Analyses factorielles à fenêtre

Nous avons vu comment déterminer le nombre global de composants à l'aide de l'analyse en composantes principales. Cependant, il est assez rare que tous les com-posants contribuent au signal de chaque observation. On peut alors construire une carte du rang (rank map) de la matrice de données X correspondant au calcul du rang de plusieurs sous matrices (fenêtres) formées de quelques lignes consécutives de X. Le choix des sous matrices utilisées conditionne directement l'allure de la carte et son interprétation. Deux méthodes sont régulièrement citées : la Fixed Size Moving Window-Evolving Factor Analysis (FSMW-EFA) [44] et l'Evolving Factor Analysis (EFA) [72]. En revanche, le calcul local du rang est toujours basé sur l'analyse en com-posantes principales. Par ailleurs, il existe également une large famille d'algorithmes d'analyse tirant prot de cette étude locale du rang. Plusieurs études comparatives de ces méthodes et combinaisons de méthodes peuvent être trouvées dans la littérature [46][21].

Dans le cas de l'analyse des MEEF, la carte du rang doit permettre de déterminer l'étalement spectral de chaque composant. A partir de ces données, deux méthodes de résolution sont couramment employées. La première porte le même nom que la méthode de cartographie local du rang qui lui fut originellement associée : l'EFA [72]. La seconde a donné lieu à deux algorithmes équivalents : Window Factor Analysis (WFA) [51] et Orthogonal Projection Resolution (OPR).

2.2.4.1 Construction de la carte de rang par EFA

Les spectres d'excitation des diérents composants d'un mélange se chevauchent souvent mais leur étalement spectral respectif est généralement décalé de plusieurs

nm. La gure 1.14, par exemple, illustre ce phénomène. L'émission de uorescence est liée à l'excitation. En balayant les longueurs d'onde d'excitation successives, on modie progressivement l'inuence des diérents composants sur le spectre d'émis-sion du mélange. Il est dicile de connaitre le nombre de composants contribuant au spectre d'émission du mélange à une longueur d'onde d'excitation donnée à partir de ce seul spectre. En revanche l'analyse en composantes principales permet de connaître le nombre de composants eectifs sur une certaine plage de longueurs d'onde d'exci-tation. Dans le cas de l'EFA, on utilise deux séries de fenêtres d'analyse antagonistes contenant des lignes successives. Pour la première série, toutes les fenêtres débutent par la première ligne de X. La fenêtre initiale ne contient que la première ligne. En-suite, chaque fenêtre est formée en ajoutant une ligne à la fenêtre précédente, jusqu'à la dernière fenêtre contenant la matrice entière. A chaque fenêtre correspond l'indice d'une ligne de X égale à la taille de la fenêtre. Pour chaque indice on calcule les valeurs singulières de la fenêtre d'analyse. La première partie de la carte de rang est constituée des courbes d'évolution du logarithme des N plus grandes valeurs singulières en fonc-tion de la longueur d'onde d'excitafonc-tion. La gure 2.3 montre l'allure caractéristique de ces courbes.

Les premières lignes ne contenant que du bruit présentent de faibles valeurs sin-gulières. Lorsque l'on atteint le début du spectre d'excitation du premier composant, celui-ci apparaît sur le spectre de uorescence et par conséquent la première valeur

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18^{x 10} 7

Indice des longueurs d’onde d’excitation

Logarithme des valeurs singulières

1

2

3 4

Fig. 2.3  Courbes EFA, analyse allée

Les courbes sont obtenues à partir d'un mélange synthétique de trois composants

singulière augmente, puis, à chaque fois que le spectre d'excitation d'un nouveau com-posant est atteint, une nouvelle valeur singulière croît. Cette première analyse permet seulement de localiser le début de chaque spectre d'excitation recherché. La seconde série de fenêtres est construite exactement de la même manière mais en commen-çant par la dernière ligne de la matrice et en remontant. On obtient alors la famille de courbes miroirs illustrée par la gure 2.4. Cela procure une indication sur la n de chaque spectre d'excitation. En supposant qu'aucun composant n'a un étalement spectral en excitation imbriqué dans celui d'un autre composant, le recoupement de ces deux jeux de courbes croisées à la manière de la gure 2.5 permet de déterminer l'étalement spectral de chaque composant.

2.2.4.2 Résolution spectrale par EFA

Le résultat précédent dénit également le domaine spectral pour lequel un com-posant donné n'est pas excité. A l'intérieur de ce domaine son spectre d'excitation est nul. Pour chaque colonne n de la matrice M des spectres d'excitation, les élé-ments de ce domaine forment la fenêtre d'excitation nulle notée : m0

n. Par ailleurs, la décomposition en valeurs singulières de X donne :

X = UStV + E = MtA + E (2.11)

D'où l'on déduit :

M = US(tAV)−1 =UR (2.12)

avec R = S(tAV)−1 Soit, pour le composant n :

mn=Urn (2.13)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18^{x 10} 7

Indice des longueurs d’onde d’excitation

logarithme des valeurs singulières

1

2

3 4

Fig. 2.4  Courbes EFA, analyse retour On note alors U0

n la matrice formée par les lignes de U correspondant à la fenêtre d'excitation nulle de n et on a alors :

m0

n =U0

nrn=0 (2.14)

Par construction, le rang de U0

n est N − 1. Il faut donc xer arbitrairement un des éléments de rn an de résoudre l'équation. On impose en général rn(1) = 0. Le calcul successif des rnpour chaque composant du mélange permet de déterminer les matrices M et A grâce aux équations 2.13 et à l'estimateur des moindres carrés.

2.2.4.3 Résolution spectrale par WFA/OPR

L'algorithme WFA est également basé sur les fenêtres d'excitation nulle dénies précédemment. Celles-ci sont obtenues après analyse d'une carte de rang.

Soit X0

nla sous matrice de X formée par les lignes correspondant à la zone d'excitation nulle du composant n. La décomposition en valeurs singulières de X0

n donne : X0 n=U0 nS0 n^tV0 n+E (2.15) Les N − 1 colonnes de V0

n forment une base orthormale de l'espace engendré par les

N −1spectres d'émission correspondants. On calcule alors la matrice Xnreprésentant le complémentaire orthogonal de la projection orthogonale des observations dans cette base :

Xn =X(IQ−V0

n^tV0

n) = αmn^ta0

n (2.16)

où, α est une constante, mn est le spectre d'excitation du composant n et a0

n un vec-teur orthogonal à son spectre d'émission. En théorie, les colonnes de Xn sont toutes proportionnelles à mn. En pratique, l'estimation du spectre d'excitation du compo-sant n peut se faire de diérentes manières. En calculant par exemple la moyenne des

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 500 1000 1500 2000 2500 Intensité (u.a.) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18^{x 10} 7

Indice des longueurs d’onde d’excitation

Logarithme des VS

Fig. 2.5  Comparaison entre les spectres d'excitation des uorophores composants le mélange et les courbes EFA croisées.

L'analyse du croisement des courbes EFA permet de déterminer l'étalement spectral de chaque composant.

colonnes ou encore, en sélectionnant la colonne de plus grande norme (et a priori la moins bruitée). On estime de la même façon les autres colonnes de la matrice M, puis, la matrice A à l'aide de l'estimateur des moindres carrés.

2.2.4.4 Conclusion

Ces méthodes reposent sur la répartition progressive des spectres d'excitation des diérents composants dans le domaine spectral. Cette propriété est également valable pour les spectres d'émission. Il est donc possible d'inverser le rôle des spectres d'exci-tation et d'émission.

Dans tous les cas, la première matrice peut servir d'initialisation à la procédure des MCR. Sans la procédure des MCR, les résultats obtenus sont meilleurs que pour l'OPA qui est limitée par les chevauchement de spectres. Néanmoins, plusieurs di-cultés apparaissent lorsque certains spectres sont imbriqués ou lorsqu'il existe de fortes diérences d'amplitude entre les signaux de uorescence des diérents composants.