Le but de cette appendice est d’apporter une petite amélioration du Théorème 6.7 de [21]. L’intérêt de cette amélioration est que la Proposition 6.12 de [21] (qui dit la même chose que le Théorème 4.1.10 pour p ≡ 3 mod 4) ne repose plus sur le "truly painful case of additive reduction" (voir p.53 de [18]). En effet, on utilise le passage au cas global pour éviter toutes les places de réduction additive, pas juste les places au-dessus de 2 et 3. Comme on a prouvé le résultat pour p ≥ 5 (Theorem 4.1.10) sans utiliser de résultats de parité globaux, l’intérêt pour nous est essentiellement le cas où p = 3.
On commence par rappeler la définition de la proximité entre deux courbes elliptiques : Proposition 4.3.1. Soit E : y2+ a1xy + a3y = x3+ a2x2+ a4x + a6 une courbe elliptique
sur un corps local non-archimédien K (de valuation v et de caractéristique résiduelle p) et F/K une extension galoisienne finie.
Il existe ε > 0 tel que toutes courbes elliptiques E′ : y2+ a′
1xy + a′3y = x3+ a2′x2+ a′4x + a′6
sur K vérifiant ∀i |a′
i− ai|v < ε, admettent les propriétés suivantes :
Sur tout corps intermédiaire F′ de F/K, E et E′ ont le même :
· conducteur.
· valuation du discriminant minimal.
· facteurs de Tamagawa locaux, C(E/F′, dx
2y+a1x+a3). · signes locaux (ou "root numbers").
· module de Tate comme Gal( ¯K/K)-module (pour tout l 6= p). On dira que E′ est proche de E/K.
Démonstration.C’est la proposition 3.3 de [21].
On énonce maintenant la petite amélioration du théorème 6.7 de [21] :
Théorème 4.3.2. Soit K un corps local non-archimédien de caractéristique 0 et F/K une extension galoisienne finie. Soit F/K une extension galoisienne de corps totalement réels et v0 une place de K tel que :
• v0 admet une unique place ¯v0 de F au-dessus d’elle
• Kv0 ≃ K et F¯v0 ≃ F.
Une telle extension existe (voir le lemme 3.1 de [21]). Soit E/K une courbe elliptique à réduction additive. Alors il existe une courbe elliptique E/K tel que : • E a réduction semi-stable pour tout w 6= v0
• j(E) n’est pas un entier (i.e. j(E) /∈ OK)
• E/Kv0 est proche de E/K.
Démonstration.On commence par choisir une courbe elliptique E/K tel que E/Kv0 est
proche de E/K (c’est possible d’après la proposition 4.3.1).
Maintenant l’objectif est d’enlever toutes les places de réduction additive en changeant
E/K en une courbe elliptique vérifiant les trois conditions du théorème.
Soit E : y2+ a
1xy + a3y = x3+ a2x2+ a4x + a6 avec ai ∈ OK.
Si on veut qu’une place w ne soit pas de réduction additive il faut imposer l’une des condi- tions suivantes :
• La valuation w(∆) est nulle (dans ce cas w est de bonne réduction).
4.3. Appendice 71
multiplicative respectivement si w(∆) = 0 ou w(∆) > 0). Soit v 6= v0 une place de K qui n’est pas au-dessus de 2.
Pour obtenir la condiction "j(E) n’est pas un entier " il suffit de faire de v une place de réduction multiplicative (v est une place de réduction multiplicative ⇔ v(j(E)) < 0). On fera ça dans l’étape 2 ci-dessous. Avant de faire ça, on va montrer dans l’étape 1 comment rendre toutes les places au-dessus de 2 semi-stable.
Etape 1: Rendre semi-stable toutes les places w 6= v0 au-dessus de 2
Notons v2,1, ..., v2,r ces places.
Dans ce cas :
v2,i(a1) = 0 ⇒ v2,i(c4) = 0 (c4 = (a21+ 4a2)2− 24a1a3− 48a4).
Soit p0 et p2,i les idéaux premiers associés à v0 et v2,i.
D’après le théorème des restes chinois, il existe d1 ∈ OK tel que :
• d1≡ 0 mod pn0 (i.e. v0(d1) ≥ n).
• d1≡ 1 − a1 mod p2,i ∀i ∈ {1, .., r} (i.e. v2,i(a1+ d1) = 0).
• d1≡ −a1 mod p (p associé à v 6= v0).
Donc, si on pose a′
1 = a1+d1 pour n assez grand on obtient que la courbe y2+a′1xy +a3y =
x3+ a2x2+ a4x + a6 qui est proche de E/K, v2,i(a′1) = v2,i(a1+ d1) = 0 ∀i ∈ {1, .., r} et
v(a′ 1) > 0.
Etape 2: Rendre v semi-stable
D’après le théorème des restes chinois, il existe d2, d3, d4 ∈ OK tel que :
• d2≡ 0 mod pn0 (i.e. v0(d2) ≥ n)
d2≡ 1 − a2 mod p (donc v(a2+ d2) = 0).
• d3≡ 0 mod pn0 (i.e. v0(d3) ≥ n)
d3≡ −a3 mod p (so v(a3+ d3) > 0).
• d4≡ 0 mod pn0 (i.e. v0(d4) ≥ n)
d4≡ −a4 mod p (so v(a4+ d4) > 0).
Donc, si on pose a′
i = ai+ di, i∈ {2, 3, 4}, pour n assez grand on obtient :
E′: y2+ a′
1xy + a′3y = x3+ a2′x2+ a′4x + a6 est proche de E/K (Proposition 4.3.1).
De plus : • c′ 4 = (a′21 + 4a′2)2− 24a′1a′3− 48a′4 • v(a′1) > 0 • v(a′ 3) > 0 • v(a′ 4) > 0 • v(a′2) = 0, donc v(c′ 4) = 0. La courbe E′ : y2+ a′
1xy + a′3y = x3+ a′2x2+ a′4x + a6 est proche de E/K. De plus, ∀w 6= v0
au-dessus de 2, w(c′
4) > 0, et v(c′4) = 0. Comme c′4 ne dépend pas de a6, on peut modifier
a6 pour permettre aux places w 6= v0 tel que w(c′4) > 0 de devenir des places de bonne
réduction (comme c′
4 restera inchangé, certaines places de bonne réduction peuvent deve-
nir multiplicative mais pas additive) et tel que v est une place de réduction multiplicative (v(j(E)) < 0). C’est ce qu’on fait dans la dernière étape ci-dessous.
Etape 3. Transformer les places de réduction additive en places de bonne ré- duction et rendre v multiplicative.
Soit v1, ..., vr, vr+1, ..., vtles places où vi(c′4) > 0, vi 6= v0 (6= v et pas au-dessus de 2).
Ci-dessus, les places v1, ..., vr sont de bonne réduction et les places vr+1, ..., vt sont de ré-
duction additive pour la courbe E′ construite dans l’étape 2.
72 Chapitre 4. Invariance de la conjecture de parité b2= a′21 + 4a′2 b4= 2a′4+ a′1a′3 b6= a′23 + 4a6 b8= a′21a6+ 4a′2a6− a′1a′3a′4+ a′2a′23 − a′24 et ∆ = −b2 2b8− 8b34− 27b26+ 9b2b4b6 = α + βa6+ 16a26, où α = [−b2 2(−a′1a′3a′4+ a′2a′23 − a′24) − 8b34− 27a′43 + 9b2b4a′23] et β = [−b3 2− 216a′23 + 36b2b4]
Soit γ = β + 32a6; on sait que 16 est inversible mod pi ∀i ∈ {1, .., t} (car pi n’est pas
au-dessus de 2).
d’après le théorème des restes chinois, il existe c tel que : • c ≡ 0 mod pn
0 (i.e. v0(c) ≥ n)
• c ≡ 0 mod pi ∀i ∈ {1, .., r} (i.e. vi(c) > 0)
• 16c ≡ αi− γ mod pi ∀i ∈ {r + 1, .., t} (où αi 6= 0, γ mod pi)
(i.e. ∀i ∈ {r + 1, .., t} , vi(γ + 16c) = 0 et vi(c) = 0)
• c ≡ −a6 mod p (i.e. v(a′6) > 0).
Finalement, si on pose a′
6= a6+ c, pour n assez grand, o, obtient :
E′′: y2+ a′
1xy + a′3y = x3+ a2′x2+ a′4x + a′6
et on voit que :
· v1, ..., vtsont des places de bonne réduction pour E′′.
· v est une place de réduction multiplicative pour E′′.
Chapitre 5
Généralisation d’une formule de
Rohrlich
Dans tout ce chapitre K est un corps local, extension finie de Ql et q est le cardinal
du corps résiduel de K.
5.1
Représentations irréductibles, modérément ramifiées, du
groupe de Weil
5.1.1 Représentations irréductibles et modérément ramifiées
Soit ρ une représentation irréductible modérement ramifiée de WK = W(K/K) (voir
le chapitre 1 pour la définition). Dans ce cas, ρ se factorise à travers WK/G1(L/K) où G1
désigne le groupe d’inertie sauvage et donc ρ se factorise à travers un groupe G = Cn⋊ Z
(où Cn = hci représente l’inertie modérée donc pgcd(q, n) = 1 et Z = hΦi est le groupe
engendré par le Frobenius géométrique Φ). On a de plus cn = 1 et ciΦj = Φjciqj
. Le
groupe G agit par conjugaison sur les caractères de Cn: (gχ)(a) = χ(g−1ag) (en particulier
(Φχ)(c) = χ(c)q).
Déterminons les représentations irréductibles de G = Cn⋊ Z.
Soit χ : Cn−→ µn, Gχ= Cn⋊ mZ son stabilisateur où ξ = χ(c)∈ µn, O(ξ) est l’ordre
de ξ et m = min i {i ≥ 1 ξ qi = ξ } = min i {i ≥ 1 qi≡ 1 (mod(O(ξ))}). On étend χ à Gχ en
˜χ par ˜χ(ciΦmj) = ξi (˜χ est à valeur dans µ
O(ξ) ⊂ µn).
Pour tout ϕ ∈ HomAb(ΦmZ, C∗), on obtient ˜χϕ = ˜χ(ϕ ◦ π) : Gχ −→ C∗.
On pose alors Vξ,α = Vχ,ϕ = IndGGχ˜χϕ. La représentation Vξ,ϕ est irréductible de
dimension n et ne dépend que de l’orbite de χ = {Φχ,Φ2
χ, ...,Φmχ = χ}. On a noté
ξ = χ(c) et α = ϕ(Φm).
Donnons des formules explicites pour Vξ,α:
Vξ,α(Φ) = 0 0 α 1 0 0 0 0 1 0 et Vξ,α(c) = ξq 0 0 0 ξq2 0 0 0 ξqm
74 Chapitre 5. Généralisation d’une formule de Rohrlich
où ξqm
= ξ.
5.1.2 Représentations irréductibles, modérément ramifiées et auto-duales Notons tout d’abord que la représentation ρ = Vξ,α est auto-duale si et seulement si il
existe une matrice A ∈ GLm(C) tel que
( t
ρ(Φ)Aρ(Φ) = A,
tρ(c)Aρ(c) = A.
On a immédiatement quetρ(c)Aρ(c) = (ξqi+qj
Ai,j)1≤i,j≤m, on en déduit que :
tρ(c)Aρ(c) = A⇐⇒ (ξqi+qj
Ai,j)1≤i,j≤m= (Ai,j)1≤i,j≤m.
Ainsi si tρ(c)Aρ(c) = A et A
i,j 6= 0 alors O(ξ) | qi + qj. En particulier, si Aii 6= 0 alors
O(ξ) | 2qi puis O(ξ) | 2 et q ≡ 1 mod(O(ξ)) donc m = 1. Autrement dit, si m ≥ 2
alors Aii= 0.
De plus, si i 6= j (i < j) et Ai,j 6= 0 alors O(ξ) | qi + qj = qi(1 + qj−i) et donc
O(ξ)| 1 + qj−iet qj−i≡ −1 mod(O(ξ)) et par conséquent 2(j − i) = m. Ainsi m est paire
et on a nécessairement |j − i| = m
2. On peut donc synthétiser les résultats de la façon
suivante :
1. Si 2 ∤ m alors ξ = ±1, m = 1 et α = ±1. 2. Si 2 | m alors A = 0B C0
!
avec B et C des matrices diagonales de GLm
2 (C). Commetρ(Φ)Aρ(Φ) = A, on a B = dIm 2 et C = αdI m 2 avec α = ±1. Réciproquement, ∀d ∈ C∗, si α =±1 alors A = d 0 Im2 αIm 2 0 !
défini une applica- tion bilinéaire non-dégénérée et G-invariante de Vξ,α× Vξ,α−→ C qui est symétrique
si α = 1 et antisymétrique si α = −1. Finalement, on a la proposition suivante :
Proposition 5.1.1. Une représentation irréductible, modérément ramifiée et auto-duale de WK est de la forme :
Vξ,1 ou Vξ,−1
selon qu’elle est orthogonale ou symplectique respectivement.
Remarque 5.1.2. La représentation Vξ,1 (resp Vξ,−1) se factorise à travers le produit
semi-direct du groupe cyclique d’ordre O(ξ) (correspondant à l’inertie) par un groupe cyclique d’ordre m (resp 2m) car Φm (resp Φ2m) agit trivialement sur V
ξ,1 (resp Vξ,−1).
Proposition 5.1.3. Soit K′/K une extension finie. On a alors :
dim(VWK′
ξ,1 ) =
(
0 si O(ξ) ∤ e,
pgcd(f, m) si O(ξ) | e,
où e et f sont respectivement l’indice de ramification et le degré résiduel de K′/K.
Démonstration. Cela découle de la description explicite de Vξ,1. En effet, si O(ξ) ∤ e
alors il n’y a pas d’invariants par le sous-groupe d’inertie de WK′. Par contre, si O(ξ) | e alors l’inertie agit trivialement et l’action de WK′ se factorise à travers l’action du groupe cyclique engendré par Φf.