Anomalie de Bouguer

La correction de Bouguer tient compte de la masse qui existe entre la station de mesure à l’altitude h et le référentiel choisi. Elle revient à prendre en considération l’effet attractif de la matière ignorée dans la réduction à l’air libre (section § 1.3.3.1). Dans une première approche, on peut considérer que cette masse se présente comme un plateau d’épaisseur h. Cette correction doit se faire avec prudence car une densité moyenne est affectée au plateau. La correction gs (mGal) calculée par

gs = 2πG δ h = 0.04192 δ h (1.46) est apportée à la valeur de g0 calculée précédemment pour la réduire à l’anomalie de Bouguer. Avec h (m) l’élévation de la station de mesure et δ (kg/m3) sa densité moyenne. G est la constante de la gravitation universelle. Dans ce cas, le plateau est considéré comme une calotte cylindrique d’épaisseur h, homogène et infinie. Elle ne tient pas compte de la forme de la surface. De ce fait, la correction appliquée est dite correction de Bouguer simple. L’anomalie de Bouguer simple par conséquent se calcule par

∆gBS = g + 0.3086 h − 0.04192 δ h − gT (1.47) Pour calculer la correction de Bouguer complète, il faut rajouter la correction de relief. Cette correction permet de prendre en compte la topographie du terrain autour du point de mesure. Les reliefs sont pris en 3D et leurs effet est pris en compte environ 20

1.3. La gravimétrie

km autour du point de mesure dans les régions stables. Cette distance peut être plus grande dans les zones accidentées. Si on note la correction de relief CR, alors l’anomalie de Bouguer complète ∆gB s’écrit

∆gB = g + 0.3086 h − 0.04192 δ h + CR− g_T (1.48) Autrefois, la correction de relief se fait à l’aide des abaques concentriques superposées sur la carte topographique de la région. Ensuite, l’effet gravimétrique de celle-ci est calculée par une formule suivant l’emplacement du point de mesure dans l’abaque (Tel-ford et al. 1990; Turcotte and Schubert 2002). Cependant et avec l’émergence d’autres techniques, notamment les modèles numériques de terrain (MNT), cette correction est devenue plus facile à réaliser et surtout plus précise. Le principe est de construire des prismes bien définis approchant au maximum la topographie réelle à partir du MNT de la région d’étude. Une densité est affectée dans chacune d’entre eux, puis l’effet gravimétrique de chaque prisme est calculé. A la fin, il suffit de sommer l’effet de tous les prismes pour avoir l’effet gravimétrique global de la topographie de la région sur le point de mesure. Néanmoins, cette technique reste aussi délicate à appliquer car on affecte une densité à chaque prisme, généralement une densité moyenne, ce qui suppose que la densité de la topographie soit homogène. C’est correct dans les régions à faibles contrastes latéraux de densité et les régions homogènes. Par contre, si la topographie présente des fortes contrastes latéraux de densité et une forte topographie il faut éva-luer une densité moyenne qui prendra en compte tous ces paramètres. On peut aussi affecter une densité pour différentes sous-régions. Pour mes données, j’ai utilisé la tech-nique d’analyse des modèles numériques de terrain. J’ai affecté une densité moyenne aux prismes pour calculer l’effet de toute la topographie régionale. Cette densité est estimée par la méthode de Nettleton (e.g. Telford et al. 1990).

Il existe plusieurs techniques pour déterminer et évaluer la densité moyenne de la topographie qui affecte le plus les mesures gravimétriques dans une région. On trouve notamment deux méthodes analytiques et deux autres graphiques. Les méthodes ana-lytiques sont des méthodes dont la densité est obtenue par des mesures in-situ (Cf. annexe 1.5.2). Les méthodes graphiques sont des méthodes pour lesquelles la densité est évaluée graphiquement (Cf. annexe 1.5.3).

La méthode de Nettleton est la plus utilisée des méthodes graphiques pour la dé-termination de la densité moyenne dans la proche surface en utilisant des profiles gravimétriques. Elle fournit une bonne estimation de celle-ci. Le principe est de calcu-ler l’anomalie de Bouguer complète à partir des données acquises sur le terrain. Cette anomalie est calculée pour différentes valeurs de densité. Ensuite, on trace toutes les anomalies de Bouguer calculées avec les valeurs mesurées sur le terrain. L’anomalie qui reflète le moins les traits de la topographie est celle qui estime au mieux la densité moyenne (Telford et al. 1990).

1.3.4 Modélisation

Comme discuté dans le section précédente (cf. § 1.3.2), il est possible de calculer l’effet gravimétrique d’un modèle dont les paramètres sont connus. Ces derniers sont les

Chapitre1. Rappels théoriques

dimensions (l’extension et l’épaisseur) ainsi que la densité (ou le contraste de densité). Je vais développer ici uniquement la modélisation 3-D d’un prisme rectangulaire. Son utilisation reste, bien entendu, possible pour des cas bidimensionnels. Il suffit alors de considérer une direction horizontale infinie. Par la relation (1.42), on peut calculer l’attraction gravimétrique d’un corps perturbateur (anomalie) de coordonnées x′, y′ et z′ distant de point de mesure P (x, y, z) de r par

g(x, y, z) = −G^Z z′ Z y′ Z x′δ(x′ , y′ , z′)^{z − z} ′ r3 dx′ dy′ dz′ (1.49) où r= (x − x′ )2+ (y − y′ )2+ (z − z′ )21/2 (1.50) est la distance entre le point de mesure et le corps. La relation (1.49) peut s’écrire

g(x, y, z) = ^Z z′ Z y′ Z x′δ(x′ , y′ , z′ )ψ(x − x′ , y − y′ , z − z′ )dx′ dy′ dz′ (1.51) avec ψ est la fonction de Green et elle est calculée par

ψ(x, y, z) = −G ^z

(x2+ y2+ z2)3/2 (1.52) Elle traduit l’attraction gravimétrique au point P dû au corps perturbateur. Par le principe de superposition, l’effet gravifique global sera la somme de tous les effets de chaque corps géométrique. L’attraction gravimétrique totale au point de mesure m est donnée par

gm = X^N

n=1

δnψmn (1.53)

où δn est la densité de la nème géométrie et ψmn est l’attraction gravimétrique de la nème géométrie au mème point de mesure. Pour modéliser une structure complexe, il faut donc la découper en prismes simples.

Considérant un prisme rectangulaire montré sur la figure 1.7. L’attraction gravimé-trique mesurée au point P ramené à l’origine est donnée par (Blakely 1995)

g = GδX² i=1 2 X j=1 2 X k=1 µijk " zkarctan ^xiyj

z_kR_ijk ^{− xi}log(Rijk+ yj) − yjlog(Rijk+ xi)

# (1.54) où R_ijk =^qx2 i + y2 j + z2 k et µ_ijk = (−1)i(−1)j(−1)k

La relation (1.54), permet donc de calculer l’attraction gravimétrique d’un modèle complexe. Pour éviter les effets du bords, il est possible de rajouter un milieu 1-D aux bords du modèle principal. En pratique, le milieu 1-D est allongé jusqu’à ce qu’il n’y est plus d’effet sur les points de mesures. Dans la direction verticale le milieu 1D n’est pas nécessaire, il rajoute uniquement une constante. La modélisation gravimétrique que j’ai utilisé pendant ma thèse est calculée par la relation (1.54). Elle est extraite des travaux de Blakely (1995).