Tout anneau principal A est factoriel

Démonstration. La démonstration est un peu délicate. Faisons un raisonnement

par l’absurde : soit E l’ensemble des éléments x de A, non nuls ni inversibles, qui

ne se décomposent pas en irréductibles, et supposons que E soit non vide. Alors,

F = {(x) | x ∈ E} est un ensemble non vide. Montrons que cet ensemble, muni

de la relation d’inclusion, admet (au moins un) élément maximal. En effet, (nouveau raisonnement par l’absurde), si ce n’était pas vrai, on pourrait construire une chaîne infinie :

(x₁) (x2) . . .  (xn) . . .

où les xi sont dansE. Alors l’ensemble U = ^_n1(xn) est un idéal : si a et b sont

dans U , il existe un certain n tel que a et b soient tous les deux dans (xn), donc

a + b ∈ (xn) ⊂ U, même raisonnement pour l’autre propriété. U est donc principal,

c’est-à-dire qu’il existe x∈ A tel que U = ^_n1(xn) = (x).

Mais alors, x est dans 

n1^(xn), donc x ∈ (xn₀) pour un n₀, et donc alors

(x) = (x_n0) et

n1^(xn) = (x_n0), ce qui est absurde au vu des hypothèses.

Soit donc (x0) maximal dansF. Alors x0 n’est pas inversible, ni irréductible (sinon il se décomposerait en produit d’irréductibles) dont il peut s’écrire x₀ = ab et donc (x₀)⊂ (a), (x0)⊂ (b). Les inclusions sont strictes puisque ni a ni b ne sont associés

à x0. Par maximalité, a et b ne sont pas dansE, donc se décomposent en irréductibles,

mais alors x₀aussi se décompose en irréductibles, il y a contradiction.

Il faut maintenant montrer l’unicité. Commençons par remarquer que si p est irréductible et si u est une unité, alors pu est irréductible. Supposons maintenant que :

p₁p₂. . . p_s= q₁q₂. . . q_r

Notre objectif est de montrer que r = s et que les pi sont égaux, à l’ordre et à des unités près aux q_j. Pour cela nous allons utiliser le théorème qui dit que dans un anneau principal, tout irréductible est premier. On peut alors en effet dire que q1

divisant le produit p1. . . ps, divise un des pi, et, par irréductibilité des pi, on peut écrire que q1 = p_iu où u est une unité. On peut alors simplifier et reprendre le même

raisonnement. À la fin, on aura r = s car un irréductible n’est pas un produit d’unités.



Nous sommes maintenant au sommet de la hiérarchie : les anneaux pour lesquels le théorème fondamental de l’arithmétique est vrai sont les anneaux factoriels. Dans le chapitre suivant, on rencontrera des anneaux qui sont factoriels sans être principaux ; ainsi les trois notions anneaux euclidiens, anneaux principaux, anneaux factoriels sont bien distinctes.

Venons-en maintenant aux propriétés arithmétiques des anneaux principaux et fac-toriels.

© D unod. L a photoc opi e non a utori sé e e st un dé li t. 2.3.4. P.g.c.d, p.p.c.m., relation de Bezout

Définition 2.43. Si A est un anneau commutatif intègre, on dit que a et b admettent un p.g.c.d. d si d est un diviseur commun de a et de b et si

∀δ ∈ A, (δ| a et δ | b) ⇒ (δ| d)

On dit que a et b admettent un p.p.c.m. m si m est un multiple commun de a et de b et si

∀µ ∈ A, (b| µ et a | µ) ⇒ (m| µ)

Remarque :

• Il n’y a pas en général unicité du p.g.c.d. et du p.p.c.m. : si d est un p.g.c.d. de a et b, les autres sont les associés de d, idem pour le p.p.c.m. On note néanmoins d = a∧ b, et m = a ∨ b, en ayant choisi un représentant ; dans le

cas deZ par exemple on choisit le représentant positif, dans le cas de K[X]

on peut choisir le représentant unitaire.

• Le p.g.c.d. et le p.p.c.m. n’existent pas toujours, mais si le p.p.c.m. existe, alors le p.g.c.d. aussi : voir exercice 2.10.

• On définit de la même façon le p.g.c.d. et le p.p.c.m. de plusieurs éléments. L’existence des p.g.c.d. et des p.p.c.m. est assurée dans les anneaux principaux et factoriels. On pourrait se contenter d’étudier le cas factoriel, mais l’étude du cas principal est intéressante pour elle-même.

Proposition 2.44.

• a et b admettent m comme p.p.c.m. si et seulement si (a)∩ (b) = (m).

• S’il existe d tel que (a) + (b) = (d), alors a et b admettent d comme p.g.c.d. • En particulier, si A est un anneau principal, il existe toujours p.p.c.m. et p.g.c.d.

Démonstration. Remarquer que les énoncés concernant p.p.c.m. et p.g.c.d. diffèrent.

Pour le p.p.c.m, l’ensemble (a)∩ (b) est exactement l’ensemble des multiples

com-muns de a et de b. S’il est de la forme (m), m est un multiple commun et tout multiple commun est multiple de m, qui est donc bien le p.p.c.m. Réciproquement, l’existence du p.p.c.m. dit exactement que l’ensemble des multiples communs de a et de b est de la forme (m).

Supposons que (a) + (b) = (d). Alors a∈ (a) + (b) = (d), donc a est un multiple de d, de même b est un multiple de d. De plus, d∈ (a) + (b) donc il existe deux éléments u et v de A tels que d = au + bv et si δ divise a et divise b, alors δ divise d. Il n’y a

pas équivalence : dans l’anneauZ[X], 2 et X on pour p.g.c.d. 1 mais (2) + (X) n’est

pas égal à (1) =Z[X], puisqu’il est formé des polynômes dont le terme constant est

pair. Cela montre en particulier que l’anneauZ[X] n’est pas principal. Nous verrons

dans le chapitre suivant qu’il est néanmoins factoriel.

Dans un anneau principal, (a)∩ (b) et (a) + (b) sont des idéaux, donc sont principaux

Plaçons nous dans un anneau principal. L’égalité au + bv = d de la démonstration précédente s’appelle relation de Bezout.

Proposition 2.45. Propriété de Bezout. Si A est principal, alors

(a∧ b = d) ⇒ (∃(u, v) ∈ A2, au + bv = d)

De plus,

(a∧ b = 1) ⇐⇒ (∃(u, v) ∈ A2, au + bv = 1)

Démonstration. Compte-tenu de la démonstration précédente, il reste à démontrer

que, s’il existe u et v tels que au + bv = 1, alors a∧b = 1. Si en effet d est un diviseur

commun de a et de b, on a a = a
_{d, b = b
d et 1 = d(a
u + b
v), d est donc inversible.}

Les seuls diviseurs communs sont les inversibles, dont 1 est un représentant. 

Comme dans le cas des entiers, si a∧ b = 1 on dit que a et b sont premiers entre

eux. On observera que cela équivaut à dire que les idéaux (a) et (b) sont étrangers,

voir 2.2.3..

Corollaire 2.46. Lemme de Gauss. Soit A un anneau principal. Alors



a| bc

a∧ b = 1 ^{⇒ a| c}

Démonstration. On utilise une relation de Bezout au + bv = 1 et en multipliant par

c, acu + bcv = c, a divise le premier membre donc a divise c. 

Regardons maintenant ce qu’il se passe si l’anneau A est factoriel. On a encore :

Proposition 2.47.

• Si A est factoriel, le p.g.c.d. et le p.p.c.m. existent toujours. • Si A est factoriel, le lemme de Gauss est satisfait.

Démonstration. Commençons par utiliser un vocabulaire très pratique. Dans un

an-neau factoriel A, si p est un irréductible, on appelle valuation associée à p l’application

v_pde A\{0} dans N qui à tout x ∈ A associe l’exposant de p dans la décomposition de x en irréductibles. NotonsP l’ensemble des irréductibles, la factorialité de A permet

d’affirmer :

∀(x, y) ∈ A2, (x| y) ⇐⇒ (∀p ∈ P, vp(x)
vp(y))

On peut alors démontrer le théorème.

• On utilise la décomposition en irréductibles de a, b et

a = u

p∈P

p^vp(a), b = u


p∈P p^vp(b)

© D unod. L a photoc opi