L’ansatz de r´esolution - Perturbations visqueuses de solutions discontinues de systèmes hyperb

Un développement de Taylor au premier ordre assure l’existence de ma-trices A^♭_n(t, x) de taille 2N ×2N avec une régularité C^∞ en (t, x) tel que A_n=A˚_n+x_nA^♭_n. La substitution du développement

j>0

√ε^jU^j(t, x,x_n ε , x_n

√ε)

a la place deu^ε dans (12) donne, par la proposition précédente un développe-ment (l’ansatz de résolution)

j>−2

√ε^jF^j(t, x,xn

ε , xn

√ε)

où les profilsF^j sont dansP(Ω⁺_T) et se décomposent de la manière suivante : F⁻_a² = F⁻²

b = 0, F⁻_c²= ˚A_n∂_zU⁰_c−∂_zzU⁰_c, F⁻_a¹ = 0, F⁻¹

b = ˚A_n∂_θU⁰_b, F⁻_c¹ = ˚A_n∂_zU¹_c −∂_zzU¹_c, F⁰_a = HU⁰_a−F(t, x,U⁰_a)−f(t, x),

F⁰_b = ˚A_n∂_θU¹_b +HU⁰_b+A^♭_nθ∂_θU⁰_b−∂_θθU⁰_b −F(t, x,U⁰_a+U⁰_b) +F(t, x,U⁰_a), F⁰_c = ˚A_n∂_zU²_c −∂_zzU²_c +q_c⁰,

et pourj>1

F^j_a = HU^j_a−F^′_u(t, x,U⁰_a)U^j_a+q^j_a,

F^j_b = ˚A_n∂_θU^j+1_b +HU^j_b+A^♭_nθ∂_θU^j_b−∂_θθU^j_b

− F^′_u(t, x,U⁰_a+U⁰_b)(U^j_a+U^j

b) +F^′_u(t, x,U⁰_a)U^j_a+q^j_b, F^j_c = ˚A_n∂zU^j+2_c −∂zzU^j+2_c +q^j_c,

o`u l’on a regroup´e un certain nombre de termes de la fa¸con suivante : q⁰_c := −F(t, x,U⁰_a+U˚^j

b+U⁰_c) +F(t, x,U⁰_a+U˚^j

b), q_a¹:= 0, q_b¹ := 0, q¹_c := −Q¹_c(t, x, z,(U^j_a+U^j_c)_j61),( ˚

∂_θⁱU^j_b)_i+j61), et, pourk>2,

q_a^k := −∆U^k_a⁻²−Q^k_a(t, x,(U^j_a)_j6_k₋₁),

q_b^k := −∆_bU^k_b⁻¹−∆U^k_a⁻²−Q^k_b(t, x,(U^j_a,U^j_b)_j6k₋₁),

q^k_c := (H−∆_c)U^k_c −∆U^k_c⁻²

− Q^k_c(t, x, z,(U^j_a,U^j_c)_j6k,( ˚

∂_θⁱU^j

b)_i+j6k), où∆_b et∆_c désignent les opérateurs∆_b := 2P_n

i=1∂_θ∂_i et∆_c:= 2P_n

i=1∂_z∂_i. 6.3 L’ansatz de r´esolution des conditions aux limites

Rappelons que l’on note N0 :=

Id −Id

et N1 :=

Id Id

o`u Id est la matrice identit´e de taille N ×N. Ainsi, on a N =

N₀ 0 O N₁

, où 0 est une matrice deN lignes et 2N colonnes remplie de 0. La condition aux limites (13) se réécrit donc :

N₀u^ε=N₁∂_nu^ε= 0 quand (t, x)∈Γ_T. La substitution du d´eveloppement P

j>0

√ε^jU^j(t, x,^x_εⁿ,√^xⁿε) `a u^ε dans (13) donne l’ansatz de r´esolution des conditions aux limite

j>0

√ε^jF^j_cl0(t, y) P

j>−2

√ε^jF^j

cl1(t, y)

o`u

F⁻_cl1² :=N₁∂_zU⁰_c|xn=z=0, F⁻_cl1¹ :=N₁(∂_zU¹_c|xn=z=0+∂_θU⁰_b|xn=θ=0)

et pourj>0 d´ependance enx_nau niveau de la couche limite et de faire baver les conditions aux limites (42), (44), (45), (47), (48).

On donne ici un résultat pour une équation de type hyperbolique-paraboli-que (cf [2]). ConsidèronsT₀>0, les matrices de taille 2N×2N :K:=P₀A^♭_nP₀ et l’opérateur IH :=P₀HP₀+Kθ∂_θ qui est un opérateur symétrique hyperbo-lique sur l’espace des fonctions W telles queP^⊥₀ W = 0.

On consid`ere le probl`eme mixte :

P^⊥₀ W = 0, quand (t, x, θ)∈Ω⁺_T ×R⁺

où f(t, x, p, W) est une fonction de classe C^∞ , à valeurs dans R^N et vérifie f|t60= 0 et f(t, x,0,0) = 0, la fonction p(t, x, θ) joue le rôle de paramètre et appartient à Nθ(T₀). On suppose que best dans H^∞(Ω⁺_T), vérifie P^⊥₀ b= 0 et b|t60= 0. La donnée initiale aest dans l’espace H^∞(Rⁿ₊×R⁺

θ).

Examinons la compatibilité des données : siW est solution régulière de (49), (50) et (52), avec T > 0, alors il existe des fonctions (I_k)_k_∈N de classe C^∞ telles que les fonctions

W_k(x, θ) := (∂_t^kW)(0, x, θ) v´erifient

W_k(x, θ) =I_k(x, θ,(∂_xⁱ∂_θ^ja)_i+^j

26k).

(53)

Si, de plus, W est solution de (51), on a n´ecessairement sur le coin {t = θ= 0} les relations de compatibilit´e

(R^′_k) : N W

∂_θW

=Nb_k

oùb_k := (∂_t^kb)|t=0.La réciproque est contenue dans le théorème suivant Théorème 6.1 Soita∈H^∞(Rⁿ₊,S(R₊)). Alors les assertions suivantes sont

´equivalentes :

(1) La fonctiona v´erifie les relations (R^′_k),

(2) Il existe T ∈]0, T₀] et W ∈ Nθ(T) solution r´eguli`ere de (49), (50), (51) et (52).

La relation (R^′_k) d´epend des termes sources par l’interm´ediaire des (∂_t^lf)_l6k₋₁, (D^(l)p f)_l6k₋₁, (D_W^(l)f)_l6k₋₁ et (∂_t^lb)_l6k.

De même que pour le problème mixte hyperbolique , on a le résultat d’exis-tence de données compatibles à tout ordre suivant :

Proposition 6.3 Il existea∈H^∞(Rⁿ

+,S(R₊))v´erifiant les relations(R^′_k)_k_∈N. Preuve. On commence par remarquer qu’ils existent des fonctions ( ˜I_k)_k_∈N

de classeC^∞ telles I_k(x, θ,(∂_xⁱ∂_θ^ja)_i+^j

26k) =∂_θ^2ka+ ˜I_k(x, θ,(∂_xⁱ∂_θ^ja)_i+^j

26k,j<2k).

(54)

On obtient ainsi, par r´ecurrence, l’existence de fonctions (a_k)_j_∈N∈H^∞(Rⁿ

+× R₊) telles que

N a₀

∂_θa₀

|θ=0 =b|t=0, N

I_k(x, θ,(∂_xⁱa_j)_i+^j

26k)

∂_θ(I_k(x, θ,(∂_xⁱa_j)_i+^j

26k))

|θ=0= (∂_t^kb)|t=0 ∀k>1.

On conclut avec le lemme 4.1.

Notons que l’on a un r´esultat similaire `a la proposition 3.2 :

Proposition 6.4 Il existe des fonctions(A^′_k)_k_∈Nde classeC^∞telle que, pour a∈H^∞(Rⁿ₊), les assertions suivantes soient ´equivalentes :

(1). La fonction a v´erifie les relations (R^′_k)_k_∈N, (2). Pour tout k∈N, pour tout y ∈Rⁿ⁻¹, on a

(∂_θ^2ka)(x,0)∈ A^′2k(x,(∂_xⁱ∂_θ^ja)(x,0))_i+^j

26k,j<2k) + kerN₀, (∂^2k+1_θ a)(x,0)∈ A^′2k+1(x,(∂ⁱ_x∂_θ^ja)(x,0))_i+j

26k+₂¹,j62k) + kerN₁.

On peut caractériser le temps d’existence maximal des solutions régulières du théorème 6.1.

Théorème 6.2 Lorsque l’assertion 2 du théorème 6.1 est vérifiée, si T est pris maximal et siT > T₀ alors ||W||_L^∞_(Ω_t_×R⁺

θ)→+∞ quand t→ T⁻. Dans le cas où l’équation (50) est linéaire, on peut prendre T =T₀.

Le problème mixte (49), (50), (51) et (52) est très proche du problème

étudié et résolu dans [2]. Le changement essentiel concerne les conditions aux limites. Nous allons ici seulement montrer comment la méthode de [2] s’adapte au cas qui nous intéresse ici. La proposition 6.3 assurant l’existence de données initiales compatibles à tout ordre, on se contente de traiter le cas où W est nulle dans Ω⁺₀.

6.4.1 Réduction à une condition aux limites homogène On écrit b :=

b₀ b₁

et on consid`ere q ∈ Nθ(T₀) tel que q|θ=0 = b₀ et

∂_θq|θ=0 =b₁. Un tel q existe : prendre par exemple

q(t, x, θ) := (2b₀+b₁)e⁻^θ−(b₀+b₁)e⁻^2θ.

Notant Φ :=W−q, on a alors queW v´erifie (49) si et seulement siP₀^⊥Φ = 0, queW v´erifie (51) si et seulement siN

∂_θΦ

= 0 et queW v´erifie (50) si et seulement si

(−∂_θ²+ IH)Φ =P₀f(t, x, p,Φ +q)−(−∂_θ²+ IH)q quand (t, x, θ)∈Ω⁺_T ×R⁺

Le second membre, dans l’égalité précédente, peut se mettre sous la forme P₀f(t, x,˜ p,˜ Φ) où ˜f, ˜p vérifient les mêmes hypothèses que f et p. On peut ainsi se ramener au cas où best nul.

6.4.2 R´eduction matricielle

Introduisons une base orthonorm´ee (pour le produit scalaire usuel) deR^N, (e1(t, x), ..., eN(t, x)) o`u lesei(t, x) sont des fonctionsC^∞ telles que (ei)₁6i6d0

est une base de ker ˚A_n. SoitU la matriceN×N orthogonale dont les colonnes sont les (e_i)_16i6N. On a ainsi que U est dans C^∞(R¹⁺ⁿ, O(R^N)), où O(R^N) désigne le groupe des matricesN×N orthogonales. Considèrons les matrices, de taille 2N ×2N,U:=

U 0

0 U

, et T la matrice de sym´etrie :

T :=







Id_d₀ 0 0 0

0 0 Id_d0 0

0 Id_N₋_d0 0 0

0 0 0 Id_N₋_d₀





 .

Consid`erons la nouvelle inconnue ˜W(t, x) :=TU⁻¹(t, x)W(t, x). On note W˜_I := ( ˜W₁, ...,W˜_2d₀)∈R^2d⁰ et W˜_II := ( ˜W_2d₀₊₁, ...,W˜_2N)∈R^2(N⁻^d⁰⁾. Lemme 6.1 La condition de polarisation (49) s’´ecrit

W˜_II = 0 quand (t, x, θ)∈Ω⁺_T ×R⁺

tandis que la condition aux limites (51) s’´ecrit N˜

W˜_I

∂_θW˜I

= 0 quand (t, x, θ)∈Ω⁺_T × {0} avec

N˜ =

Id −Id 0 0

0 0 Id Id

o`u les matrices Id et 0 sont de tailled₀×d₀. Preuve. En effet, ´ecrivant

Wˇ_±:=U⁻¹W_±=:^t( ˇW_±_,1, ...,Wˇ_±_,N), Wˇ_±_,I = ( ˇW_±_,1, ...,Wˇ_±_,d0)∈R^d⁰, Wˇ_±,II= ( ˇW_±_,d0+1, ...,Wˇ_±,N)∈R^N⁻^d⁰, la condition de polarisation (49) s’´ecrit :

Wˇ_II⁺ = ˇW_II⁻ = 0 quand (t, x, θ)∈Ω⁺_T ×R⁺

et la condition aux limites (51) s’´ecrit :

Multipliant (50) à gauche par ^t(UT), on obtient alors un système équivalent 2d₀×2d₀ de la forme

(−∂_θ²+ IH^[I]) ˜W_I =q(t, x, p,W˜_I).

L’opérateur IH^[I] est un opérateur symétrique hyperbolique qui s’écrit : IH^[I]= X

06j6n

Cj(t, x)∂j+Cn+1(t, x)θ∂_θ.

Les matricesC_j(t, x) sont symétriques de taille 2d₀×2d₀ extraites respective-ment des matrices ^t(UT)P₀A_jP₀(UT)(t, x) (si j 6n), ^t(UT)K(UT)(t, x) (si j=n+ 1). La matrice C₀ est définie positive. Omettant les tildes et indicesI (sauf pour l’opérateur IH^[I]), on est donc ramené au problème

(−∂_θ²+ IH^[I]) ˜W =q(t, x, p, W) quand (t, x, θ)∈Ω⁺_T ×R⁺

6.4.3 Estimation L² pour le problème linéaire On introduit les normes à poids :||W||_L² mesuree⁻^2λtdtdxdθ. On considère le problème linéaire :

(−∂²_θ+ IH^[I])W =h quand (t, x, θ)∈Ω⁺_T ×R⁺

Proposition 6.5 Il existe un unique W dans L²(Ω⁺_T ×R⁺

θ) tel que ∂_θW est dans L²(Ω⁺_T ×R⁺

θ) solution de (55)−(56)−(57). De plus, il existe c >0 tel que pour tout λ>c, on a

||∂_θW||²_L²

λ(Ω⁺_T×R⁺

θ)+λ||W||²_L²

λ(Ω⁺_T×R⁺

θ)6c|< h, W >_L²

λ(Ω⁺_T×R⁺

θ)|. (58)

Preuve: on se contente ici de montrer l’inégalité d’énergie (58). L’existence et l’unicité d’une solution au problème (55)−(56)−(57) s’en déduisent par les arguments de [2]. On multiplie (55) à gauche par^tW et on intégre par parties en remarquant que :

• −∂_θ²+ IH^[I]est tangent `a{x_n= 0} (P₀A˚_nP₀ = 0),

•IH^[I] est tangent `a {θ= 0},

• −R

θ>0tW.∂_θ²W =R

θ>0t∂_θW.∂_θW + (^tW.∂_θW)|θ=0. NotantW =

W₊ W₋

, (56) se traduit par

W₊ =W₋, ∂_θW₊=−∂_θW₋ quand θ= 0.

Ainsi (^tW.∂_θW)|θ=0 =^tW₊.∂_θW₊+^tW₋.∂_θW₋= 0.

6.4.4 Estimation des dérivés pour le problème linéaire Pour tout entier naturel m, on introduit les normes à poids :

||W||m,λ,T := X

|α|6m

λ^m^−|^α^|||∂₀^α⁰...∂_n^αⁿ(θ∂_θ)^αⁿ⁺¹W||_L²

λ(ΩT×R⁺

θ),

|W|m,λ,T := X

|α|6m

λ^m^−|^α^|||∂₀^α⁰...∂_n^αⁿ∂_θ^αⁿ⁺¹W||_L²

λ(ΩT×R⁺

θ)

o`uα := (α₀, ..., α_n+1) est dansNⁿ⁺².

Proposition 6.6 Il existe λ_m >1 tel que, pour tout λ>λ_m,

|W|m,λ,T +||W||m,λ,T 6 λm

λ (|h|m,λ,T +||h||m,λ,T).

Preuve: on commence par estimer les dérivées conormales au bord{θ= 0}. Le point important est que les conditions aux limites (56) aient de bonnes propriétés de commutation avec les dérivées conormales : en effet, pour tout entier natureln,∂_θ(θ∂_θ)ⁿ est de la forme∂_θ+θ.Opérateur en ∂_θ, θ∂_θ. On a donc que

∂_θ(θ∂_θ)ⁿW₊=−∂_θ(θ∂_θ)ⁿW₋ quand θ= 0.

Plus g´en´eralement, notant Zn+1 := θ∂_θ et pour α := (α0, ..., αn+1), Z^α :=

Z₀^α⁰...Z_n+1^αⁿ⁺¹, on a, pour toutα∈Nⁿ⁺²,|α|6m, queZ^αW est solution de (−∂_θ²+ IH^[I])Z^αW = ˜h quand (t, x, θ)∈Ω⁺_T ×R⁺

(59) θ

Z^αW

∂_θZ^αW

|θ=0= 0 quand (t, x)∈Ω⁺_T (60)

Z^αW = 0 quand (t, x, θ)∈Ω⁺₀ ×R⁺ (61) θ

o`u ˜h:=Z^αh+ [IH^[1], Z^α]W + [−∂_θ², Z^α]W.

Notons que l’un des intérêts de la réduction matricielle précédente était d’é-liminer les problèmes de commutation des opérateurs de dérivation avec la condition de polarisation (49).

Le deuxi`eme terme du membre de droite de (59) se majore par cteλ⁻¹(||h||m,λ,T +||W||m,λ,T)||W||m,λ,T.

Pour le troisi`eme terme, puisque [∂_θ², ∂_i] = 0 si i ∈ {0, ..., n} et [∂_θ², θ∂_θ] = 2∂²_θ, le commutateur [∂_θ², Z^α] s’´ecrit comme une somme de termes de la forme

∂_θ²Z^βW o`u|β|6|α| −1. En int´egrant par parties enθ, on a

< ∂_θ²Z^βW, Z^αW >_L²

λ=−< ∂_θZ^βW, ∂_θZ^αW >_L²

λ −^t(∂_θZ^βW).(Z^αW)|θ=0. Tirant parti de (60), on obtient^t(∂_θZ^βW).(Z^αW)|θ=0 = 0. Le troisi`eme terme du membre de droite de (59) se majore donc par

cteλ⁻¹||∂_θW||m−1,λ,T||∂_θW||m,λ,T 6cteλ⁻²||∂_θW||²m,λ,T. En sommant ces in´egalit´es, on obtient donc pourλassez grand

||∂_θW||²m,λ,T +λ||W||²m,λ,T 6 c_m

λ (||h||m,λ,T +||W||m,λ,T)||W||m,λ,T

et, quitte `a augmenter c_m, pourλ>c_m,

√λ||∂_θW||m,λ,T +λ||W||m,λ,T 6cm||h||m,λ,T.

On estime ensuite les dérivées normales, remarquant que l’on peut réécrire l’équation :∂_θ²W =−h+ IH^[I]W

6.4.5 Conclusion

On procède ensuite comme dans [2], utilisant un schéma itératif et des inégalités de type Gagliardo-Nirenberg, pour résoudre le problème non linéaire.

On montre également à l’aide d’estimations sur le linéarisé et du schéma itératif, la décroissance rapide de la solution. La condition d’explosion pro-vient de ce que la non linéarité est contrôlée, dans le shéma itératif, à l’aide de la normeL^∞.

6.5 CLNC

L’´etude des CLNC fait intervenir des ´equations de la forme (−∂_z²+˚An∂_z)U = Φ quand (t, x, z)∈Ω⁺_T ×R⁺_z, (62)

o`u Φ∈ Nz(T) et des conditions aux limites de la forme : N₁∂_zU =K quand (t, x, z)∈Ω⁺_T × {0} (63)

où K est dans H^∞(Ω⁺_T). Il s’agit d’une EDO linéaire en z paramétrée par (t, x). Introduisons les matrices 2N×2N :

P olc :=

P₋ 0 0 P₊

. (64)

On noteP ol^⊥_c :=Id−P ol_c.

Proposition 6.7 1. Les matrices P ol_c commutent avec (−∂²_z+˚A_n∂_z).

2. Si Φ = 0 etU ∈ Nz(T) solution de(62) alors P ol_c^⊥U = 0.

3. Si P ol_cΦ = 0 alors (62) admet une et une seule solution U ∈ Nz(T) telle queP ol_cU = 0.

4. Si P ol_c^⊥Φ = 0 et si P ol_c^⊥K = 0 alors (62)−(63) admet une et une seule solution U ∈ Nz(T) telle queP ol^⊥_c U= 0.

Remarquons que dans le cas du point 2, on peut dire que le profil U est polarisé selonP olc. Revenant au problème dans tout l’espace, cela signifie que U est polarisée selonP₋(respP₊) pourx_n>0 (respx_n>0) ie (Id−P₋)U = 0 (resp (Id−P₊)U = 0). L’esprit des points 3 et 4 est que pour la partie pola-risée ieP ol_cU, il est possible de prescrire une condition en z= 0, ce qui n’est pas possible pourP ol^⊥_c U = 0.

Preuve. Notons (e_i)_16i6_N une base de R^N de vecteurs propres de ˚A_n de va-leurs propres associées (λ_i)₁6i6N. On notera respectivement I₊, I₋ et I₀ les ensembles des indicesipour lesquels la valeur propre correspondanteλ_ivérifie λi > 0, λi < 0 et λi = 0. Pour x ∈R^N quelconque, on écrit x =PN

i=1xiei. On a doncP₊x=P

i∈I+x_ie_i, ˚A_nx=PN

i=1λ_ix_ie_i et ˚A_nP₊x=P

i∈I+λ_ix_ie_i = P₊A˚_nx. Ainsi, les matrices ˚A_n etP₊ commutent. On procède de même avec P₋ etP₀. Par suite, la matriceP ol_c commute avec l’opérateur (−∂_z²+A˚_n∂_z).

Pour le point 2, si Φ = 0 et la fonction U est solution de (62) alors U peut s’´ecrire sous la forme

U = U+

U−

avec U⁺₋(t, x, z) :=

i=1

−

i (t, x)e⁺⁻^λⁱ^(t,x)ze_i(t, x),

o`u les fonctions (αi)16i6N sont scalaires. Une telle fonctionU est dansNz(T)

c’est-à-dire si et seulement siP ol_c^⊥U = 0. La condition de décroissance à l’in-fini permet de conclure.

Pour le point 3, on commence par r´esoudre le probl`eme :



La m´ethode de variation de la constante consiste `a chercher une solution U^[1]

au probl`eme (65) sous la forme U^[1] =

où les fonctions scalaires α^±_i vérifient les EDO en z, paramétrées par (t, x),

−e^±^λⁱ^(t,x)z∂_zα^±_i (t, x, z) = Φ^±_i (t, x, z). On utilise alors une version à paramètres du lemme suivant dans lequel on a choisi, par souci de simplicité, de ne faire figurer que la variable z:

Lemme 6.2 Soit Φune fonction scalaire dansS(R⁺) et λun r´eel positif. La fonction Φ˜ d´efinie par Φ(z) :=˜ e^λzR_∞

z Φ(z^′)e⁻^λz^′dz^′ est aussi dans S(R⁺).

Preuve : on écarte d’emblée le cas λ= 0, qui est trivial. Définissons, pour tout entier naturel l, l’assertion de récurrence :

Π(l) : ∀k∈N, z^kΦ˜^(l)(z)∈L²(R⁺

z).

Par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on a

|Φ(z)˜ |² 6e^2λz

Ainsi, pour tout entier naturelk, est dansL²(R⁺), pour tout entier naturel k. Le principe de récurrence assure que l’assertion Π(l) est vraie pour tout entier naturel l, ce qui achève de démontrer le lemme.

Ainsi le probl`eme (65) admet une et une seule solution U^[1] de la forme (66) avec

Pour le point 4, la stratégie est similaire au point précédent : on commence par chercher un profilU^[1] ∈ Nz(T) solution du problème :

par la m´ethode de variation de la constante. On ´ecrit Φ =

avec

Φ_±(t, x, z) = X

i∈I− +

Φ^±_i (t, x, z)e_i(t, x), K_±(t, x) = X

i∈I− +

K_i^±(t, x)e_i(t, x).

Les fonctions (Φ^±_i )_i et (K_i^±)_i sont scalaires régulières en (t, x, z) et les (Φ^±_i )_i sont à décroissance rapide enz. On cherche le profilU^[1] sous la forme U^[1] =

U^[1]₊ U^[1]₋

# o`u

U^[1]

±(t, x, z) = X

i∈I− +

α_±(t, x, z)e^±^λⁱ^(t,x)ze_i(t, x) avec

−e^±^λⁱ^(t,x)z∂_zα^±_i (t, x, z) = Φ^±_i (t, x, z) quand (t, x, z) ∈Ω⁺_T ×R⁺_z α^±_i =K_i^± quand (t, x, z)∈Ω⁺_T × {0} On utilise le lemme suivant :

Lemme 6.3 SoitΦune fonction scalaire dansS(R^z₊)etλun r´eel strictement n’egatif. La fonction Φ˜ d´efinie par Φ(z) :=˜ e^λzRz

0 Φ(z^′)e⁻^λz^′dz^′ est aussi dans S(R₊).

Preuve. D´efinissons, pour tout entier naturel l, l’assertion de r´ecurrence : Π(l) : ∀k∈N, z^kΦ˜^(l)(z)∈L²(R⁺).

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, |Φ˜^(l)(z)|² 6 Ce^2λz ainsi Π(0) est vérifiée.

Supposons Π(l) et remarquons que ˜Φ^′=λΦ + Φ˜ ^′. On déduit Π(l+ 1) comme dans le lemme précédent

Aussi l’unique solution U ∈ Nz(T) de (62)−(63) telle que P ol^⊥_c U = 0 est donn´ee par

U= U+

U−

o`u U±(t, x, z) = P

i∈I− +

β_i^±(t, x, z)e_i(t, x) o`u β_i^± est la primitive (en z) de α^±_i e^±^λⁱ^z qui s’annule en z= +∞ avec

α^±_i (t, x, z) = Z z

e⁻⁺^λⁱ^(t,x)z^′Φ^±_i (z^′)dz^′+K_i^±(t, x).

Notons que l’on peut préciser la décroissance des profils de CLNC mises en jeu dans cet article. Pour une telle étude, dans un contexte voisin, on renvoie

` a [11].

6.6 Le tableau de la cascade

On consid`ere alors, pour j>−1, les probl`emes (S^j(T)) :

F^j_c⁻¹ =P^⊥₀ F^j⁻¹

b =P₀F^j

b =F^j_a= 0 quand (t, x, θ, z)∈Ω⁺_T ×R⁺

θ ×R⁺_z ,

et on illustre notre stat´egie de r´esolution en cascade par le tableau suivant :

(S⁻¹) (S⁰) (S¹) ...

F⁻² F⁻_c²

F⁻¹ F⁻_c¹;P^⊥₀ F⁻_b¹

F⁰ P₀F⁰_b;F⁰_a F⁰_c;P^⊥₀ F⁰_b F¹ P₀F¹_b;F¹_a ...

Chaque terme de la première colonne est la somme de la ligne correspon-dante. Lors de la résolution du problème (S^j), les profils inconnus sontU^j_a,U^j

et U^j+1_c . Notons que ce tableau présente une différence essentielle avec celui de [11] : les profilsF_c sont ici décalés d’une colonne vers la gauche.

Lorsque les problèmes (S^j(T))06j6N sont vérifiés, les premiers termes non nuls de l’ansatz de résolution sont

√ε^N(F^N_c +P^⊥₀ F^N_b ).

On a ainsi un reste de la forme √

ε^N+¹²R_ε, avec R_ε ∈ H^m(T₁), pour tout entier naturelm.

Voyons comment résoudre les problèmes (S^j(T))-(S_cl^j(T)) pour j > −1. Les casj=−1 etj= 0, particuliers, sont détaillés. Rappelons, pour le confort du lecteur, que le problème (S_cl⁻¹(T)) est constitué de l’équation (42), le problème (S_cl⁰(T)) est constitué des equations (43), (44) et (45). Enfin, pour j > 1, le problème (S_cl^j(T)) est constitué des equations (46), (47) et (48).

6.6.1 (S⁻¹(T)) et (S_cl⁻¹(T))

Le profilU⁰_c doit satisfaire le probl`eme

∂²_zU⁰_c +˚A_n∂zU⁰_c = 0 quand (t, x, z)∈Ω⁺_T ×R⁺_z,

∂_zU⁰_c|z=0= 0 quand (t, x) ∈Ω⁺_T dont l’unique solution estU⁰_c = 0.

6.6.2 (S⁰(T)) et (S_cl⁰(T)) puis dans l’ordre que l’on veut les probl`emes (68) et (69), ce que l’on note

(68) (69) .

En effet, compte-tenu des conditions de polarisationP^⊥₀ U⁰_b = 0 etP ol^⊥_c U¹_c = 0 (cf proposition 6.7 2.), la condition aux limites

N₁(∂_θU⁰_b|θ=0+∂_zU¹_c|z=0) = 0 est ´equivalente `a

N₁∂_θU⁰_b|θ=0=N₁∂_zU¹_c|z=0 = 0.

On constate que (67) n’est autre que le probl`eme hyperbolique constitu´e des

´equations (5) et (6). On prendU⁰_a:=u⁰. L’unique solution du probl`eme (69) estU¹_c = 0.

Aux ordres supérieurs, les différents types de termes composant les profils sont couplés par les conditions aux limites. La résolution des problèmes (S^j(T ))-(S_cl^j(T)), pourj>1, s’en trouve compliquée.

6.6.3 (S^j(T))-(S_cl^j(T)); j>1

Pour chaque j > 1, lors de la résolution (S^j(T)), on est confronté au problème suivant :

o`u les membres de gauche valent : les profils des membres de gauche et des termes sources.

D´efinissons, pour (t, x, z)∈Ω_T ×R⁺

P ol_c^⊥(−∂_z²+˚A_n∂_z)U^j+1_c =P ol^⊥_c Φ^j+1_c . (71)

Les équations (70) et (71) jouent un rôle important dans la résolution des problèmes (S^j(T)) et (S_cl^j(T)). En effet, on a dit que la difficulté provenait du couplage induit par les conditions aux limites. Or les équations (70) et (71) déterminent univoquementP^⊥₀ U^j

b etP ol^⊥_c U^j+1_c . Cela provient d’une part de ce que l’opérateur de dérivation ∂_θ réalise un automorphisme de Nθ(T) et d’autre part des propriétés 1 et 3 de la proposition 6.7. Les traces P^⊥₀ U^j_b|θ=0

et P ol^⊥_c U^j+1_c |z=0 sont donc imposées par l’équation et ne peuvent pas être prescrites. Ces traces vont être compensées (dans la condition (46)) par la partie régulière du profil. Les relations (47) et (48) sont, quant à elles, as-surées par les profils de couche limite.

Pour chaquej>1, lors de la résolution (S_cl^j(T)), on est confronté au problème suivant : Pour chaquej >1, définissons les problèmes

( HU^j_a= Φ^ja quand (t, x)∈Ω⁺_T

La condition aux limites précédente peut se réécrire sous la forme (63) avec K=−

En effet, par application des projections P₋:=

P₋ 0

etP₀, la condition aux limites

N₁P^⊥₀ ∂_zU^j+1_c |z=0 = −N₁P^⊥₀ (∂_nU^j⁻¹+∂_θU^j_b|θ=0)

Remarquons notamment que la résolution de (72) n’exige la connaissance que d’une partie de U^j_b, à savoir MU^j_b|θ=0 et cette quantité est déterminée par (70). Les problèmes (73) et (74) sont bien découplés puisque le problème (73) ne dépend de U^j+1_c que par l’intermédiaire de P₀U^j+1_c qui est déterminé par (71) et le problème (74) ne dépend deU^j_b que par l’intermédiaire deP^⊥₀ U^j_b qui est déterminé par (70). Dans notre analyse, le couplage entre CLC et CLNC se fait donc par l’intermédiaire de la partie régulière du profil.

6.7 Conclusion

Les théorèmes 3.1 et 6.1, les propositions 3.1, 6.3 et 6.7 assurent l’existence d’un temps T₁ et de solutions aux problèmes (S^j(T₁))-(S_cl^j(T₁)) pour j > 0.

Le tempsT₁ ne dépend que deU⁰ car seuls U⁰_a etU⁰_b vérifient des problèmes non linéaires. L’erreur commise est contrôlée par la proposition 6.1

7 Preuve du point 3 du th´ eor` eme 2.1

de la continuité deu⁰, le problème (73) se réécrit :



On peut ainsi prendre U¹_a = 0. Comme par la proposition 2.1, la fonction P^⊥₀u⁰ est de classe C^r+1 et que Φ²_c =−q⁰_c = 0 car U⁰_c = 0, le problème (74) pourj = 1 se réécrit :

(−∂_z²+˚A_n∂_z)U²_c = 0 quand (t, x, z) ∈Ω⁺_T ×R⁺_z N₁∂_zU²_c|z=0 = 0 quand (t, x)∈Ω⁺_T

L’unique solution de ce problème estU²_c = 0. L’assertion Π(0) est montrée. Si r= 0, c’est fini. Supposons maintenant quer 6= 0 et procèdons par récurrence finie. Supposons vérifiées les assertions Π(k) pour 06k 6j où j 6r−1 et

On peut ainsi prendreU^j+1_b = 0. Par la proposition 6.2, il vient Φ^j+2_b,1 = 0, et donc, par (70), P^⊥₀ U^j+2_b = 0. Comme par la proposition 6.2, on a Φ^j+3c = 0, (74) avecj+ 2 en lieu et place de j se r´e´ecrit :

(−∂_z²+˚A_n∂_z)U^j+3_c = 0 quand (t, x, z) ∈Ω⁺_T ×R⁺_z N1∂zU^j+3_c |z=0 = 0 quand (t, x)∈Ω⁺_T

d’oùU^j+3_c = 0. L’assertion Π(j+ 1) est dans ce cas démontrée.

• si j est impair, on a, par hypothèse, U^j_a = 0 et U^j_a⁻¹ est C^r⁻^(j⁻¹⁾. Il s’en suit que qa^j+1 est C^r⁻^(j⁻¹⁾⁻². Le problème (72) avec j+ 1 en lieu et place de j s’écrivant :

HU^j+1_a =F^′_u(t, x,u⁰).U^j+1_a +q^j+1a quand (t, x)∈Ω⁺_T MU^j+1_a = 0 quand (t, x)∈Γ_T

on a, par la proposition 2.1, queU^j+1_a estC^r⁻^(j⁻¹⁾⁻². Commer−(j−1)−2 = r−j−1>0, on a

N₀U^j+1_a = 0 quand (t, x)∈Γ_T

avec l’hypoth`ese de r´ecurrence et la proposition 6.2, on aq^j+1_b = 0 etU^j+2_c = 0.

Ainsi (73) avecj+ 1 en lieu et place dejprend la même forme que dans le cas où j est pair. On en déduit, de même, que l’on peut prendre U^j+1_b = 0, puis queP^⊥₀ U^j+2

b = 0 etU^j+3_c = 0. Par la proposition 6.2, on obtient q^j+2_a = 0, et donc (72) avecj+ 2 en lieu et place dej s’´ecrit :

HU^j+2_a =F^′_u(t, x,u⁰).U^j+2_a quand (t, x)∈Ω⁺_T MU^j+2_a = 0 quand (t, x)∈Γ_T

On prendU^j+2_a = 0 et l’hérédité de l’assertion Π(j) est prouvée.

A Preuve du th´ eor` eme 3.1 et de la proposition 2.1

On introduit des espaces de régularité Sobolev anisotrope pour lesquels une dérivée normale vaut deux dérivées conormales.

D´efinition A.1 Soit

H^0,m(Ω⁺_T) :={u∈L²(Ω⁺_T)/ ∀l6k/ Z^lu∈L²(Ω⁺_T)}.

E^m,T := {u ∈ H^0,m(Ω⁺_T)/∂_n^ku ∈ H^0,m⁻^2k(Ω⁺_T) ∀0 6 2k 6 m} muni de la famille de normes `a poids :

|u|^Em,λ,T := X

06k+2l6m

λ^m⁻^k⁻^2l||e⁻^λtZ^k∂_n^lu||_L²_(Ω⁺

o`u λest un r´eel plus grand que 1.

On a le résultat suivant qui prouve en particulier le théorème 3.1

Th´eor`eme A.1 Si f est dans E^m,^∞ alors il existe T₀ strictement positif et une et une seule u∈E^m,T⁰ solution de

La preuve repose de manière essentielle sur une estimation pour le problème linéaire :

Compte-tenu de l’hypothèse 1.1, on a l’existence deO(t, y) matricesN×N inversiblesC^∞ de leurs arguments telles que^tOA˚nO=Doù Dest la matrice diagonale par blocsD:=diag(Id_d₊,−Id_d−,0_d₀). Définissons les matrices dia-gonales par blocs O := diag(O, O) et D := diag(D,−D). Introduisons la matrice de permutations par blocs :

Q:=

Effectuant le changement de variables consistant à remplacer u par (OQ)⁻¹u et multipliant à gauche par ^t(OQ), on se ramène au cas où

A_n=C, M :=

Id_N₋_d0 Id_N₋_d0 0_2d0

La preuve du théorème 3.1 ne nécessite nullement de prendre en considération la symétrie du problème. Aussi, nous ne ferons que la distinction entre les composantes qui sont caractéristiques et celles qui ne le sont pas. On note u:=

v w

o`u v (respw) est un vecteur colonne de R^2(N⁻^d⁰⁾ (respR^2d⁰).

Th´eor`eme A.2 On a les estimations

∀m∈N ∃λ_m >1/ ∀λ>λ_m, |u|^Em,λ,T0 6 λ

λ_m|f|^Em,λ,T0. Preuve : il s’agit d’estimer pour 2k+|l|6mle terme

λ^m⁻^2k⁻^l|∂_n^kZ^lu|^E0,λ,T0.

Estimation L²

C’est un cas particulier de [9].

k= 0

Z^lu v´erifie (75)- (76)- (77) avec¯f :=Z^lf+ [H, Z^l]u en lieu et place def. L’estimation de ce dernier commutateur assure que ¯f est dans L² d’o`u par l’estimation L² que

λ^m⁻^2k⁻^l|Z^lu|^E0,λ,T0 6 C

λ|f|^Em,λ,T0. k6= 0

On estime séparément les dérivées dev et celles dew. On écrit H=H^♭+A˚_n∂_n, H^♭=

j=0

A^j(t, x)Z_j+B(t, x)

et si D est une matrice 2N ×2N, on ´ecrira D=

D^[1] D^[2]

D^[3] D^[4]

où D^[4] est de taille 2d₀×2d₀. En écrivant les matrices par blocs, (75) se réécrit :

j=0

A^j,[1]Z_jv+

j=0

A^j,[2]Z_jw+B^[1]v+B^[2]w+C^[1]∂_nv=f^[1]

j=0

A^j,[3]Z_jv+

j=0

A^j,[4]Z_jw+B^[3]v+B^[4]w=f^[2]

ce que l’on abr´ege en

A^[1]Zv+A^[2]Zw+B^[1]v+B^[2]w+C^[1]∂_nv=f^[1]

(78)

A^[3]Zv+A^[4]Zw+B^[3]v+B^[4]w=f^[2]

(79)

o`uC^[1] =diag(Id_d₊,−Id_d−,−Id_d₊, Id_d−).

v : On a |∂nv|Ê_m₋_2,λ,T0 6 ¹_λ|∂nv|Ê_m₋_1,λ,T0. De plus, |∂nv|Ê_m₋_1,λ,T0 peut être estimé grâce à (78).

w : Notons X :=A^[4]Z+B^[4]. X est un opérateur symétrique hyperbolique linéaire agissant sur des fonctions à valeurs dans R^d⁰. Le bord {x_n = 0} est totalement caractéristique pour l’opérateurX. Alors (79) se réécrit

Xw=f^[2]−A^[3]Zv−B^[3]v.

Ainsi,

|∂nXw|Êm−2,λ,T0 6C(|u|Êm,λ,T0+|f|Êm,λ,T0).

(80)

Ensuite, on a queX∂_n^kZ^lwv´erifieX∂_n^kZ^lw=¯fo`u¯f :=∂_n^kZ^lXw+[X, ∂_n^kZ^l]w.

Ecrivantk=k^′+ 1, on a

¯f := (∂_n)^k^′Z^l(∂_nXw) + [X, ∂_n^kZ^l]w

Le premier terme est contrˆol´e par (80) (2k^′+l6m−2). Pour le second, on

´ecrit

[X, ∂_n^kZ^l]w= [A^[4]Z, ∂_n^kZ^l]w+ [B^[4], ∂_n^kZ^l]w.

Voyons comment contrôler le premier terme qui est le “pire” (il contient une dérivée supplémentaire). [A^[4]Z, ∂_n^kZ^l]w est une somme de terme de types

((∂_n)^k¹Z^l¹A^[4])((∂_n)^k²Z^l²Z)w

avec k1+k2 =k,l1+l2 =l et 0<2k1+|l1|< m. L’estimation L² appliqu´ee

aX donne alors l’existence deλ_m >1 tel que

∀λ>λ_m |(∂_n)^kZ^lw|2 6 C

λ(|u|^Em,λ,T0 +|f|^Em,λ,T0).

Pour montrer la proposition 2.1, on prend en compte la symétrie. On ren-voie à [10] pour la preuve de la continuité deu. Suivant les effets de la permuta-tionQ, on remarque que les (A^[i])_16i64, les (B^[i])_16i6₄ etC^[1] sont diagonaux par blocs de la forme

A^[i]=

A^[i] 0 0 A^[i]

, B^[i]=

B^[i] 0 0 B^[i]

, C^[1]=

C^[1] 0 0 −C^[1]

Par cons´equent, X peut aussi s’´ecrire X =

X 0

0 X

. Les équations (78) et (79) se découplent ainsi en quatre équations :

A^[1]Zv_±+A^[2]Zw_±+B^[1]v_±+B^[2]w_±±C^[1]∂_nv_±=f_±^[1]

(81)

Xw_± =f_±^[2]−A^[3]Zv_±−B^[3]v_± (82)

o`uv= v₊

v₋

, w= w₊

w₋

. Dans le cas semilinéaire, il convient de remplacer, pour i = 1 ou 2, f_±^[i](t, x) par f_±^[i](t, x) +F_±^[i](t, x,u). On soustrait alors les deux égalités données par (81), ainsi que celles données par (82), ce qui donne respectivement

A^[1]Z[v] +A^[2]Z[w] +B^[1][v] +B^[2][w] +C^[1](∂_nv₊+∂_nv₋) = [f^[1]] + [F^[1]] et X[v] = [f^[2]] + [F^[2]]−A^[3]Z[v]−B^[3][v], o`u, pouru=

u₋

, [u] désigne [u] =u₊−u₋. La propagation de la régularité deuet la seconde assertion de la proposition 2.1 se montre alors par récurrence en notant queC^[1] est inversible.

R´ ef´ erences

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