ANNEXES Exemple d'application - Programmation linéaire et comptabilité analytique

Considérons une entreprise comportant 5 sections

- 3 sections auxiliaires notées A : administration, énergie, entretien - 2 sections principales notées P : atelier 1 et atelier 2.

Les unités d'œuvre de ces sections sont respectivement - % pour l'administration, dont la capacité est alors de 100%

- 1000 kwh pour l'énergie dont la capacité est de 300 milliers de kwh - Heures de Main d'Oeuvre pour l'entretien (HMO) dont la capacité est de 2000 HMO

- Tonnes (de matières) pour l'atelier 1 dont la capacité est de 6000 t - Heures-Machines (HM) pour l'atelier 2 dont la capacité est de 60000 H.

Les capacités respectives seront notées

pour les A et bp —

6000 60000

pour les P

Lorsque ces capacités sont pleinement employées la répartition des unités d'œuvre des sections auxiliaires s'effectue ainsi :

Administration

Facteurs indirects :

Les sections consomment des facteurs indirects pour un total de 4 200 000 F de charges fixes suivant la répartition suivante donnant un coût total de :

980 000 F pour l'Administration 340 000 F pour l'Énergie

660 000 F pour l'Entretien 940 000 F pour l'Atelier 1 1 280 000 F pour l'Atelier 2

(ces coûts pourront par la suite être chacun scindés en partie fixe et partie variable - cf. la méthode du coût variable).

Facteurs indirects Amortissements (10000 h à 150 F)

Les consommations UNITAIRES (c'est-à-dire par UO) des sections auxiliaires sont donc :

980000 340 000 660 000

100 300 2000 respectivement

Les consommations unitaires des sections principales sont donc :

940 000 1280 000

6000 60 000 respectivement.

Produits et facteurs fixes :

L'entreprise fabrique trois produits A, B, C dans ses sections principales à partir de facteurs fixes qui sont attachés à ces sections ; on résume ces facteurs fixes par les limitations qu'ils imposent aux unités d'œuvre de ces sections : le vecteur hp traduit les limitations imposées par ces facteurs fixes.

La production de chacun des biens s'effectue à l'aide de la matrice technologique B qui donne le nombre d'UO de chacune des P nécessaire à la fabrication de chaque unité de produit :

t (Atel. 1) HMO (Atel. 2)

1/2 1/2 12

II s'ensuit qu'une production de 4000 A, 2000 B, 2000 C (qui peut ne pas être la production optimale au sens de la meilleure utilisation des facteurs fixes disponibles) utilise les 6000 t de l'Atelier 1 et les 60000 HMO de l'Atelier 2.

Produits et facteurs directs :

Les produits se vendent aux prix p — (1500, 1000, 1300) respectivement et impliquent des consommations de facteurs directs (matières premières et main d'œuvre directe) à des coûts respectifs de d = (990, 550, 590) et la marge unitaire sur coût direct variable est :

p - d = (510, 450, 710)

Coûts complets des produits :

(i) Coûts unitaires directs: d = (990, 550, 590) (ii) Coûts unitaires indirects imputés : apB— (500, 470, 630) (iii) Coûts complets unitaires : d + acp B^ (1490, 1020, 1220) (iv) Coût complet pour 4000 A, 2000 B,

2000 C : t o t a l - 10 440 000 (v) Chiffre d'affaires pour 4000 A, 2000 B,

2000 C = 10 600 000 (vi) Marge sur coût complet (marge nette) : 160 000

Imputation du coût complet :

Imputation des coûts indirects complets primaires par UO - aux sections auxiliaires : fa = (9800, 3400/3, 330) - aux sections principales : fp = (470/3,64/3)

Imputation des coûts indirects complets définitifs par UO ou produit - aux sections auxiliaires : aca = îa(I - C)~l = (10 000. 2000, 400) - aux sections principales : ap = fp + aca D = (300, 40)

- aux produits : ac = acpB = (500, 470, 630)

d'où la marge unitaire sur coûts complets : p — d — ac = (10, —20, 80) Remarque: La perte de 40000 F subie par la production des 2000 unités de produit B montre que Ton pourrait améliorer la marge nette en effectuant un autre programme x de production avec les mêmes disponibilités des sections auxiliaires et principales.

Coûts indirects variables :

Si les coûts indirects variables des sections sont connus sous la forme de deux vecteurs Ba = (0, 140 000, 560 000) et Bp = (340 000, 580 000) par exemple, les coûts variables unitaires par UO de chacune des sections sont donnés par :

pa = (0, 1400/3, 280) 0P = (340/6, 58/6) Imputation des coûts indirects variables :

Imputation des coûts indirects variables primaires par UO - aux sections auxiliaires : fia — (0, 1400/3, 280)

- aux sections principales : (3P — (340/6, 58/6)

Imputation des coûts indirects variables définitifs par UO ou de produit - aux sections auxiliaires :a% = 0a(I- Cy1 = (85,48,854,82,288,98) - aux sections principales : o% = /3p + c%D = (112,72, 15,728) - aux produits : av = a°pB = (191,36, 182,18, 245,1)

Résolution des programmes simplifiés (40) :

Maximisation de la marge sur coûts variables directs (programme 1°) : On notera (x^, À*j, Pf ) la solution optimale de ce premier programme.

Cette solution, que l'on peut vérifier sur les traitements informatiques par LINDO donnés ci-dessous, est la suivante :

x° = (84000/19, 0, 60000/19) = (4421.0526, 0, 3157.8947) X°s = (5140/19, 910/19) = (270.52631, 47.894736)

P ° = 85440000/19 = 4496842.1

Dans la suite on abandonnera parfois les indices « s » des programmes simplifiés,

Maximisation de la marge sur coûts complets (programme I1) , , , H 420 000 605

On calcule k = ^ = 8 5 440 000/19 = 7Ï2 e t °n m p u t e * C h a q U e

produit i un coût indirect complet de k À0 B\ ce qui conduit au programme I1 et son dual - comparables aux programmes (22) et (23) :

M a x P1 = {6o_

Bxs

o

^{B ) X j}

MinAs

A, XSB

>o

>5°

^-k

A°

k\° = (89950/356, 15925/356)

kX°B = (169 575/356, 172375/356, 236075/356) kX° Bx° = fcA°b = 4200000

S1 = 6° - kX°B = (11985/356, -12175/356, 16 685/356)

= (33,66573, -34,199438, 46,867977)

x1 = x ° , P1 = ^ x1 = 5 640000/19 = 296 842,1 = (1 - k) P°

A1 = (241580/13 528, 42 770/13528) = (17,857776, 3,1615907) = (1 - &

A1 b = 4 015 680 000/13 528 = 5 640000/19 = 296842,1 = P1

Tous ces résultats numériques se trouvent dans les sorties de LINDO données ci-dessous.

Maximisation de la marge sur coûts variables complets (programme I2) Les coûts indirects variables (/?a, (3P) devront alors être tous reportés sur les seules sections principales sous la forme suivante (on utilisera les valeurs numériques de l'exemple d'illustration) :

= h+fk (/ " C)^D = (112, 72, 15, 728) = ajj =

On définit /x5 = min(A°, f3s) = (112,72, 15,728) ce qui s'entend JJLSI — min(A°-, (3$i).

Le total des coûts imputés est alors

° = 1620000

Les coûts indirects variables imputés aux produits sont

de sorte que la marge sur coûts indirects variables s'écrit :

c2 / 939 350 789 522 1 3 7 0 538

^

^{( P}

~

- ^

^{5 ) X}

^ 1^948"' -294T'

~2948-- (318,64, 267,816, 464, 904) x5

On vérifie que la solution x^ de I2 est la même que x*j, la valeur de la marge est alors

P2 = 54660 000/19 =-2 876 842,1

et les solutions duales sont données par (voir sortie LINDO ci-dessous).

A^ = (157,806, 32,167) = A° - ^

Maximisation de la marge sur coûts complets après imputation des coûts indirects variables (programme /3) :

Le total des coûts indirects non imputés précédemment est alors 4 200 000 - 1620 000 = 2 580 000

d'où la valeur de

, __ 2 580 000 _ 817 _ P2 911 ~~

fx^s + k* X^2S = (254, 243, 44,576)

Les coûts indirects variables imputés aux produits sont alors (fa + &* A*) S = (477,122, 483, 727, 662,03)

Le total des coûts imputés aux produits est bien le total des coûts indirects : (fa + fc* A^) Bx^2s =4 200 000

et la marge sur coûts complets s'écrit :

63 xs = [p - d - (fa + k* X2S) B] x5 = (32,8783, - 3 3 , 727, 47,9704) x5

On vérifie que la solution x^ de /3 est la même que x°, la valeur de la marge est

P* - 2 9 6 8 4 2

et les solutions duales sont données par (voir sortie LINDO ci-dessous) : A^ = (16,283, 3,319) = (1 - k*) X2S

Récapitulation (pour comparaison avec les résultats des méthodes classiques du coût variable et du coût complet) :

Imputation des coûts indirects variables

Imputation des coûts indirects variables définitifs par UO ou par produit - aux sections principales : fa — (112,72, 15,728)

- aux produits : fa B = (191,36, 182,18, 245,1) d'où la marge unitaire sur coûts variables complets :

p-d- faB = (318,64, 267,816, 464,904) Imputation du coût complet

Imputation des coûts indirects complets définitifs par UO ou produit - aux sections principales : fa + k* \* = (254,243, 44,576) - aux produits : (fa + &* A^) B - (477,122, 483, 73, 662,03)

d'où la marge unitaire sur coûts complets :

[p - d - {ii8 + fc* X2S) B] = (32,8783, - 3 3 , 727, 47,9704)

Par ailleurs on peut constater que les relations données plus haut entre les solutions optimales des quatre programmes (ici simplifiés) sont encore valables - en remplaçant B' par JJL$.

Méthode alternative à la méthode de Kaplan et Thomson ailleurs qu'à l'optimum commun de maximisation des marges

On a envisagé deux productions saturant les sections, (4000, 2000, 2000) et (3600, 3900, 900) parce que la première possède une propriété très spéciale et trompeuse, à savoir 6° x — 70 x, S1 x = 71 x, S2 x = j 2 x et aussi

<Ç3 x = 73 x. On peut vérifier que ces relations ne sont plus respectées par la deuxième production. Enfin, pour retrouver les imputations des coûts à l'optimum des maximisations des trois marges, on envisagera aussi cette troisième production optimale (84000/19, 0, 60000/19) (voir tableau page suivante).

Annexe des calculs numériques

1. Pour les programmes x = (4000, 2000, 2000) etx = (3600, 3900, 900) où aucune contrainte de signe n'est saturée :

M=B=

1 5

1/2 8

1/2 12

M+

,bp=

1 249

6000 60000

316 -7 -127

6° = p — <

-15 9 21 Évaluations duales du programme 7° :

a° = 6°M+ = (67840/249, 11310/249) = (272,45, 45,421) ö ° bp = 4360000, k = ^-,

Coûts imputés aux produits kcP B = ka° M = (481,23, 481, 26, 656, 28)

= kâ°bp - 4200000, S1 = 6° -ka°M =

(780 960, -848 550, 1457910)/27141

Production

Évaluations duales du programme I1 :

a¹ = S¹ M⁺ = (1 - jfc) a⁰ = (271 360, 45 240)/27 141

= (9,998157, 1,6668508) a1 M = 71 = (497 560, 497600, 678 560)/27141

= (18,332412, 18,333886, 25,00129) Pour

x = (4000, 2000, 2000), P¹ = ^ x = 160 000 = P° - kôP b^p 71x - 160000

Pour

x = (3600, 3900, 900), P1 = 61 x = 30000 = P° - A:ö° bp, 7ax = 160 000.

Coûts indirects variables affectés aux - sections principales : /3P = (340/6, 58/6) - sections auxiliaires : f3^a = (0, 1400/3, 280)

li = pp + /3^a(I - C)'¹ D - (166 150/1474, 23 183/1474)

= (112,72, 15,728) jLt bp = 1 620 000

liM= (282 065/1474, 268 539/1474, 361271/1474)

= (191,36, 182,184, 245,1) Marge sur coûts indirects variables :

S2 =6° - il M = (469 675/1474, 394 761/1474, 685 269/1474)

= (318,64, 267,816, 464,9) Évaluations duales du programme I2 :

a2 =S2M+ = (159,7293, 29, 693735)

* total des coûts indirects — JJL M x 2580

~~ â2bp ~ 2740 ~ '

fi + fc* â2 = (263,12253, 43,687743)

Coûts imputés aux produits :

(// + &* â2) B = (481, 56124, 481,0632, 655,81417) Prix de revient unitaire des produits :

d + (fi + fc* â2) B = (1471, 5612, 1031,0632, 1245,81417) Marge unitaire sur coûts complets :

63 = (p - d) - (p + k* â2) B = (28,43876, -31,0632, 54,18583) Évaluations duales du programme I3 :

a3 = S3 M+ = (9,3272694, 1, 7339445) = (1 - k*) a2

2. Pour le programme optimal x = (84000/19, 0, 60 000/19) On remarque qu'une contrainte de signe est saturée de sorte que

1 5 0

1/2 8 -1

1/2 12 0

M"1

-i

1 19

24 0 -10

-1 0 2

4 -19

Évaluations duales du programme 1° :

a0 = 6° M'1 = (5140/19, 910/19, 1300/19)

= (270,526, 47,895, 68,421)

= (â°|68,42) = (A°|68,42) ôPhp = 85 440000/19 = 4496842,1 = P°,

k = — , k ôPhp = 4200000

Coûts imputés aux produits : kôP B = (476,334, 484,199, 663,132) fcô° S x = ka° M x = itô0 bp = 4200000,

61 = 6° - kcP B = (11985, -12175, 16685)/356

Évaluations duales du programme 71 :

a1 = 61 M "1 = (120 790, 21385, 462 800)/6764

= (17,85777, 3,1616, 68,421)

= (âa|68,421) = (A1168,421)

a1 M = 71 = (33,66573, -34,199438, 46,867977) = 61

a1 M x = 71 x = 61 x = P1 = P° - kcP b = [(1 - k) P°]

lA = /3p + /3a(I- O)'1 D = (112, 72, 15, 728)

Évaluations duales du programme I2 :

c2 c0 „ / 469 675 394 761 685 269

= (318,64, 267,816,464,9)

a2 = 62 M"1 = (157,80582, 32,166785, 68,421052)

= (ö2|68,421) = (A2|68,421) a2 bp = 54 660 000/19 = 2 876 842,1 = P2

Coûts variables indirects imputés :

nBx = fibp = (n\0)Mx = 1620 000

Dans le document Programmation linéaire et comptabilité analytique (Page 31-42)