La litt atu e e fou issa t pas de o latio adapt e à l ha ge o e tif tudi i i, ous recherchons dans un premier temps les groupements adimensionnels de référence par analyse dimensionnelle et thermodynamique.
3.5.1. Analyse dimensionnelle
L a al se di e sio elle du p o l e est alis e. Les thodes des π Vaschy–Buckingham) et de Rayleigh ont été employées pour cette étude. La difficulté de cette analyse dimensionnelle repose su la s le tio des a ia les i d pe da tes et pe ti e tes i te e a t da s la o e tio d u e compression par piston liquide. En effet, les résultats expérimentaux connus ne portent que sur la
a iatio d u petit o e de g a deu s caractéristiques.
U e tai o e d a al ses di e sio elles o t t effe tu es e s le tio a t diff e ts jeu de a ia les. So t ota e t pe ti e tes, les a ia les li es à l ha ge the i ue o e tif, les caractéristiques physiques du gaz en compression et les données et variables géométriques. Il nous se le epe da t ue les a a t isti ues de l eau e p se te t pas d i t t da s l tude de l ha ge o e tif de la compression.
La o aissa e des ph o es ph si ues p se ts est pas suffisante pour éliminer a priori, des a ia les elati es à l ai . Ainsi, les variables indépendantes sus epti les d agi su l ha ge thermique sont listées dans le tableau suivant :
Variable g
Grandeurs
Tableau 5: Liste des variables et de leur unité pour l'analyse dimensionnelle
L a al se di e sio elle est alis e afi de ett e e ide e les o es adi e sio els li s au phénomène étudié. Elle fait apparaitre une relation de la forme suivante:
(3.63)
Ce so t ai si les o es de ‘e olds, de P a dtl, d E ke t, de Ga -Lussac, de Froude et le rapport d allo ge e t ui esso te t e plus du o e de Nusselt.
L a se e du o e de G ashof, couramment employé en convection naturelle, est u appa e te. En effet celui peut être reconstruit à partir des nombres de Reynolds, de Gay-Lussac et de Froude par la relation suivante :
(3.64)
Il faut également noter que les nombres adimensionnels relatifs à une longueur (Nusselt, Reynolds et Froude) peuvent employer la longueur de la chambre ou le diamètre de celle-ci en fonction de la a i e de alise l a al se di e sio elle. Da s tous les as, pou u e ême relation, tous ces nombres adimensionnels sont relatifs à la même grandeur.
Ainsi, les o es adi e sio els is ide e pa l a al se di e sio elle so t d taill s da s le tableau suivant :
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Nombre
adimensionnel
Formulation
Tableau 6 : Liste des nombres adimensionnels et leur formulation
Il este epe da t i possi le d esti e le poids de ha u de es o es da s la o latio d ha ge o e tif pa la si ple tude di e sio elle. Alo s ue les o es de ‘e olds et de Prandtl sont couramment employés dans des corrélations du nombre de Nusselt, les autres le sont significativement moins. De plus, d aut es o es adi e sio els peu e t t e o st uits à pa ti de ceux présentés dans le tableau précédent (Grashof, Rayleigh, Clausius… .
Afin de réduire la quantité de nombres adimensionnels potentiels pour la construction de corrélation, une analyse thermodynamique de la compression isotherme est proposée.
3.5.2. Analyse thermodynamique
L a al se the od a i ue de la o p essio d u gaz pa fait est réalisée dans une chambre de compression cylindrique et verticale dont la configuration géométrique est visible sur la Figure 23 de la page 44.
L app o he p opos e o siste à tudie le as th o i ue de la o p essio isothe e afi de d fi i l e p essio du flu o e tif de e as. Pa la suite, l o je tif des o p essio s elles se a de se rapprocher de cette évolution théorique.
Lo s d u e o p essio isothe e, l ha ge the i ue est a i al tout au lo g de la o p essio . Ainsi, la te p atu e de l ai e o p essio et do l e gie i te e e a ia t plus, le er
principe de la the od a i ue e t ai e l galit des te es d ha ge the i ue et de t a ail a i ue.
(3.65)
En reformulant la pression avec la relation des gaz parfaits il est possi le de l e p i e de la faço suivante :
(3.66)
La o p essio ta t alis e da s u li d e e ti al, la a iatio de olu e s e p i e pa u e équation liée à la géométrie de la chambre de compression:
(3.67)
En réintégrant les équations (3.66) et (3.67) da s l uatio (3.65) du premier principe pour le cas isotherme, on obtient : (3.68)
Il est ainsi possible de faire apparaitre la su fa e d ha ge de la paroi. Le diamètre étant de plusieurs ordres de grandeur inférieur à la longueur, la surface libre du piston et la surface de la
63 culasse sont négligées. Le nombre de Reynolds peut également être mis en évidence en introduisant la viscosit d a i ue de l ai : (3.69) Avec (3.70) (3.71)
Da s le as g al, le flu o e tif peut s e p i e e fo tio du o e de Nusselt par cette équation : (3.72) L ha ge the i ue au ou s d u e o p essio isothe e peut alo s t e ta li à partir des équations (3.69) et (3.72). Cette équation est la suivante :
(3.73)
En reformulant, on obtient 4 groupes adimensionnels :
(3.74)
En introduisant la capacité calorifique massique à pression constante de l ai au u ateu et au dénominateur, le nombre de Prandtl apparait :
avec (3.75)
Ainsi le nombre de Gay-Lussac, d fi it pa l uatio (3.77), est mis en évidence pour un gaz parfait. Il a a t ise la se si ilit de l aug e tatio de p essio e fo tio de l aug e tatio de température : (3.76) Avec et (3.77)
Cette uatio pe et ai si d ta li la dépendance du nombre de Nusselt à tout instant au cours d u e o p essio isothe e e fo tio d u p oduit de o es adi e sio els. Bie u elle e
64 permette pas de déterminer la valeur du nombre de Nusselt du cas non isotherme, la forme de l uatio o te ue pou a se i de ase à la e he he d u e ou elle o latio d ha ge convectif.
Le nombre de Nusselt, au ou s d u e o p essio elle, peut tout de même être temporairement supérieur à cette valeur du cas isotherme. En effet, une compression non isotherme engendre une aug e tatio de l e gie i te e de l ai car sa température augmente. Il existe ainsi un stock d e gie da s l ai pou a t pote tielle e t t e d ha g pa o e tio au ou s de la compression. Dans cette situation où l ai e o p ession est chaud, l ha ge the i ue o e tif réel peut être temporairement sup ieu à l ha ge th o i ue isothe e. Cette situatio se t aduit da s le gaz pa u e di i utio te po ai e de la te p atu e alg l aug e tatio de la p essio . En tout état de ause, l e gie totale ha g e pa o e tio du a t u e o p essio elle e peut jamais dépasser celle du cas-isotherme.
Nous et ou o s ai si da s l a al se the od a i ue les te es is e ide e pa l a al se dimensionnelle. Le o e d E kert et le nombre de Froude ne sont par contre pas ressortis1.
A pa ti des deu thodes d a al se ous p oposo s l tude futu e d u e elatio des o es sans dimension sous la forme suivante:
(3.78)
Afi de e he he , puis d opti ise u e ou elle o latio d ha ge o e tif as e sur ces nombres adimensionnels, il est nécessaire de mesurer l olutio de es o es su u dispositif expérimental au cours de compression. Différentes configurations devront également être testées afi de d te i e l effet des o ditio s e p i e tales su l olutio du o e de Nusselt.
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U e tude p de te, o d taill e i i, avait e t ep is la e he he d’u e o latio e utilisa t es deu o es adi e sionnels (Neu
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