Na presente seção duas particularizações do modelo matemático segregado, descrito nas equações (13) e (14), são apresentadas.
2.4.1.
Escoamento Monofásico
Para aplicações em escoamentos monofásicos, assume-se que, na equação (13) a mo- bilidade total é unitária. Adicionalmente, desconsiderando efeitos gravitacionais, se obtém:
(λ
K p)
Q−∇⋅ ∇ =
ɶ (24)
Naturalmente a equação (14) não é resolvida, uma vez que apenas uma fase satura o meio poroso.
2.4.2.
Modelo de Buckley-Leverett
Uma forma mais simplificada da equação (14) pode ser obtida assumindo-se que o escoamento da fase molhante é essencialmente unidimensional e em uma rocha disposta hori- zontalmente e com permeabilidade homogênea, como ilustrado na figura 5.
Figura 5. Reservatório simplificado para o modelo de Buckley-Leverett.
Efeitos de gravidade e capilaridade também são desconsiderados e o gradiente de pressões (e consequentemente a velocidade) é constante ao longo do domínio. Essas hipóteses
Saturação de água
v=v
0
52
simplificadoras levam ao modelo de Buckley-Leverett (Leveque, 1992; Helmig, 1997; Dake, 2001; Fanchi, 2001), definido como:
( )
1 0 w w S f v tφ
x ∂ + ∂ = ∂ ∂ (25)Deve-se notar que na forma simplificada da equação (25) não há necessidade se resol- ver a equação de pressão, uma vez que o campo de velocidades é conhecido em todos os pon- tos do domínio. Embora a forma divergente ou conservativa, na qual está apresentada a equa- ção (25), seja ideal para discretização com técnicas numéricas, é na forma não conservativa que se determina a velocidade característica da equação hiperbólica (Leveque, 1992). Dessa forma, a equação (25), dada em termos da velocidade característica
α
tem a seguinte forma (ver Helmig, 1997 para maiores detalhes):
( )
0, com( )
w( )
w w w w w w f S S S v S S tα
xα
φ
S ∂ ∂ + ∂ = = ∂ ∂ ∂ (26)A equação (26) se caracteriza pela propagação (transporte) de uma concentração ou saturação de massa de água ao longo de direções características, nas quais a referida variável é constante (Leveque, 1992; Helmig, 1997). No processo transiente, uma massa de água inva- de o domínio computacional, ilustrado na figura 4, por meio da superfície esquerda, represen- tando um poço injetor com Sw
( )
x t0, =Sw. A massa de água varre o óleo residente na rochapara a superfície à direita, que representa um poço produtor. A descontinuidade na saturação de água, definida já na condição inicial, caracteriza um problema de Riemann (Helmig, 1997), dado por:
( )
o 0 0 1 se , 0 se r w wi S x x S x S x x − ≤ = > (27)onde S e wi S são, respectivamente, as saturações irredutível de água e residual de óleo, co-or
mo já mencionado. A variável independente x representa a posição em um domínio essenci- almente unidimensional (ver figura 5), com x representando a posição inicial da desconti-0
nuidade na distribuição de saturação de água.
Alguns conceitos fundamentais sobre equações hiperbólicas são introduzidos no Apêndice A. No capítulo seguinte, todas as técnicas numéricas utilizadas no presente traba- lho, para a solução de problemas como o discutido acima, são apresentadas.
53
3.1.
Introdução
O modelo matemático apresentado no capítulo anterior admite soluções analíticas, ou semi-analíticas, apenas sob condições muito restritivas (Chen et al., 2006; Pinder e Gray, 2008). Na maioria das aplicações, estratégias numéricas devem ser empregadas (Helmig, 1997). Características próprias do fenômeno investigado, tais como alta heterogeneidade e anisotropia da rocha e não convexidade do fluxo advectivo, que não ocorrem em outras físi- cas, como aerodinâmica, por exemplo, demandam o uso de ferramentas numéricas adequadas para tratar particularidades específicas de cada equação governante que constitui o sistema de equações escalares aqui abordado. A forte não linearidade presente na equação de transporte e no seu acoplamento com a equação de pressão também constitui um desafio do ponto de vista numérico.
Ao longo deste capítulo, as estratégias numéricas utilizadas para a solução do modelo matemático descrito no capítulo anterior são apresentadas. Uma abordagem fundamentada no Método de Volumes Finitos (Patankar, 1980; Versteeg e Malalasekera, 1995; Maliska, 2004),
cell-centered, é adotada para todas as aproximações. Os esquemas numéricos utilizados para
resolver as equações de transporte e de pressão são apresentados a seguir. Antes, porém, a estratégia para tratar o acoplamento entre essas equações é discutida, já na seção que segue.
3.2.
Estratégia IMPES
Há na literatura uma variedade de estratégias utilizadas na solução do modelo mate- mático segregado introduzido no capítulo anterior. No presente texto, a estratégia IMPES (Implicit Pressure-Explicit Saturation), proposta por Sheldon et al., (1959) e Stone e Garder (1961), é utilizada, dada sua simplicidade de implementação e robustez para escoamentos incompressíveis ou levemente compressíveis (Chen et al., 2006).
Para problemas de baixa e média complexidade, a estratégia IMPES é muito popular na indústria do petróleo e funciona de acordo com o algoritmo representado na figura 6 (Edwards e Rogers, 1998; Edwards, 2006; Hurtado et al., 2007; Monteagudo e Firoozabadi, 2007; Kou e Sun, 2010; Chueh et al., 2010; Kozdon et al., 2011; Khoozan et al., 2011).
A partir de uma distribuição inicial de saturações (condição inicial), a mobilidade total
( )
Swλ
é calculada nas superfícies de controle. Há na literatura uma variedade de formas para esse tipo de aproximação (Aziz e Settari, 1979; Brand et al., 1991; Hurtado, 2005; Friis e Evje, 2011; Nikitin e Vassilevsky, 2012). Para uma certa classe de formulações numéricas, os3
54
campos de pressão e velocidade são resolvidos simultaneamente (Durlofsky, 1993; Hyman et
al., 1997; Riviere, 2008). Em outros casos, a equação de pressão é resolvida implicitamente e
em seguida, o campo de velocidade é calculado explicitamente com a lei de Darcy (Crumpton
et al., 1995; Edwards e Rogers, 1998; Aavatsmark et al., 1998). Há ainda, técnicas fundamen-
tadas no Método de Elementos Finitos onde a velocidade é obtida implicitamente após a de- terminação do campo de pressão (Malta et al., 1995). Conhecido o campo de velocidade, a saturação é calculada explicitamente. No caso do tempo estimado para a simulação não ser atingido, a mobilidade total é atualizada com o novo campo de saturação, recomeçando o pro- cesso descrito.
Figura 6. Algoritmo da estratégia IMPES.
A abordagem explícita da equação de saturação restringe o tamanho do passo de tem- po (ver seção 3.4). Efeitos de capilaridade e gravidade, incorporados à física do problema também levam a passos de tempo severamente restritos (Chen et al., 2006; Kou e Sun, 2010). Na também popular estratégia completamente implícita ou Fully Implicity Method (FIM) o acoplamento pressão-saturação é resolvido simultaneamente. Nesse caso, não há, do ponto de vista de estabilidade linear, limite para a definição do passo de tempo (Aziz e Settari, 1979; Collins et al., 1992; Dawson et al., 1997), embora processos iterativos sejam necessários para solução das não linearidades decorrentes do acoplamento, elevando mais ainda o custo com- putacional por passo de tempo (Bastian, 2013). Por um lado, a estratégia IMPES se caracteri- za por um baixo custo computacional por passo de tempo, principalmente em problemas com grandes dimensões e aproximações de alta ordem (Monteagudo e Firoozabadi, 2007; Kou e Sun, 2010). Por outro lado, os largos passos de tempo admitidos pelo FIM podem reduzir o “esforço” computacional, tornando essa estratégia competitiva, em relação ao IMPES. A me- lhor estratégia, naturalmente, depende da relação entre o tempo de simulação requerido e o tamanho do domínio ou física envolvida no problema. Há ainda as estratégias do tipo IMEX (IMplicit-EXplicit) que tratam os termos lineares implicitamente e avaliam os termos não li- neares explicitamente (Ascher et al., 1995; Boscarino, 2007 apud Kou e Sun, 2010).
Versões modificadas da estratégia IMPES podem ser encontradas em Forsyth (1991,
apud Helmig, 1997), Hurtado (2005) e Chen et al. (2006). Nas duas últimas citações, as dife-
rentes escalas de tempo nas quais os fenômenos representados pelas equações de pressão e saturação ocorrem são levadas em conta para reduzir o custo computacional da estratégia ori- ginal. Sabe-se que, em geral, o campo de pressões muda mais lentamente do que o campo de
Solução Implícita da Equação de Pressão Cálculo do Campo de Velocidades (Lei de Darcy) Solução Explícita da Equação de Saturação Fim Condição Inicial, n Final t ≥t 1 n n t + = + ∆t t
( )
, 0 w S x55
saturações no interior dos reservatórios (Chen et al., 2006). Nos métodos IMPES modificados mais modernos Hurtado (2005) e Chen et al. (2006), a equação de pressão é, portanto, atuali- zada menos vezes que a equação de saturação e por meio do cálculo de um passo de tempo adaptativo a partir de algum critério que leva em consideração a física do problema, de modo a reduzir o custo computacional sem perda apreciável de acurácia.
Na seção 3.3.1, diferentes formas de aproximar a mobilidade em cada superfície de controle são discutidas.