On fournit un aperçu global de cette thèse dont le contenu est réparti dans les chapitres 2, 3, 4 et 5.
1.4.1 Chapitre 2
L’agrégation des risques dépendants est une des préoccupations importantes des chercheurs en actuariat depuis quelques années. L’objectif de l’agrégation des risques est d’évaluer la loi de la somme des différents risques. Un excellent outil pour la modélisation de la relation de dépendance entre les risques est la théorie des copules. Depuis les années 1990, les copules revêtent une importance capitale en actuariat et en gestion quantitative des risques. Elles permettent de caractériser la dépendance entre les risques et de construire des distributions
multivariées.
Dans le chapitre 2, on s’intéresse à l’identification de la distribution de la somme des risques d’un portefeuille. Soit un portefeuille de n risques représentés par les v.a. X1, . . . , Xn. Le
montant total des coûts encourus pour un portefeuille est représenté par la v.a. S définie par
S = X1 + . . . + Xn. La distribution conjointe du vecteur (X1, . . . , Xn) est définie par une
copule Archimédienne. On montre que cette copule peut être représentée par un mélange commun dont le facteur commun est une v.a positive pouvant être discrète (e.g. AMH, Frank et Joe) ou continue (e.g. Clayton, Gumbel).
Dans un premier temps, on considère une copule Archimédienne. En ce qui concerne la nature des marginales et du facteur commun, on suppose trois cas spécifiques. Dans le premier cas, la v.a. mélange est discrète de même que les marginales. Dans ce cas, on obtient la valeur exacte de la fonction de répartition de S. Le deuxième cas considère des marginales continues et un facteur commun discret. Dans un tel cas, on déduit des bornes sur FS. Dans le dernier
cas, la v.a. mélange est discrète et on présente deux différentes méthodes d’approximation de
FS.
Ensuite, à travers un exemple détaillé, on montre que cette approche d’agrégation peut être adaptée à des copules Archimédiennes hiérarchiques. De plus, plusieurs règles d’allocation de capital ainsi que d’autres applications sont également traitées.
En comparaison avec la méthode d’approximation basée sur la méthode de Monte Carlo, les résultats de notre approche fournissent une appréciation plus adéquate du risque global d’un portefeuille constitué de risques dépendants. Notre approche a l’avantage de calculer la valeur exacte de FS dans certains cas, de permettre le contrôle du degré de précision dans le
cas d’une approximation.
1.4.2 Chapitre 3
Afin de généraliser les copules Archimédiennes pour permettre les asymétries et remédier au problème d’échangeabilité, plusieurs chercheurs utilisent la structure d’imbrication hiérar- chique. Elle consiste à imbriquer plusieurs copules Archimédiennes connues l’une dans l’autre. Les copules Archimédiennes imbriquées sont capables de capturer différentes relations de dépendance entre et au sein de différents groupes de risques avec un nombre relativement petit de paramètres (voir par exempleGórecki et al.(2016) pour plus de détails). Pour qu’une telle structure hiérarchique soit une copule, une condition d’imbrication doit être vérifiée. Si la structure hiérarchique est construite via l’imbrication de plusieurs copules de la même
famille, la vérification de la condition d’imbrication s’avère très facile. Autrement, la condition peut ne pas tenir pour n’importe quel choix de paramètres. En outre, la simulation de ces copules peut être difficile. D’autres modèles hiérarchiques multivariés utilisant une technique différente pourraient donc être introduits et étudiés pour permettre une plus grande flexibilité.
Pour toutes ces raisons, nous proposons une nouvelle construction hiérarchique des copules Archimédiennes basée sur des distributions composées multivariées. Cette nouvelle technique d’imbrication est dérivée de la construction d’une distribution exponentielle multivariée par mélange commun et l’introduction d’un choc commun. L’absence de toute condition d’imbrication, contrairement aux copules Archimédiennes imbriquées, conduit à des avantages majeurs tels qu’une gamme flexible de combinaisons possibles dans le choix des distributions, l’existence de formules explicites pour la distribution de la somme et la facilité de calcul en grande dimension. Un équilibre entre la flexibilité et la parcimonie est visé. Après avoir présenté la technique de construction, les propriétés des copules proposées sont étudiées et des exemples illustratifs sont donnés. Une représentation sous forme de mélange commun des nouvelles copules hiérarchiques est fournie pour permettre des comparaisons avec des copules Archimédiennes imbriquées bien connues. L’agrégation des risques dans le cadre de cette structure de dépendance nouvellement proposée est également examinée.
Ce chapitre est composé de trois parties. Dans la première partie, on présente les étapes de construction de la copule multivariée en utilisant les distributions composées, suivies d’algo- rithmes de simulation ainsi que de notations et de propriétés pertinentes. La deuxième partie propose une représentation de la copule par mélange commun, ce qui permet de faire une com- paraison avec les copules Archimédiennes hiérarchiques existantes. Finalement, la troisième partie propose une méthode d’agrégation pour un vecteur de v.a. aléatoires.
1.4.3 Chapitre 4
Le chapitre 4 propose une extension du modèle collectif de risque en supposant une structure de dépendance reliant les montants de sinistres et leur nombre. Considérer une dépendance entre les composantes de la somme aléatoire S constitue une hypothèse plus réaliste d’un point de vue pratique.
Ce chapitre est composé de deux parties. Dans la première, on présente les définitions de base et on propose quelques modèles de dépendance basés sur des copules bivariées ou mul- tivariées. Dans la deuxième partie, on utilise les copules Archimédiennes et Archimédiennes hiérarchiques pour modéliser la dépendance entre le nombre et les montants des sinistres. Un algorithme efficient de simulation qui génère des réalisations de la somme aléatoire S est également présenté. De plus, la deuxième partie s’inspire du chapitre 2 pour proposer une méthodologie de calcul de la fonction de masse de probabilité de S.
1.4.4 Chapitre 5
En actuariat, il est assez commun de travailler avec des distributions construites par des mélanges communs que ce soit dans un contexte univarié ou multivarié. Dans ce chapitre, on considère plus spécifiquement les mélanges communs construits avec des v.a. mélange discrètes.
Le chapitre 5 est composé de quatres parties. La première est consacrée à un exemple de motivation dans lequel nous étudions l’application des copules Archimédiennes hiérarchiques pour des portefeuilles de risques dépendants de Bernoulli. Dans un contexte de portefeuille de risque de crédit, notre modèle permet de modéliser les risques dépendants de défaut et de calculer la fonction de masse de probabilité de la somme de ces risques. Cet exemple de motivation nous permet de mettre en évidence l’utilité des distributions et des copules construites avec des mélanges communs. La deuxième partie présente la loi univariée exponentielle mélange. Certaines propriétés de cette loi sont discutées et trois cas particuliers sont présentés. Dans la troisième partie, on présente la loi multivariée exponentielle mélange et on établit le lien entre cette loi et les copules Archimédiennes. Plusieurs cas particuliers sont également discutés. Finalement, une application reliée à la théorie de la ruine est présentée à la dernière section.
En résumé, l’objectif de ce chapitre est de souligner l’utilité des modèles construits avec des mélanges communs, de comprendre le lien entre les lois exponentielles-mélange univariées, multivariées et les copules Archimédiennes et de proposer de nouvelles distributions. En traitant trois cas particuliers de distributions de la v.a. latente, ce chapitre présente également une façon assez originale pour déduire les cas limites des distributions et copules proposées. La thèse est complétée par une conclusion au chapitre 6.