixte de Von Mises (voir Figure 5.10 (bas)). Les paramètres linéaires sont les suivants : module de Young E = 22, 13 GPa et coefficient de Poisson ν = 0, 3. La constante de Prager est définie à 2200 MPa et l’écrouissage suit la courbe contrainte-déformation donnée sur la Figure 5.10. L’éprouvette est soumise à une tension seule : le chargement va de p = 0 MPa à p = 80 MPa avec des incréments (non-uniformes) de 10. De tels paramètres permettent que la non-linéarité soit rapidement captée numériquement en quelques itérations du solveur de Newton pour chaque pas de chargement.

Remarque 15 Pour appliquer des conditions aux limites de type Dirichlet, Code_Aster utilise une méthode à doubles multiplicateurs de Lagrange (voir [35]) pour éviter de perdre le caractère défini positif de l’opérateur. Les multiplicateurs de Lagrange sont utilisés dans le solveur non- linéaire de Code_Aster pour actualiser le comportement. Bien que cela ne présente pas une limite théorique, nous utilisons, pour plus de simplicité d’implémentation, un problème aux conditions aux limites de Neumann afin que les multiplicateurs de Lagrange soient nuls.

Le maillage EF, à droite de la Figure 5.11, est créé à partir d’un maillage NURBS initial, à gauche de la Figure 5.11, comme décrit dans le chapitre 4. Même si, dans ce cas, seulement un élément à été pris en compte dans l’épaisseur de l’éprouvette, le nombre de degrés de liberté est bien réduit : 6561 pour l’AIG contre 23409 pour le maillage EF associé.

La composante longitudinale du déplacement est représentée sur la Figure 5.12a. La contrainte de Von Mises obtenue avec une méthode AIG non-intrusive (STAT_NON_LINE en commande éclatée + routines Python) est aussi présentée sur la Figure 5.12b. On peut voir que, dans la région la plus fine, le champ a des valeurs au-dessus de la limite d’élasticité (≈ 200MPa) ce qui indique qu’en son centre l’éprouvette a subi une déformation plastique. Le champ de contrainte IG est comparé au champ de contrainte de Von Mises en utilisant le maillage EF d’entrée et le solveur non-linéaire de Code_Aster (STAT_NON_LINE ) avec le même maillage. En ce qui concerne la vitesse de convergence de l’algorithme non-linéaire, aucune différence n’a été observée entre l’AIG et la MEF.

Chapitre 5. Résultats numériques du lien AIG-MEF. 0 0.005 0.01 0.015 0.02 Déformation 0 100 200 300 400 Contrainte (MPa)

Figure 5.10 – Description du problème d’élasto-plasticité de l’éprouvette en forme d’os en tension.

Figure 5.11 – Maillage initial NURBS (gauche) et maillage EF raffiné automatiquement créé (droite).

Chapitre 5. Résultats numériques du lien AIG-MEF.

Vu que les solutions sont très proches, l’écart relatif entre les solutions IG et EF est tracé sur la Figure 5.12c. Malgré une réduction de l’ordre de 70% du nombre de degrés de liberté, les solutions sont quasi-identiques (moins de 2% d’écart localement). Cela nous permet de confirmer l’efficacité de la méthode, déjà vu dans le cas de l’élasticité, pour des cas non-linéaires.

(a) Déplacement longitudinal (amplification 100). (b) Contrainte de Von Mises.

(c) Erreur relative avec une solution de référence EF obtenue à l’aide de Code_Aster.

Figure 5.12 – Efficacité de l’implémentation non-intrusive de l’AIG : déplacement longitudinal (a)) ; contrainte de Von Mises (b) ; erreur relative avec une solution de référence EF obtenue à l’aide de Code_Aster (c). Le septième incrément de chargement, correspondant à p = 70 MPa, est considéré pour les tracés.

Afin d’évaluer qualitativement la méthode IG non-intrusive proposée par rapport aux élé- ments finis, la courbe force-déplacement est finalement tracée sur la Figure 5.13. Une fois encore, on peut noter que malgré une dimension plus petite, l’espace IG permet de récupérer une solution quasi-identique à celle générée par un code EF. Ce résultat est en corrélation avec l’interpré- tation de l’AIG comme une projection de EF sur une base réduite particulière (voir Remarque 12).

Chapitre 5. Résultats numériques du lien AIG-MEF. 0.000 0.005 0.010 0.015 U (mm) 0 2000 4000 F ( N) Référence MEF AIG projetée

Figure 5.13 – Courbe Force-Déplacement. Comparaison entre la solution EF de référence Code_Aster (ligne continue en noir) et la solution IG non-intrusive (croix bleues).

Bilan : Dans ce chapitre, un grand nombre d’exemples nous a permis de valider le lien global

AIG-MEF mis en place. Comme avancé théoriquement dans le chapitre 4, nous avons montré que l’approximation faite entre les fonctions rationnelles Lagrange et les polynômes de Lagrange n’impacte pas le résultat final si la géométrie initiale n’est pas excessivement grossière ce qui est le cas pour calculer le modèle mécanique sous-jacent (voir 5.1.1). La procédure appliquée à des modèles solide-coques (voir 5.1.2) ou entièrement 3D (voir 5.1.3) dans le code indus- triel EF Code_Aster permet d’obtenir des résultats en adéquation avec ceux d’une résolution entièrement IG. Afin de confirmer le potentiel de notre stratégie, un exemple non-linéaire iso- géométrique d’élasto-plasticité a aussi été résolu dans Code_Aster (voir 5.2.2) et montre des résultats cohérents. La stratégie de résolution non-intrusive ainsi validée dans ce chapitre est utilisée afin d’automatiser l’implémentation du couplage multi-échelle global-local AIG-MEF dans le chapitre 6 pour la prise en compte de phénomènes locaux complexes dans un modèle IG.

CHAPITRE

6

Vers un couplage AIG/MEF automatique

Sommaire

6.1 Utilisation du lien AIG/MEF pour le couplage . . . . 70

6.1.1 Séparation global-local . . . 70